飞行器空气动力学：第3章 亚声翼型和机翼的气动特性

1、 Folie 2 3.1 亚声速可压流中绕翼型的流动特点亚声速可压流中绕翼型的流动特点 3.2 定常理想可压流速位方程定常理想可压流速位方程 3.3 小扰动线化理论小扰动线化理论 3.4 亚声速可压流中薄翼型的气动特性亚声速可压流中薄翼型的气动特性 3.5 亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响亚声速机翼的气动特性及马赫数对气动特性的影响 Folie 3 在流场中，如果处处都是亚声速的，则称该流场为亚在流场中，如果处处都是亚声速的，则称该流场为亚 声速流场。声速流场。 我们知道，当马赫数小于我们知道，当马赫数小于0.3时，可以忽略空气的压缩时，可以忽略空气的压缩 性，按不可压缩流动处理；

2、当马赫数大于性，按不可压缩流动处理；当马赫数大于0.3时，就要考时，就要考 虑压缩性的影响，否则会导致较大误差。虑压缩性的影响，否则会导致较大误差。 亚声速可压流流过翼型的绕流图画与低速不可压流动亚声速可压流流过翼型的绕流图画与低速不可压流动 情况相比，无本质区别，只是在翼型上下流管收缩处，情况相比，无本质区别，只是在翼型上下流管收缩处， 亚声速可压流在竖向受到扰动的扩张，要比低速不可压亚声速可压流在竖向受到扰动的扩张，要比低速不可压 流的流线为大，即压缩性使翼型在竖向产生的扰动，要流的流线为大，即压缩性使翼型在竖向产生的扰动，要 比低速不可压流的为强，传播得更远。比低速不可压流的为强，传播得

3、更远。 返回返回 Folie 4 上面现象可以用一维等熵流的理论来分析。取上面现象可以用一维等熵流的理论来分析。取AA和和 BB之间的流管，我们知道，有之间的流管，我们知道，有 即对相同的速度增量的即对相同的速度增量的dV/V，亚声速可压流引起的截，亚声速可压流引起的截 面积减小面积减小dA/A，要小于不可压的情况，故当地流管要大，要小于不可压的情况，故当地流管要大， 因为可压流时，随着速度的增加，密度要减小，故为保因为可压流时，随着速度的增加，密度要减小，故为保 持质量守恒，截面积减小的程度就要小于不可压情况，持质量守恒，截面积减小的程度就要小于不可压情况， 即流管比不可压情况为大。即流管比

4、不可压情况为大。 V dV Ma A dA )1 ( 2 不可压流和亚声速不可压流和亚声速 可压流绕翼型流动可压流绕翼型流动 的流线的流线 Folie 5 在亚声速可压流中，翼型表面的负压区，对于在亚声速可压流中，翼型表面的负压区，对于 相同速度变化率相同速度变化率dv/vdv/v的增加，由于的增加，由于 所引起的密度变化率的降低，要比相应低速不所引起的密度变化率的降低，要比相应低速不 可压流来得大。为了保持流管中质量守恒，与不可压流来得大。为了保持流管中质量守恒，与不 可压缩流动相比，流线必须在垂向扩张以增大流可压缩流动相比，流线必须在垂向扩张以增大流 管面积。这说明受亚声速流动的压缩性影响

5、，将管面积。这说明受亚声速流动的压缩性影响，将 使翼型在垂向所产生的扰动，要比低速不可压流使翼型在垂向所产生的扰动，要比低速不可压流 的为强，从而在该方向传播的更远。的为强，从而在该方向传播的更远。 V dV Ma d d dp VdV dp 22 a Folie 6 在定常理想中，对等熵可压流动问题，由于密度不再是在定常理想中，对等熵可压流动问题，由于密度不再是 常数，故不再有简单的速度位拉普拉斯方程（不可压缩流常数，故不再有简单的速度位拉普拉斯方程（不可压缩流 动）。动）。 此时，连续方程为此时，连续方程为 不计质量力的欧拉方程为不计质量力的欧拉方程为 在等熵流动中，密度只是压强的函数，是

6、正压流体。在等熵流动中，密度只是压强的函数，是正压流体。 z p z w w y w v x w u y p z v w y v v x v u x p z u w y u v x u u 1 1 1 z p azy p ayx p ax p dp d x 222 1 1 1 0 )()()( z w y v x u 返回返回 Folie 7 由连续方程，有由连续方程，有 将欧拉方程中的压强偏导数通过声速代换成密度导数，将欧拉方程中的压强偏导数通过声速代换成密度导数， 代入连续方程，即得只含速度和声速的方程形式。代入连续方程，即得只含速度和声速的方程形式。 0 1 0)( 2 z w y v

