第6章_第1节_解的存在唯一性与线性方程组的一般理论

1、 2. 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理 3. 线性微分方程线性微分方程(组组)的的 一般理论一般理论题题：对对于于微微分分方方程程组组初初值值问问1) 连续连续 ;)1()(),(00 yxyyxFxdyd维维空空间间的的有有界界闭闭区区域域在在若若1),( nyxF,),(00byyaxxyxD 上满足：上满足：2) 关于关于y 满足满足 Lip 条件，即条件，即,),(),(, 021DyxyxL 使使常常数数即即上上在在区区间间则则初初值值问问题题,)1(00hxhxI 2121),(),(yyLyxFyxF 恒恒有有存在唯一的解存在唯一的解 y = (x) ( x I )，其中其

2、中注注 该定理的证明类似于第三章中的皮卡该定理的证明类似于第三章中的皮卡定理定理. 只需在证明中，将只需在证明中，将.),(max),min(),(yxFMMbahDyx , yy,Ff. ),2()()()(00 yxyxfyxAxdyd对对于于在在区区间间，若若1)()()()( ninnjixfxfxaxA,1000 niyyIxbaI及任一及任一上连续，则上连续，则初值问题初值问题(2)存在唯一的定义在整个区间存在唯一的定义在整个区间I上的上的解：解：)()()(1Ixxxyni )()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn 00) 1(200100)(,)(,)(

3、nnyxyyxyyxy 对于对于(3)均均在在区区间间若若)(), 2, 1()(xfnixai I = a, b上连续，则上连续，则 x0 I及任何实数及任何实数y10 , y20 , yn0 ,初值问题初值问题(3)存在唯一的定义在存在唯一的定义在整个区间整个区间I上的解：上的解：).()(Ixxy 证证 (3) 其中其中 nyyyy21,)1( nyyy,020100 nyyyy.)(00)( xfxf)()(xfyxAxdyd 00)(yxy )3( ,)()()()(100001000010)(121 xaxaxaxaxAnnn上上连连续续在在,)(),(baIxfxA 依推论条件，

4、知依推论条件，知上存在唯一的解：上存在唯一的解：在在初值问题初值问题,)3(ba )()()(1Ixxxyni )()(1Ixxy 由高阶微分方程与一阶微分方程组的解的由高阶微分方程与一阶微分方程组的解的关系，可知初值问题关系，可知初值问题(3)在在a, b上存在唯上存在唯一的解：一的解：( ). x )()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn (3.1)., 0)(区区间间其其中中Ixxf n 阶非齐线性方程阶非齐线性方程0)()()(1) 1(1)( yxayxayxaynnnn(3.2)n 阶齐线性方程阶齐线性方程均均在在区区间间其其中中)(), 2, 1()(xf

5、nixai I=a, b上连续上连续.sxfyxAxdyd)1 . 3()()( n 元一阶非齐线性方程组元一阶非齐线性方程组., 0)(区间区间其中其中Ixxf syxAxdyd)2 . 3()( n 元一阶齐线性方程组元一阶齐线性方程组,21 nyyyy其其中中,)()(nnjixaxA ,)()()()(21 xfxfxfxfn在在区区间间，1)()()()( ninnjixfxfxaxA.,上上连连续续baI . 齐线性微分方程齐线性微分方程(组组)性质性质1.满满足足是是)2 . 3()()1(Ixxy )(0)()()(00)1(00Ixxxxn 的解的解 ).(0)(Ixx 0)

6、()2 . 3()()2(0 xIxxys 满满足足是是(x0 I) 的解的解 ).(0)(Ixx 证证 (2)由观察，知由观察，知的的解解，满满足足是是0)()2 . 3()(0)(0 xyIxxys由解的存在唯一性定理由解的存在唯一性定理2知，该命题成立知，该命题成立.性质性质2(叠加原理叠加原理)的的解解，则则均均是是若若)2 . 3()(),(21xyxy,)2 . 3()()(2211的解的解也是也是xyCxyC .21为任意常数为任意常数，其中其中CCss证证对于齐线性方程对于齐线性方程(3.2)，则则令令),()(2211xyCxyCy yxayxayxaynnnn)()()(1

7、)1(1)( ) 1(22111)(2211)()()()()( nnxyCxyCxaxyCxyC)()()(2211xyCxyCxan )()()(111)1(11)(11yxayxayxayCnnnn )()()(221)1(21)(22yxayxayxayCnnnn 00021 CC.)2 . 3()()(2211的的解解是是即即xyCxyCy 对于齐线性方程组对于齐线性方程组(3.2) s，dxxyCxyCd)()(2211 dxxydCdxxydC)()(2211 )()()()(2211xyxACxyxAC )()()(2211xyCxyCxA .)2 . 3()()(2211的的

8、解解是是sxyCxyC . 非齐线性微分方程非齐线性微分方程(组组)性质性质3的的解解，是是的的解解，是是若若)1 . 3()()2 . 3()(xyxy .)1 . 3()()(的的解解是是xyxy sss证证对于非齐线性方程组对于非齐线性方程组(3.1) s，dxxyxyd)()( dxxyddxxyd)()( )()(xyxA)()()(xfxyxA )()()()(xfxyxyxA .)1 . 3()()(的的解解是是sxyxy 性质性质4的的解解，则则均均是是若若)1 . 3()(),(21xyxy.)2 . 3()()(21的的解解必必是是xyxy ss证证dxxyxyd)()(2

