人教高中数学选修 数学归纳法及其应用举例PPT学习教案

1、会计学1人教高中数学选修人教高中数学选修 数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用举例举例问题问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目唱歌，如果一个节目是唱

2、歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：一、设置情景，导学探究：第1页/共35页多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下-递推关系；递推关系；即第即第k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1块也倒下块也倒下-奠基；奠基；第2页/共35页111111证明：证明：1）当n =1式，a =

3、a +(1-1)d = a ,结论成立1）当n =1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d2)假设n = k式结论成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 综合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 综合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那

4、么nn1例：已知数列a 为等差，公差为d, :通项公式为a = a +(n-1)d求求证证(一定要用上假设一定要用上假设)第3页/共35页二、挖掘内涵、形成概念：二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成

5、立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时时命题成立命题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。【归纳奠基归纳奠基】【归纳递推归纳递推】第4页/共35页数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与自

6、然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论其格式主要有两个步骤、一个结论: : （1 1）证明当）证明当n n取取第一个值第一个值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确；等）时结论正确； 验证初始条件验证初始条件-游戏开始游戏开始（2 2）假设）假设n=kn=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1n=k+1时结论也正确；时结论也正确； 假设推理假设推理-游戏规则游戏规则（3 3）由（）由（1 1）、（）、（2 2）得出结论）得出结论. . 点题点题找准起点找准起点奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设递推才真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整

7、特别提醒：特别提醒：第5页/共35页证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基递推基础础递推依递推依据据例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右右121n=1时，时，等式成立等式成立(2)假设假

8、设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立第6页/共35页证明：证明：1、当、当n=1时时,左左=12=1，右，右=n=1时，等式成立时，等式成立2、假设、假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即那么，当那么，当n=k+1时时左左=12+22+k2+(k+1)2=右右n=k+1时，原不等式成立时，原不等式成立由由1、2知当知当n N*时，原不等式都成立时，原

9、不等式都成立16)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2 kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk6)12)(1(3212222 nnnn练练1、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：第7页/共35页例例:如下证明对吗如下证明对吗？nn)21(12121212132求证：证明：当证明：当n=1时，左边时，左边21右边右边212111等式成立。等式成立。设设n=k时，有时，有kk)21(12121212132那么，当那么，当n=k+1时，有时，有11132211211211212121212121kkkk即即n=k+1时

10、，命题成立。时，命题成立。根据问可知，对根据问可知，对nN，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第8页/共35页(1)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系间的逻辑严密关系,造成推理无效造成推理无效. 证明中的几个注意问题：证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证取起，证明时应根据具体情况而定明时应根据具体情况而定

11、.例例:欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第一的第一个取值应是多少个取值应是多少?答答:对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.第9页/共35页例例:用数学归纳法证明用数学归纳法证明: nn211214131211,212111nnn (3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什命题是什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应弄清应增加的项增加的项.第10页/共35页(1)在第二步中在第二步中,证

12、明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无造成推理无效效.证明中的几个注意问题：证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值在第一步中的初始值不一定从不一定从1取起取起，证明时，证明时应根据具体情况而定应根据具体情况而定.(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是命题是什什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题

13、形式的差别.弄清弄清应增加的项应增加的项.第11页/共35页练习巩固练习巩固 n+2n+22n+12n+1* *- -+=a +=a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、 证明：证明：在验证在验证n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（ ） A A 1 1 B. B. C C D.D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a131.2111)( nnnnf2 2. .已知已知: : 则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: )

14、1( kf1)1(31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkf第12页/共35页这就是说当这就是说当 时等式成立，时等式成立，所以所以 时等式成立时等式成立.1 kn*Nn224621nnn思考思考1：下列推证是否正确，并指出原因下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：kn 证明：假设证明：假设 时，等式成立，时，等式成立，126422kkk就是就是122642kk1212kkk2111kk那么那么第13页/共35页1)1(1321211nnnn思考思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证

15、明命题的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么?21211211111) 1(1321211kkkk(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=(2)假设假设n=k(kN*)时命题成立时命题成立，那么那么n=k+1时时,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 1)1(1211)2111()3121()211( kkkkk=右边右边,左边左边第14页/共35页思考思考3：下列证法对吗？下列证法对吗？用数学归纳法证（用数学归纳法证（nNnN+ +):):1+2+3+1+2+3+ 2n = n(2n

16、+1 )+ 2n = n(2n+1 )证明：证明：1)左边左边=1= 2) 2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立, ,即即: :1+2+3+1+2+3+ 2k = k(2k+1).+ 2k = k(2k+1).1+2+3+1+2+3+ 2k +2(k+1) + 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)= = k( 2k+1)+2(k+1)=那么那么，n = k+1 n = k+1 时时，1+2+3+1+2+3+ 2k = k(2k+1).+ 2k = k(2k+1).1+2+3+1+2+3+ 2k+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1)(2k+1)+ 2(k+1)= k(

