空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示PPT学习教案

1、会计学1空间向量的正交分解及其坐标表示和运空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示算的坐标表示空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法: :oxyz1. 1.X X轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0, ,而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351350 01351350 02.2.y y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴（或轴（或z z轴）的单位长度的一半轴）的单位长度的一半第1页/共22页有了空间直角坐标系，那空间中的有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点任意一点怎样来表示它的坐标呢？

2、怎样来表示它的坐标呢？oxyzabc(a,b,c)经过经过A A点作三个平面点作三个平面分别分别垂直垂直于于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴轴，它们与，它们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分轴分别交于三点，三点在相应别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标的坐标轴上的坐标a,b,ca,b,c组组成的有序实数对（成的有序实数对（a,b,c)a,b,c)叫叫做做点点的坐标的坐标记为记为：（：（a,b,c)第2页/共22页在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,x x轴上的点轴上的点、xoyxoy坐标平面内的点的坐标各有什坐标平面内的点的坐标各有什么特点？么特点？),(zyxM xyzo)

3、0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC)0 , 0 , 0(Ox轴上的点横轴上的点横坐标就是与坐标就是与x x轴交轴交点的坐标，纵坐标点的坐标，纵坐标和竖坐标都是和竖坐标都是xoy坐标平面坐标平面内的点的竖坐标为内的点的竖坐标为，横坐标与纵坐，横坐标与纵坐标分别是点向两轴标分别是点向两轴作垂线交点的坐标作垂线交点的坐标第3页/共22页练习练习如图，已知长方体如图，已知长方体ABCD-ABCD的边长为的边长为AB=12,AD=8,AA=5.以这个长方体的顶点为坐标以这个长方体的顶点为坐标原点，射线原点，射线AB,AD,AA分别为

4、分别为x轴、轴、y轴和轴和z轴的正半轴的正半轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标求长方体各个顶点的坐标xyzAOABBCCDD第4页/共22页单位正交基底：单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为直，且大小都为1 1，那么这个基底叫做单位正交，那么这个基底叫做单位正交基底，常用基底，常用 来表示来表示. . , ,i j k i k j 因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系第5页/共22页 在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O O为原为原点，分

5、别以点，分别以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴轴，这样就建立了一个空间直角坐标系，这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . . x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，都叫做轴，都叫做叫做坐标轴叫做坐标轴, ,点点O 叫做叫做原点原点，向量向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐标通过每两个坐标轴的平面叫做轴的平面叫做坐标平面坐标平面. ,ij k ,ij k ,ij k 123(,)A a a aa xyzOkij 对空间任一向量对空间任一向量 , ,由空间由空间向量基本定理，存在唯一的有序向量基本定理，存在唯一的有序实数组实数组 , ,使使a

6、 123( ,)a a a123.a a i a j a k 空间直角坐标系空间直角坐标系第6页/共22页O xyz以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyzi k j xyz( , , )P x y z 若若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则则AB = OB - - OA=( (x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )第7页/共22页123123()()aaaabbbb设设， ， ，则则;ab;ab;a112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR/;/.0aba

7、bab且各坐标值、 均非112233,()ab ab abR112222/ababab00a规定：规定：0?a思思考考：（0，0，0）第8页/共22页2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量111222()()axyzbxyz， ， ，12121 2a bx xy yz z则则4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、 ，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz222212121()()()ABxxyyzz注：此公式的注：此公式的几何意义是表几何意义是表示长方体的对示长方体的对角线的长度。角线的长度。第9页/共

8、22页注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件12121 200 aba bx xy yz z第10页/共22页练习练习: :已知已知 求求),4, 1 , 3(),5 , 3, 2(babaababa,8 ,(2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab (2, 3,5)(

9、3,1, 4)(5, 4,9)ab 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)29a b 解解: :第11页/共22页练习：练习：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3)(1,0,0) ;ba，(2)( 1,1,1)( 1,0,1) ; ab，1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD第12页/共22页例题：例题：例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,

10、5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222(13)(03)(5 1)29 .ABOABM第13页/共22页（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。 AB、(, )P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(, )P xy z AB、222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足

11、的条件是 AB、(, )xy z46870 xyz第14页/共22页12 3212112ABPQOPQA QBQ 例2：已知两点（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），点 在上运动，求当取得最小值时，点 的坐标。( , ,2 ),OQOP 设261610QA QB 4233QA QB 当时，取得最小值。4 4 83 3 3Q此时（ ，）第15页/共22页F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，131

12、1,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例3如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 第16页/共22页第17页/共22页A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F

13、分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正为单位正交交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 因因为为1100D F DAD F DE 所所以以，11D FDAD FDE 即即，DEDAD 又又所以所以1D FADE 平平面面第18页/共22页11110 00 01111例例：如如图图，在在直直三三棱棱柱柱- -中中，=90=90 ，=30=30 ，=1=1，= 6= 6，是是棱棱的的中中点点。求求证证：。ABC A B CACBBACBCA AMCCA BAM BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz第19页/共22页111o11111111 ,ABCCACB1BCA90AA2MNA BAA1)BN2)cos,CB3)A BC M ABCABCBA如如图图 ：直直三三棱棱柱柱底底面面中中， ，棱棱 ，、分分别别为为、的的中中点点，求求的的长长；求求的的值值；求求证证：。BCC1A1B1ANM练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。第