7、x u z pw y pv x pu a z w y v x u z w y v x u 0 2 22 z w y v x u z w w y w v x w u a w z v w y v v x v u a v z u w y u v x u u a u Folie 8 整理后，得到：整理后，得到： 对于位流，存在速度位对于位流，存在速度位 j ，将其代入，即得只包含一，将其代入，即得只包含一 个未知函数个未知函数j的方程。有的方程。有 0 )1 ()1 ()1 ( 222 2 2 2 2 2 2 x w z u a uw y w z v a vw x v y u a uv z w a w

8、 y v a v x u a u z w y v x u 0222 )1 ()1 ()1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zxa uw zya vw yxa uv za w ya v xa u Folie 9 该方程即为定常理想可压流速位方程，又称全速位方该方程即为定常理想可压流速位方程，又称全速位方 程。程。 不可压流动相当于声速趋于无穷大的情况，代入全速不可压流动相当于声速趋于无穷大的情况，代入全速 位方程，即得拉普拉斯方程。由等熵流动的能量方程，位方程，即得拉普拉斯方程。由等熵流动的能量方程， 可得可得 12 12 2 2222 C aV CR

9、T V CpC dpV Folie 10 这样，声速可用速度形式表示。因此，全速度位方程这样，声速可用速度形式表示。因此，全速度位方程 中仅包含一个未知函数速度势函数。故，对于定常、理中仅包含一个未知函数速度势函数。故，对于定常、理 想、等熵可压缩绕流问题，即为满足具体边界条件求解想、等熵可压缩绕流问题，即为满足具体边界条件求解 全速位方程的数学问题，由于方程的非线性，对于实际全速位方程的数学问题，由于方程的非线性，对于实际 物体形状的绕流问题，一般无法求精确解。全速位方程物体形状的绕流问题，一般无法求精确解。全速位方程 因为系数是速度位的函数，故是非线性的二阶偏微分方因为系数是速度位的函数，

10、故是非线性的二阶偏微分方 程（二阶拟线性方程）程（二阶拟线性方程）, 难于求解难于求解; 可采用小扰动线化的可采用小扰动线化的 近似解法及数值解法等。近似解法及数值解法等。 Folie 11 飞行器做高速飞行时飞行器做高速飞行时, 为减小阻力为减小阻力, 机翼的相对厚度、机翼的相对厚度、 弯度都较小弯度都较小, 且迎角也不大且迎角也不大, 如图所示，因此对无穷远来如图所示，因此对无穷远来 流的扰动，除个别地方外，总的来说不大，满足小扰动流的扰动，除个别地方外，总的来说不大，满足小扰动 条件。条件。 薄翼型对直均流的扰动薄翼型对直均流的扰动 （a）未受扰流场）未受扰流场 （b）受扰流场）受扰流场

11、 返回返回 Folie 12 取取x轴与未经扰动的直匀来流一致，即在风轴系中，流轴与未经扰动的直匀来流一致，即在风轴系中，流 场各点的速度为场各点的速度为 ，可以将其分成两部分，一是前，可以将其分成两部分，一是前 方来流方来流 ，一是由于物体的存在，对流场产生的扰动，一是由于物体的存在，对流场产生的扰动， 设为设为 ，故，故 , ,u v w , ,u v w V ww vv uVu Folie 13 若扰动分速与来流相比都是小量即若扰动分速与来流相比都是小量即 ， 则称为小扰动。则称为小扰动。 在小扰动条件下，全速位方程可以简化为线化方程。在小扰动条件下，全速位方程可以简化为线化方程。 将上

12、式代入全速位方程，并通过能量方程给出音速将上式代入全速位方程，并通过能量方程给出音速a： 1 ,1 ,1 uvw VVV 2222 11 22 aVaV 22222 2 2 1 wvuuVaa Folie 14 速度位方程变成为速度位方程变成为 x w z u uw y w z v vw x v y u uv z w wa y v va x u ua)()()( 222222 1)( 2 1 )( 2 1 ) 1( 1 )(2 2 11 2 22 2 2 22222 22 22 V wv V u V u Ma uVwvuuVa VV ua )( 2 1 )( 2 1 ) 1( 1 2 2 11

13、 2 22 2 2 22222 22 22 V wu V v V u Ma vwvuuVa VV va )( 2 1 )( 2 1 ) 1( 1 2 2 11 2 22 2 2 22222 22 22 V vu V w V u Ma wwvuuVa VV wa Folie 15 整理后，得到整理后，得到 2 22 22 2 22 22 2 22 22 2 2 (1) 11 (1)()() 22 11 (1)()() 22 11 (1)()() 22 (1 uvw Ma xyz uuvwu Ma VVVx uvuwv Ma VVVy uwuvw Ma VVVz v Ma V 2 2 ) (1)

14、uuvv wvw Ma VyxV Vzy wuuw Ma VVzx Folie 16 此式的左边是常系数的线性算子，右边则是非线性项。此式的左边是常系数的线性算子，右边则是非线性项。 如果利用小扰动假设，忽略三阶小量，有如果利用小扰动假设，忽略三阶小量，有 x w z u V w Ma x v y u V v Ma z w V u Ma y v V u Ma x u V u Ma z w y v x u Ma 22 222 2 ) 1() 1() 1( )1 ( Folie 17 为了书写方便，去掉为了书写方便，去掉，得到，得到 x w z u V w Ma x v y u V v Ma z