17、2k+1)+= k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)(2k+1)+ 2(k+1)= =那么那么，n = k+1 n = k+1 时时，证明：证明：1)左边左边=1+2=3=右边右边 2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立, ,即即: :第15页/共35页例例、用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1

18、时，时，)1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3第16页/共35页1）明确首先取值）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；并验证命题真假（必不可少）；2）“假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式；并写出命题形式；3）分析）分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出

19、与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；式的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：第17页/共35页例例1、是否存在常数、是否存在

20、常数a、b,使得等式使得等式: 对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.2) 12)(12(5323112222bnnannnn解解:令令n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:).(24) 12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(1)当当n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：二、数学归纳法应用举例：第18页/共35页(2)假设当假设当n=k时结论正确时结论正确,即即:.24)12)(12(532

21、3112222kkkkkk则当则当n=k+1时时,.2)1(4)1()1(6423)32)(12(2)2)(12)(1()32)(12(2)2232)(1()32)(12(2)1(2)32)(1()32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(5323112222222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk故当故当n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论正确结论正确.第19页/共35页例例2、已知正数数列、已知正数数列an中中,前前n项和为项和为sn,且且 用数学归纳法证明用数学归纳

22、法证明:.12nnnaaS. 1nnan证证:(1)当当n=1时时, =1,结论成立结论成立.111, 11)1(211211111aaaaSa(2)假设当假设当n=k时时,结论成立结论成立,即即. 1kkak则当则当n=k+1时时,.)111(21)1(21kkkkkaaSkkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaaSSa故当故当n=k+1时时,结论也成立结论也成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论都成立结论都成立.第20页/共35页(2)数学归纳法证明整除问题：数学归纳法证明整除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归

23、纳法证明: 当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2

24、)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.第21页/共35页例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1NnAnnn证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题显然成立命题显然成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍数的倍数.13251kkkA那么那么:) 13(45) 13(4) 1325(5132511111kkkkkkkkAA因为因为Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时

25、,命题成立命题成立.由由(1)、(2)知对一切正整数知对一切正整数n, An能被能被8整除整除.第22页/共35页例例3、求证、求证:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立从而命题成立.(2)假设当假设当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1

26、)因为因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所以上式右边能被所以上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.第23页/共35页例例6、平面内有、平面内有n(n 2)条直线，任何两条都不平行，任条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数何三条不过同一点，问交点的个数为多少为多少?并证明并证明.)(nf2)1()( nnnf当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增

27、加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命题成立。命题成立。 21 k+1 k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当即当n=k+1n

28、=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。212121212 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),21(3)数学归纳法证明几何问题：数学归纳法证明几何问题：第24页/共35页练习练习1:凸凸n边形有边形有f(n)条对角线条对角线,则凸则凸n+1边形的对角线边形的对角线 的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.n-1练习练习2:设有通过一点的设有通过一点的k个平面个平面,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线,这这k个平面将个平

29、面将 空间分成空间分成f(k)个区域个区域,则则k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_个区域个区域.2k第25页/共35页(4)数学归纳法证明不等式问题：数学归纳法证明不等式问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:)., 2(2413212111*Nnnnnn证证:(1)当当n=2时时, 左边左边= 不等式不等式 成立成立.,241324144131221121(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有: ,2413212111kkk则当则当n=k+1时时,我们有我们有:)11221121(212111221121212) 1(11

30、) 1(1kkkkkkkkkkk第26页/共35页.2413) 22)(12(12413)221121(2413kkkk即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn例例2、证明不等式、证明不等式:*11112().23n nNn证证:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=2, 不等式显然成立不等式显然成立.(2)假设当假设当n=k时不等式成立时不等式成立,即有即有:,2131211kk则当则当n=k+1时时,我们有我们有:第27页/共35页,11211131211kkkk. 12112. 01121211

31、)1(2)112(12kkkkkkkkkkkkk. 1211131211:kkk故即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.根据根据(1)、(2)可知可知,原不等式对一切正整数都原不等式对一切正整数都 成立成立.第28页/共35页例例3、求证、求证:).2,(12131211222nNnnn证证:(1)当当n=1时时,左边左边= ,右边右边= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 45211223212,2345(2)假设假设n=k( )时命题成立时命题成立,即即 2, kNk.12131211222kk则当则当n=k+1时时,22222) 1(112) 1(1131211kkkk第

32、29页/共35页即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn.112)111(12)1(112)1(1122kkkkkkkkk第30页/共35页例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N，n 2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.