第12讲教学方案

1、材料力学讲义第12讲 教学方案-平面图形的几何性质（1）基 本 内 容静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径教 学 目 的1、掌握静矩和形心的概念和计算方法。2、掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。3、掌握惯性矩和极惯性矩的关系。4、了解当坐标轴为形心轴或对称轴时静矩或惯性积的特点。5、熟知某些简单图形的惯性矩、极惯性矩。重占八、难 占 八、本节重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。本节难点：某些平面图形几何性质的计算。i材料力学讲义第五章 平面图形的几何性质5-1静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图I-1所示。定义式：Sy 二 AzdA, Sz

2、 = jAydA 量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 zC和yC。则A zC = z dA = SyA(I -1)由此可得薄板重心的坐标zC为ZCAZdASy同理有所以形心坐标yCSzyC(I -2)或Sy 二 A Zc, Sz 二 A yC由式(I -2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC =0 ,Sz =0 ; zC =0，贝V Sy =0 ;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过 图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第I块分图形的面积为 A

3、,形心坐标为 yCi, zCi ,则其静矩和形心坐标分别为nnSz 二 Ay。, Sy = Az。(i -3)=1i =19ycSzA二 Ai y Ci i丄n、Ai例I -1求图I -2所示半圆形的 Sy,Sz及形心解：由对称性，yc =0 , S,=0。现取平行于y轴的狭长条作为微面积 dAdA 二 ydz = 2 R2 -z2dzSyx Azai丄n、Aii 4(I -4)所以=60 mm图17Sy 二 AzdA 二:z 2：R2 -z2dz 二卽3鱼=4RA 3:读者自己也可用极坐标求解例I -2确定形心位置，如图I -3所示。解：将图形看作由两个矩形I和H组成，在图示坐标每个矩形的面

4、积及形心位置分别为 矩形I: A =120 10 =1200mm210120yci5 mm, Zci22矩形: a2=7010= 700mm2yC2=1070=45 mm,zC12整个图形形心C的坐标为ycAi yci A2 yc2Ai A21200 5700 451200700=19.7 mmAiZci A2ZC2Zc :Ai +A21200 60700 5-1200 +700二 39.7 mm5-2惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩, -4所示。如图I量纲为长度的四次方，恒为正y ,A，ilz 二 Ay2dA相应定义(I -5)(I -6)为图形对 y轴和对z轴的惯

5、性半径。组合图形的惯性矩。设lyj, |力为分图形的惯性矩,则总图形对同一轴惯性矩为若以n1 y1 yi，1 =!T表示微面积nlz =zi(I -7)i=idA到坐标原点 0的距离，则定义图形对坐标原点O的极惯性矩Ip = A ：?2dA(I -8)因为y2 z2所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系Ip = JA(y2+z2dA = ly +匚(I -9)A式（I -9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的 极惯性矩。下式(I -10)lyz 二.AyzdA定义为图形对一对正交轴y、z轴的惯性积。量纲是长度的四次方。lyz可能为正，为负或为零。若y ,z轴 中有一根为对称轴则其惯性积为零。例I -3求如图I -5所示圆形截面的ly,lz,lyz,lp。解：如图所示取 dA ,根据定义，D 兀D4I厂 z2dA二 2dZ2 2 R2 -z2dz= Dy A-264由于轴对称性，则有-l64(l-10a)l yz=由公式（I -9）：D432(l-10b)对于空心圆截面，外径为D ，内径为 d，则D432(1-：4)-4求如图I -6所示图形的解：取平行于 y轴的狭长矩形,二D4ly及由于中宽度y随z变化,l yAZ2