15、w y v V u Ma x u V u Ma z w y v x u Ma 22 22 2 )() 1() 1( )1 ( Folie 18 现假设：现假设： 流动满足小扰动条件；流动满足小扰动条件； 非跨声速流动，即非跨声速流动，即 不太接近于不太接近于1，故，故 不是小量；不是小量； 非高超声速流，即非高超声速流，即 不是很大不是很大 。 此时，上式左侧为一量级，右侧为二阶小量略去，得此时，上式左侧为一量级，右侧为二阶小量略去，得 M 2 1 M M 0)1 ( 2 z w y v x u Ma Folie 19 对于无旋流动，有扰动位函数存在，方程成为对于无旋流动，有扰动位函数存在，方

16、程成为 0)1 ( 2 2 2 2 2 2 2 zyx Ma Folie 20 该方程是线性二阶偏微分方程，故称为全速位方程的该方程是线性二阶偏微分方程，故称为全速位方程的 小扰动线化方程。小扰动线化方程。 时，令时，令 ，上面方程为，上面方程为1 M 2 1 Ma 0 2 2 2 2 2 2 2 zyx Folie 21 时，令时，令 ，上面方程为，上面方程为 可见，线化方程在亚声速时为椭圆型方程，在超声速可见，线化方程在亚声速时为椭圆型方程，在超声速 时为双曲型方程。时为双曲型方程。 1M 0 2 2 2 2 2 2 2 zyx B 2 1BMa Folie 22 按压强系数的定义按压强系

17、数的定义 应用能量方程和等熵关系应用能量方程和等熵关系 2 2 222 2 ) 1/(2) 1/(2) 1/(2) 1/(2 2 1 Ma pp a V pp RT V ppp V pp V pp Cp Cp pVpV 1212 22 )1 ( 2 1 ) 1( )1 ( 2 ) 1( 1 2 2 2 2 22 V V Ma p p V VV p pp Folie 23 故故 1 2 2 2 )1 ( 2 1 1 V V Ma p p Folie 24 由此得到压强系数为由此得到压强系数为 将上式按二项式展开，在小扰动时，略去扰动速度的将上式按二项式展开，在小扰动时，略去扰动速度的 三次及更高

18、阶小量，得三次及更高阶小量，得 1)1 ( 2 1 1 2 1 2 2 2 2 V V Ma Ma C p 2 22 2 2 2 V wv V u V u C p Folie 25 对机翼等扁平物体，只取一次近似得对机翼等扁平物体，只取一次近似得 该式与不可压流动压强系数线化公式完全一样，压强该式与不可压流动压强系数线化公式完全一样，压强 系数仅决定于系数仅决定于x向的扰动速度。向的扰动速度。 V u C p 2 Folie 26 边界条件包括远方的和物面上的两个条件。边界条件包括远方的和物面上的两个条件。 理想流体的物面边界条件，是流体的法向速度为零。理想流体的物面边界条件，是流体的法向速度

19、为零。 在小扰动条件下，可获得较简单的线化物面边界条件。在小扰动条件下，可获得较简单的线化物面边界条件。 设物面的中弧线方程为设物面的中弧线方程为 合速在物面的法线方向的分量为零的条件是合速在物面的法线方向的分量为零的条件是 ),( zxfy 0nV Folie 27 即即 k z f ji x f n ) 1( 0)( z f wv x f uV Folie 28 小扰动假设下，物体厚度弯度都很小，即小扰动假设下，物体厚度弯度都很小，即 ， 是是 小量，将上式两边同除小量，将上式两边同除 ，忽略二阶小量，上式成为，忽略二阶小量，上式成为 即即 上面速度为物面上的值，在物体扁平、且迎角很小的上

20、面速度为物面上的值，在物体扁平、且迎角很小的 情况下，可以用情况下，可以用x轴线上的值代替，即轴线上的值代替，即 f x f z V 0 v x f V x y Vv s ,0 s s vv x yv x Folie 29 而边界条件则可以写为而边界条件则可以写为 用于平面流问题，上式变成用于平面流问题，上式变成 式中的式中的 是物面的斜率。是物面的斜率。 S y x y V y xv)()0 ,( 0 s dx dy Vxv)() 0 , ( sdy dx Folie 30 无限远处的边界条件，在直匀流流过一个机翼这类物无限远处的边界条件，在直匀流流过一个机翼这类物 体上，扰动速度总是趋于零