9、1 对于非齐线性方程组对于非齐线性方程组(3.1) s， )()()(1xfxyxAdxxyddxxyd)()(21 )()()(2xfxyxA ).()()(21xyxyxA .)2 . 3()()(21的的解解必必是是sxyxy 是方程是方程若若)()1(xyi )(xfyLi ), 2, 1(mi 的解，则的解，则是是方方程程 miiixyC1)( miiixfCyL1)(.)()()(1) 1(1)(yxayxayxayyLnnnn 记记的解的解, 其中其中Ci (i=1, 2, , m)均为常数均为常数.是是方方程程组组若若)()2(xyi )()(xfyxAdxydi ), 2,

10、1(mi 的解，则的解，则是方程组是方程组 miiixyC1)( miiixfCyxAdxyd1)()(的解的解, 其中其中Ci (i=1, 2, , m)均为常数均为常数.,)()(1的的一一个个特特解解是是非非齐齐线线性性方方程程设设xfyxayxy 解解个个对对应应的的齐齐线线性性方方程程有有一一求求特特解解.2xy 的的表表达达式式；)(),()1(xfxa.)2(该该非非齐齐线线性性方方程程的的通通解解得得，满满足足方方程程由由)()(1xfyxayxy )()(1223xfxaxx 得得，满满足足方方程程由由0)(2 yxayxy0)(22 xxa解得解得,1)(xxa .3)(3

11、xxf .313xyxy 所所给给方方程程为为：331xyxy 对应的齐线性方程为：对应的齐线性方程为：01 yxy由观察，易知由观察，易知 y = 1是的解是的解.故由性质故由性质2，知，知必必是是2211xCC 的解的解再由性质再由性质3，知，知是是xxCCy11221 的解的解.),(),(21CCyyJ ,11221xxCCy 2212xxCy 2121CyCyCyCy xx2012 )0(02 xx相相互互独独立立任任意意常常数数21,CC是是xxCCy1221 的通解的通解.xxyxxxy3cos81)(sin2)(21 和和已已知知xyycos 方方程程.的的一一个个特特解解解解

12、 xx2coscosxyy3cos 和和的解，试求方程的解，试求方程xxyy2coscos )cos()cos(21coscosBABABA )3cos(cos21xx 满满足足：)(211xyxyycos21 满满足足：)(212xyxyy3cos21 由性质由性质5，知，知满满足足：)(21)(2121xyxy xxyy3cos21cos21 xxxxyxyy3cos161sin4)()(2121 即即是所求方程的一个特解是所求方程的一个特解 .由性质由性质1，2，可知集合：，可知集合：)2 . 3()()(IxxyxyT 的的解解，是是)2 . 3()()(IxxyxyTss 的的解解，

13、是是和和均是数域均是数域R上的线性空间上的线性空间.问题：问题：?)dim( T?)dim( sT维数维数定义定义1. 若存在不全为零的常数若存在不全为零的常数 Ci (i=1, 2, , m)，使得使得, 0)()()(2211 xyCxyCxyCmm)(区区间间Ix 则称则称数值函数组数值函数组 yi(x) (i = 1, 2, , m)在区间在区间I上线性相关上线性相关; 否则，称它们线性无关否则，称它们线性无关.(向量函数组向量函数组).sincos关关在在任任何何区区间间上上都都线线性性无无和和xx证明：证明：证证IxxCxC , 0sincos21若若则则 其系数行列式其系数行列式

14、 xxxxcossinsincosIxxCxC , 0cossin21关于关于C1, C2的线性代数的线性代数方程组方程组01 该方程组只有零解，即该方程组只有零解，即C1= 0, C2= 0.sincos关关在在任任何何区区间间上上都都线线性性无无和和xx.1sincos22线线性性相相关关在在任任何何区区间间上上和和 xx证明：证明：证证, 1, 121 CC不不全全为为零零的的常常数数)1(sincos2221 xCxC使使得得1)sin(cos22 xxIx , 0.1sincos22在在任任何何区区间间上上线线性性相相关关和和 xx证明：函数组证明：函数组在在任任何何区区间间nxxx

15、, 12I上线性无关上线性无关.证证 (用反证法用反证法)假设：假设：上上线线性性相相关关在在区区间间 Ixxxn, 12,10nCCC，不不全全为为零零的的常常数数则则 IxxCxCCnn , 010使使得得nnnxCxCCxp 10)(令令次次多多项项式式，从从而而至至多多有有的的至至多多是是则则nxxpn)(n 个零点个零点, 故故IxxCxCCxpnnn , 0)(10)(上上有有无无穷穷多多个个零零点点在在否否则则，IxpnIxxCxCCxpnnn , 0)(10这与这与矛盾！矛盾！., 12上上线线性性无无关关在在任任何何区区间间 Ixxxn证明：证明：n元向量函数组元向量函数组,001)(0 xy,00)(1 xxy,00)( mmxxy在任何区间上线性无关在任何区间上线性无关.证证使使得得，常常数数若若,10mCCC 001 1( )( )( )0,mmC yxC yxC yxxI 即即 002210mmxCxCxCC,000 Ix IxxCxCCmm , 010则则由例由例5知，必有知