21、。但对于有升力的有限翼展体上，扰动速度总是趋于零。但对于有升力的有限翼展 机翼，它有个尾涡系。在理想流里，这个涡系应该向下机翼，它有个尾涡系。在理想流里，这个涡系应该向下 游伸展到无限远。在无限远的下游，这个有涡的局部地游伸展到无限远。在无限远的下游，这个有涡的局部地 区的扰动速度是不趋于零的。不过这也无需另外用什么区的扰动速度是不趋于零的。不过这也无需另外用什么 条件去满足它，因为满足了机翼上的边界条件的涡系，条件去满足它，因为满足了机翼上的边界条件的涡系， 是自然伸展到下游无限远处去的。是自然伸展到下游无限远处去的。 Folie 31 3.4.1 流过波纹壁面的二维亚声速流流过波纹壁面的二

22、维亚声速流 这里先用速位线化方程解一个二维的平面流流过无限这里先用速位线化方程解一个二维的平面流流过无限 长（长（x向）波纹壁的问题。这是个很好的例子，可以从定向）波纹壁的问题。这是个很好的例子，可以从定 性和定量两方面说明压缩性对流普和压强分布的影响。性和定量两方面说明压缩性对流普和压强分布的影响。 见图，设波形壁面是正弦曲线，波长为见图，设波形壁面是正弦曲线，波长为l，波幅为，波幅为d。 将将x轴放在波峰和波谷的平均线上。有直匀流轴放在波峰和波谷的平均线上。有直匀流 从左側从左側 流过此壁面，其方向与流过此壁面，其方向与x轴平行。轴平行。 V 返回返回 Folie 32 过波形壁的流动过波

23、形壁的流动 Folie 33 壁面方程是壁面方程是 相应的定解问题是相应的定解问题是 利用分离变量法，假设速度位利用分离变量法，假设速度位 ，代入线化，代入线化 方程，得方程，得 l x dys 2 sin dx dy V y yx s y 0 2 2 2 2 2 )( 0 yGxF 0 1 F 1 0 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 Gk dy Gd Fk dx Fd k dy Gd Gdx Fd dy Gd F dx Fd G Folie 34 而波纹壁面的斜率为而波纹壁面的斜率为 求解上式，得到求解上式，得到 l x l d dx dys2 cos 2

24、 l x l d VkxCkxCkC 2 cos 2 )sincos( 214 l k d VCC 2 C 0 412 Folie 35 故绕波形壁面的二维亚音速流动的速度位函数是：故绕波形壁面的二维亚音速流动的速度位函数是： l x e dV yx kxeCCyx y l ky 2 cos),( cos),( 2 41 l x e l d VkxkeCC y v l x e l dV kxkeCC x u l y ky l y ky 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 41 2 41 Folie 36 流线方程为流线方程为 l x dey l x e l d dx dy V

25、v dx dy V dx uV dx v dy l h l y 2 sin 2 cos 2 2 2 Folie 37 壁面上的压强系数为：壁面上的压强系数为： 前面图中（前面图中（a）上给出了不同高度上的流线。流线的起）上给出了不同高度上的流线。流线的起 伏是和壁面同相位的。离壁面越远，起伏的幅度越小；伏是和壁面同相位的。离壁面越远，起伏的幅度越小； 但在同一高度上，对于不同的来流马赫数，但在同一高度上，对于不同的来流马赫数， 越大，越大， 越小，越小， 值越大，幅度越大，或说值越大，幅度越大，或说 越大，在同越大，在同 一点受到的扰动越大，即减弱得越少。一点受到的扰动越大，即减弱得越少。 l

26、 x l d V xu C ps 2 sin 41)0 ,(2 Ma ky e Ma Folie 38 壁面上的壁面上的 沿沿x的分布见前面图中（的分布见前面图中（b），压强的起伏），压强的起伏 也是正弦规律，但和壁面的起伏差一个负号，亚声速流也是正弦规律，但和壁面的起伏差一个负号，亚声速流 和不可压流之间的流动没有本质的差别，因为当和不可压流之间的流动没有本质的差别，因为当 0 时，时，1，流场就由亚声速流变为不可压流。，流场就由亚声速流变为不可压流。 的绝对值随的绝对值随 增大而上升，其放大的因是增大而上升，其放大的因是 。 图（图（b）中画了）中画了 =0.3和和0.5的两条的两条 曲线

27、的对比。曲线的对比。 s p c Ma s p C Ma 1 Ma s p C Folie 39 对亚声速可压流绕过物体的流动，在小扰动条件下，对亚声速可压流绕过物体的流动，在小扰动条件下， 扰动速度位满足线化方程及线化边界条件，可以求解，扰动速度位满足线化方程及线化边界条件，可以求解， 获得物体表面压强，进而求得其气动特性。获得物体表面压强，进而求得其气动特性。 对同一物体绕流，由于亚声速流场与不可压流场没有对同一物体绕流，由于亚声速流场与不可压流场没有 本质区别，仅在数量上有一定差异，如果已经知道了低本质区别，仅在数量上有一定差异，如果已经知道了低 速气动特性，能否通过一定的变换关系，获得

28、它的亚音速气动特性，能否通过一定的变换关系，获得它的亚音 声气动特性呢？答案是肯定的。声气动特性呢？答案是肯定的。 Folie 40 亚声速流的线化方程是椭圆型的，与不可压流的拉普拉亚声速流的线化方程是椭圆型的，与不可压流的拉普拉 斯方程相比，只是第一项的系数不是斯方程相比，只是第一项的系数不是1.0，而是常数因子，而是常数因子 2。这可以通过适当的坐标变换，将线化方程化为拉普拉。这可以通过适当的坐标变换，将线化方程化为拉普拉 斯方程，并将边界条件和压强系数也作相应变换，这样斯方程，并将边界条件和压强系数也作相应变换，这样 就把求解线化方程满足边界条件的问题变为求解拉普拉就把求解线化方程满足边

29、界条件的问题变为求解拉普拉 斯方程满足边界条件的问题。斯方程满足边界条件的问题。 Folie 41 1. 线化方程的变换线化方程的变换 定义以下变换定义以下变换 X=x，Y=y，Z=z，k= ， 上面纵向上面纵向x和其他两个方向和其他两个方向y、z用的是不同的缩尺，这用的是不同的缩尺，这 种保持纵向尺度不变，只把其他两个方向的尺度加以放种保持纵向尺度不变，只把其他两个方向的尺度加以放 大或缩小的变换称为仿射变换，经此变换之后，两流场大或缩小的变换称为仿射变换，经此变换之后，两流场 中的物体不是几何相似的，是仿射相似的。中的物体不是几何相似的，是仿射相似的。 大写大写X、Y、Z、 表示不可压的坐

30、标和扰动速度位，代表示不可压的坐标和扰动速度位，代 入线化方程，由于入线化方程，由于 VV 可压不可压 2 2 2 2 1 Xkx 2 22 2 2 Yky 2 22 2 2 Zkz Folie 42 得得 通过变换，得到形式上和不可压流的拉普拉斯方程一通过变换，得到形式上和不可压流的拉普拉斯方程一 样方程。样方程。 用于平面流，此式是用于平面流，此式是 2. 边界条件的变换边界条件的变换 远前方边界条件，扰动速度必须为零，经上面的变换远前方边界条件，扰动速度必须为零，经上面的变换 后仍然满足。对于二维物面边界条件，将上面的变换代后仍然满足。对于二维物面边界条件，将上面的变换代 入，得到入，得

31、到 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ZYXzyx 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 YXyx ssYy dX dY dx dy Yky xv)( V )(V )()()0 ,( 00 Folie 43 故故 若令若令 则则 可获得与不可压流相同形式的边界条件。故解可压流可获得与不可压流相同形式的边界条件。故解可压流 速度位线化方程加线化边界条件问题就转化为解速度位线化方程加线化边界条件问题就转化为解Laplace 方程加相同边界条件的不可压流问题，即亚声速薄翼型方程加相同边界条件的不可压流问题，即亚声速薄翼型 绕流问题已变换为不可压绕流问题。绕流问题已变换

32、为不可压绕流问题。 sY dX dYk Y )( V )( 2 0 2 k 0Ys dY V YdX 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 YXyx dx dy V y s y 0 )( 0Ys dY V YdX 22 yx Y Xk Folie 44 3. 相应薄翼型之间的变换相应薄翼型之间的变换 现研究亚声速薄翼型绕流与相应的不可压低速薄翼型现研究亚声速薄翼型绕流与相应的不可压低速薄翼型 之间的几何参数关系。根据上面仿射变换公式，不可压之间的几何参数关系。根据上面仿射变换公式，不可压 流的翼型流的翼型X向尺寸不变，向尺寸不变，Y方向等于亚声速翼型的方向等于亚声速翼型的y向尺向尺 寸乘

33、以寸乘以。故对应不可压翼型的相对厚度、相对弯度均为。故对应不可压翼型的相对厚度、相对弯度均为 可压流翼型对应值的可压流翼型对应值的倍，同样，迎角也乘以倍，同样，迎角也乘以。可见，。可见， 对应不可压翼型绕流比原始翼型薄、弯度小、迎角小，对应不可压翼型绕流比原始翼型薄、弯度小、迎角小， 见图。见图。 Folie 45 a）可压流场）可压流场 （b）不可压流场）不可压流场 可压与不可压流场翼型的对应关系可压与不可压流场翼型的对应关系 c 角迎 相对弯度 相对厚度 ff c Folie 46 4. 翼型上对应点压强系数之间的变换翼型上对应点压强系数之间的变换 将上面变换关系代入压强系数的线化公式，得

34、将上面变换关系代入压强系数的线化公式，得 或写为或写为 0 22 1 ) 2 ( 122 pp C XVxVV u C ), 0( 1 ),( 2 fcCfcMaC pp Folie 47 即可压流场某点的压强系数等于不可压流场上对应点即可压流场某点的压强系数等于不可压流场上对应点 的压强系数乘以的压强系数乘以1/2。 上面的变换法则称为戈泰特法则上面的变换法则称为戈泰特法则(Gothert similarity rule)，这只是一种换算法。该方法表明：为获得亚声速，这只是一种换算法。该方法表明：为获得亚声速 翼型的气动特性，需计算不可压流中不同翼型在不同迎翼型的气动特性，需计算不可压流中不

35、同翼型在不同迎 角下的绕流流场，给研究带来不便，能否建立同一个翼角下的绕流流场，给研究带来不便，能否建立同一个翼 型在同样迎角下可压流和不可压流压强系数之间的关系型在同样迎角下可压流和不可压流压强系数之间的关系 呢？答案也是可行的。呢？答案也是可行的。 Folie 48 根据薄翼理论根据薄翼理论, 小扰动不可压翼型绕流对气流的扰动小扰动不可压翼型绕流对气流的扰动, 可认为是翼型的厚度可认为是翼型的厚度, 弯度和迎角三者所引起扰动的线性弯度和迎角三者所引起扰动的线性 叠加叠加,且扰动的大小分别与它们成正比。根据此原理，在且扰动的大小分别与它们成正比。根据此原理，在 不可压流场中将翼型厚度、弯度和

36、迎角放大一下，都乘不可压流场中将翼型厚度、弯度和迎角放大一下，都乘 以以1/。其引起的扰动速度也必放大。其引起的扰动速度也必放大1/倍，线化压强系数倍，线化压强系数 与之成正比，故也放大与之成正比，故也放大1/倍，故倍，故 代入上面的压强系数变换式，得代入上面的压强系数变换式，得 ), 0( 1 ), 0(fcCfcC pp ), 0( 1 ),(fcCfcMaC pp Folie 49 这就是说不可压流和可压流在完全相同的翼型和迎角这就是说不可压流和可压流在完全相同的翼型和迎角 条件下，其对应点上的压强系数的关系是，把不可压流条件下，其对应点上的压强系数的关系是，把不可压流 的的Cp乘以乘以

37、1/就是亚声速可压流的就是亚声速可压流的Cp值。该换算关系称为值。该换算关系称为 普朗特普朗特-葛劳渥法则（葛劳渥法则（Prandtl-Glauert Rules）。这是葛）。这是葛 劳渥于劳渥于1927年提出来的。普朗特也在那个年代前后提出年提出来的。普朗特也在那个年代前后提出 这个法则。这个法则。1/称为亚声速流的压缩性因子。称为亚声速流的压缩性因子。 Folie 50 5. 翼型的亚声速气动特性翼型的亚声速气动特性 升力系数升力系数Cl是各点的压强系数沿翼面积分而得到的，是各点的压强系数沿翼面积分而得到的， 力矩系数力矩系数mz和升力系数只差一个和升力系数只差一个x向的力臂，所以同一翼向

38、的力臂，所以同一翼 型在同一迎角下，亚声速的型在同一迎角下，亚声速的 Cl和和mz等于等于1/乘以不可压流乘以不可压流 的的Cl和和mz值。即值。即 由于对应翼型的迎角相同，故由于对应翼型的迎角相同，故 ), 0( 1 ),(fcCfcMaC LL ), 0( 1 ),(fcmfcMam zz ), 0( 1 ),(fcCfcMaCL L Folie 51 下图（下图（a）（）（b）（）（c）是）是NACA 4415翼型在同一个迎角翼型在同一个迎角 和三个来流和三个来流Ma数下的数下的Cp分布曲线，分布曲线，Ma分别为分别为0.191， 0.512，0.596。这三条曲线是实验的结果。按普。这

39、三条曲线是实验的结果。按普-葛法则，葛法则， 这三条曲线可以按这三条曲线可以按1/彼此换算。从实验结果来看，压强彼此换算。从实验结果来看，压强 系数分布确实随马赫数的增大而绝对值增大，吸力峰增系数分布确实随马赫数的增大而绝对值增大，吸力峰增 高。高。 NACA4415在不同马赫数下的压强系数分布在不同马赫数下的压强系数分布 Folie 52 6. 卡门卡门-钱公式钱公式 实验发现，当实验发现，当 在在0.50.7之间时，普朗特之间时，普朗特-葛劳渥的葛劳渥的 修正结果与实验数据的差别较大。修正结果与实验数据的差别较大。1939年，钱学森在一年，钱学森在一 篇著名的学术论文中提出了一个新的压缩性

40、修正公式篇著名的学术论文中提出了一个新的压缩性修正公式 卡门卡门-钱公式：钱公式： 该公式的修正量不再是常数该公式的修正量不再是常数 ，而与当地的压强，而与当地的压强 有关，如果是吸力点的话，其为负值，修正量有关，如果是吸力点的话，其为负值，修正量 比比 大些，如果是压力点，是正值，则修正量比大些，如果是压力点，是正值，则修正量比 小小 一些。准确度更高。一些。准确度更高。 M 2 ), 0( 11 1 ), 0( ),( 2 2 2 fcC Ma Ma Ma fcC fcMaC p p p 1 0cf () p C ， ， ， 1 1 Folie 53 下图是同一个下图是同一个NACA441

41、2翼型的三组压强系数曲线翼型的三组压强系数曲线 对比：一是在二维亚音速风洞做实验得出的数据；二是对比：一是在二维亚音速风洞做实验得出的数据；二是 用卡门用卡门-钱学森公式做修正的结果；三是用普钱学森公式做修正的结果；三是用普-葛公式做修葛公式做修 正的结果。翼型的迎角用的都是正的结果。翼型的迎角用的都是-2，量静压的测孔距，量静压的测孔距 前缘前缘30%弦长。一直做到当地流速达到声速。从图上看弦长。一直做到当地流速达到声速。从图上看 到，卡门到，卡门-钱学森的修正公式一直可以用到当地流速达声钱学森的修正公式一直可以用到当地流速达声 速，而普速，而普-葛公式在葛公式在M不太大时，已经显示出修正量

42、不不太大时，已经显示出修正量不 足来了。足来了。 p C Folie 54 Folie 55 将二维的普朗特将二维的普朗特-葛劳渥法则推广到三维，即获得亚声葛劳渥法则推广到三维，即获得亚声 速机翼和不可压机翼之间的对应变换关系。速机翼和不可压机翼之间的对应变换关系。 3.5.1 相应机翼形状之间的变换相应机翼形状之间的变换 对于机翼，根据前面仿射变换关系，对于机翼，根据前面仿射变换关系，X向不变，向不变，Z向向 缩小，缩小， ，故相应机翼之间平面几何参数存在以下，故相应机翼之间平面几何参数存在以下 关系：关系： Zz 返回返回 Folie 56 根梢比根梢比 展弦比展弦比 后掠角后掠角 可见，

43、对应不可压流中的机翼，其展弦比变小，后掠可见，对应不可压流中的机翼，其展弦比变小，后掠 角变大，而根梢比不变。角变大，而根梢比不变。 tgtg 1 tgtg 1 Folie 57 亚音速和对应不可压机翼平面形状之间的关系亚音速和对应不可压机翼平面形状之间的关系 Folie 58 扁平物体绕流作压缩性修正时，不同扁平物体绕流作压缩性修正时，不同 数下的相应物形数下的相应物形 M Folie 59 对于可压流机翼，其对应的不可压机翼，平面形状满对于可压流机翼，其对应的不可压机翼，平面形状满 足上面的关系，即展弦比变成足上面的关系，即展弦比变成 、后掠角的正切变、后掠角的正切变 成成 ，翼型不变，迎

44、角不变，推广应用普朗特，翼型不变，迎角不变，推广应用普朗特-葛葛 劳渥法则至三维，可得可压流中的机翼的压强系数等于劳渥法则至三维，可得可压流中的机翼的压强系数等于 对应不可压机翼上对应点的压强系数的对应不可压机翼上对应点的压强系数的 倍。即倍。即 或或 tgtg 1 1 ), 1 , 0( 1 ),( tgfcCtgfcMaC pp ), 1 , 0( 1 ),( tgCtgMaC pp Folie 60 同理，可获得它们的升力特性和俯仰力矩特性的对应同理，可获得它们的升力特性和俯仰力矩特性的对应 关系关系 ), 1 , 0( 1 ),( ), 1 , 0( 1 ),( tgmtgMam tg

45、CtgMaC zz LL Folie 61 根据普朗特根据普朗特-葛劳渥法则，亚声速可压流中机翼的气动葛劳渥法则，亚声速可压流中机翼的气动 特性，可从不可压流中相应机翼的气动特性求出。特性，可从不可压流中相应机翼的气动特性求出。 将上面升力系数公式写成升力线斜率公式为将上面升力系数公式写成升力线斜率公式为 ), 1 , 0( 1 ),( tgCtgMaC LL ), 1 , 0( 1 ),( tgCtgMa C L L Folie 62 上式右边是平面几何参数上式右边是平面几何参数 的函数，称为的函数，称为 仿射组合参数，故上式可写为如下形式（为简单，略去仿射组合参数，故上式可写为如下形式（为

46、简单，略去 左边的下标）左边的下标） 式中式中Y是仿射组合参数的某一函数，可见，只要是仿射组合参数的某一函数，可见，只要 相同，亚声速机翼的相同，亚声速机翼的 就相同。就相同。 tan， ),( tgY CL tan， l C Folie 63 因此，如果把不同平面形状无扭转对称翼型的机翼计因此，如果把不同平面形状无扭转对称翼型的机翼计 算值或实验值，按算值或实验值，按 三个仿射组合参数来整三个仿射组合参数来整 理曲线，则所得曲线将能提供任意平面形状机翼在亚声理曲线，则所得曲线将能提供任意平面形状机翼在亚声 速流的速流的 值。值。 整理时可先固定一个参数不变，如整理时可先固定一个参数不变，如

47、，作出一组曲，作出一组曲 线，左边点划线所示（左边为亚声速，右边为超声速），线，左边点划线所示（左边为亚声速，右边为超声速）， 这时，这时， 的影响可忽略不计；换一个的影响可忽略不计；换一个 又得一组类又得一组类 似曲线，这样，就可得到一套计算可压流中机翼升力线似曲线，这样，就可得到一套计算可压流中机翼升力线 斜率的曲线。斜率的曲线。 tan， l C tan tan Folie 64 亚声速相仿率机翼升力系数曲线亚声速相仿率机翼升力系数曲线 Folie 65 设可压流中机翼的压力中心距机翼平均气动弦前缘的设可压流中机翼的压力中心距机翼平均气动弦前缘的x 向距离为向距离为 ，而对应不可压机翼的

48、值为，而对应不可压机翼的值为 则则 M tan p x ， ， ， 0 tan p x 1 ， ), 1 , 0)()(, 1 , 0(), 1 , 0( ),)()(,(),( tg b x tgCtgm tgMa b x tgMaCtgMam A p Lz A p Lz ), 1 , 0( 1 ),( tgmtgMam zz Folie 66 式中式中 和和 分别是亚声速机翼和不分别是亚声速机翼和不 可压机翼的平均气动弦，利用普朗特可压机翼的平均气动弦，利用普朗特-葛劳渥法则，可得葛劳渥法则，可得 M tan A b ， ， ， 0 tan A b 1 ， ), 0(),(tg b x t

49、gMa b x A p A p Folie 67 由于无扭转对称翼型，可压流中机翼焦点位置与对应由于无扭转对称翼型，可压流中机翼焦点位置与对应 的不可压机翼的焦点位置之间的关系为的不可压机翼的焦点位置之间的关系为 故可压流机翼的相对压力中心和焦点也是仿射组合参故可压流机翼的相对压力中心和焦点也是仿射组合参 数的某一函数，即可采用与升力特性相同的方法，按仿数的某一函数，即可采用与升力特性相同的方法，按仿 射组合参数整理数据曲线，获得任意平面形状无扭转对射组合参数整理数据曲线，获得任意平面形状无扭转对 称翼型机翼在亚声速可压流中的相对压力中心和焦点，称翼型机翼在亚声速可压流中的相对压力中心和焦点，

50、 左边给出在左边给出在 时以时以 为参数的一组曲线。为参数的一组曲线。 ), 0(),(tg b x tgMa b x A F A F 0.5 tan0 Folie 68 实验表明，当迎角继续增大时，机翼的压力中心要向实验表明，当迎角继续增大时，机翼的压力中心要向 后移动，实用上近似认为在后移动，实用上近似认为在 的范围内，存在以的范围内，存在以 下线性关系下线性关系 类似亚声速流动的一套图线，在超声速依然成立，相类似亚声速流动的一套图线，在超声速依然成立，相 似参数的形式亦不变，只需将似参数的形式亦不变，只需将 改为改为 即可。即可。 )20( 15 5 )( 0 52 dA A p A p

51、 x b x b x 520 oo )20( 15 5 )( 0 52 dA A p A p x b x b x 2 1 M 2 1M Folie 69 亚声速相仿率机翼压力中心位置曲线亚声速相仿率机翼压力中心位置曲线 Folie 70 1. 对机翼升力特性的影响对机翼升力特性的影响 在亚声速范围内，同一平面形状的机翼，其升力线斜在亚声速范围内，同一平面形状的机翼，其升力线斜 率随率随 的增大而增大，因为在同一迎角下，随的增大而增大，因为在同一迎角下，随 的增的增 大，机翼上表面负压强系数的绝对值和下表面正压强系大，机翼上表面负压强系数的绝对值和下表面正压强系 数的绝对值都增大，所以增大。数的

52、绝对值都增大，所以增大。 M M L C Folie 71 在亚声速范围内，机翼的最大升力系数在亚声速范围内，机翼的最大升力系数 与翼型形与翼型形 状有关，一般随状有关，一般随 的增大而下降。这是由于随的增大而下降。这是由于随 的增的增 大，翼型表面压强系数的绝对值按同样的比例系数大，翼型表面压强系数的绝对值按同样的比例系数 增增 大，故翼型上最小压强点的压强降低得最多，使翼型后大，故翼型上最小压强点的压强降低得最多，使翼型后 部的逆压梯度增大，导致翼型在较小迎角下就分离失速，部的逆压梯度增大，导致翼型在较小迎角下就分离失速， 故机翼升力系数降低。故机翼升力系数降低。 maxL C M M 1 Folie 72 马赫数对最大升力系数的影响马赫数对最大升力系数的影响 Folie 73 2. 对机翼压力中心位置的影响对机翼压力中心位置的影响 对无扭转且具有对称翼型的薄翼，按线化理论，机翼对无扭转且具有对称翼型的薄翼，按线化理论，机翼 的压力中心即为焦点。的压力中心即为焦点。 从亚声速相仿率压力中心位置曲线可见，在给定的从