实数与向量的积精选

1、实数与向量的积要点透视：1根据平面向量基本定理，就可以用两个不共线的向量来表示一个向量， 找到它们之间的关系，这也被称为向量的线性运算.2. 在证明三点共线或三线共点时，同样可用向量的线性运算加法计算.3-在解具体问题时，适当地选取基底向量，使其他向量能够用基底向量来 表示，这样儿何问题就能转化为代数运算问题.活题解析：例1（2003年江苏卷）0是平面上一定点，A, B,。是平面上不共线的三个点，动点/，满足5 +许爲+ |爲）,g。,心）,则尸的轨迹定通过遊的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心1 I I.要点精析：将P满足的关系式改写为尿更（麗+話）.即乔与的平分线共线，故选3例2.

2、则如图所示，以0点为起点的三个向量厶，厶，2的终 点力，B, C在同一直线的充要条件是c = a a +（ a , p e厶 a +p=l）.要点精析：A, B, C三点中任意两点构成的向量均可用2, b, 7来表示，再利用向量共线的充要条件进行证明.证明：（1）必要性 _ 卷乩B 竺同一直线上，则存在实数X ,使得疋=AAB,所以 OC OA = A（OB OA） B|Jc = X （b a）,整理c二（1入）a + 入 5 ,令 1 入二 ci, X =,有：二 + B 乙，且 a+B 二1.(2)充分性若：二 a： + B 方,a+0 二 1,贝 l|c = (lP) + P b f c

3、 a = (b a)f 即疋一OA = p(OB-OA),所以 AC = J3AB ( P GZ),所以4 5, C在同一直线上.思维延伸：证三点共线，可转化为证这三点中每两点组成的某两个向量共线.OA = a. OB = b OP = ma.OQ例3 如图所示，PQ过厶OAB的重心G=nb ,求证：+ - = 3 m n要点精析：因为0是厶恥的重心，则OS可用7厶表 示，用只Q, G三点共线，可找出加门之间的关系.证明：连并延长至必则“为初的中点，因为G为 04万的重心， 2 * 1 . 1 一 一、 OG = _OM 二_(OA + OB)二_ (a+b),333乂 PG = OG-OP-

4、 ( +厶)ma = ( /n) a + b ,同理3331Am =33-=133QG=La + (-n)b ,因为花,05 共线，所以 PG = AQG ,1 一 1 一 1 一 1 一 即(一血 a + b =入一 +( n) b3333所以m+ rP3mm所以丄+ = 3m n思维延伸：本题利用向量共线的条件为a = b,从而找到突破点，能加深 学生对共线向量的理解.练习题一、选择题1. ab | = | + b | (6)成立的充要条件是()A, a = b ( X GZ)B. a=Xb ( X0)C. a = b ( X 0)2. 若石，石共线，且廳二3&,丽二一5&,且AD=BCf

5、则四边形力磁 是()A.些亍四竺_5.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形3. AB + nBC + vCA= 0成立的充要条件是()A. I 1 = 1 H 1 = 1 v |B. X=i=vC. X + n + y =0D. X = |i = v =04. 在遊中，已知BC = 3BD,则刁万等于()A. AC + 2.AB)B. (AB + 2AC)1 一 1 一 一-C. -(AC + 3AB)D. -AC + 2AB)445. 设两非零向量占不共线，且kee；与；+&共线，则&的值是()A. 1 B. -1 C. 1 D. 06. 设厶，/；是不共线向量，AB=a+kb , AC=ma

6、+b (A,则 S, B, C三点共线的充要条件是()A. +也=0 B k=m C.局+1 = 0D. km=l二、填空题：_7. 已知平行四边形曲切的对角线交于点设ABAB = ex , AD=e则用石，石表示丽勿的表达式为8&是两不共线的向量，且AB2e+ke. CB = e+3e CD=2e-5若儿B,。三点共线，则=9. 给岀下列命题：若二方共线且币匸由I，则Gb)/(a+b)；已厶二一3勺+3勺且石H瓦,则知方二2 0 , b=3e 9贝ia=b；若方二弓一匕，2 -a 1=3 b I；在肋。中，肋是兀边上的中线，则AB + AC = 2AD ,其中正确 的序号是o_10. 设&

7、, &是两个不共线的向量，则向量m= e +ke2 (kL)与向量方=一 2 ；共线的充要条件是o三、解答题11. 证明宓的三条中线交于一点.12. 如图所示，已知梯形宓9中，AD/BC, E, 尸分别是肋与兀边上的中点，且BC=3AD, BA =a , BC -b ,试以& ,乙为丿念底向量表示 EF,JDF.CD .13. 如图所示，在宓中，A，A2, A，,儿是应边上的刀个等分点，满足1 = AiAz = A；C , AB a AC = c 1 iAJI a , c 表示冋 A/ .14. 已知线段月万和点0,求证：(1) 若“是线段丽的中点，则OM =-(OA + OB)；2(2) A

8、P = tAB (tGZ) , OP = (-t)OA + tOB.15. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形個7?, 0是原点，且OA-a , OB=h , OC=cf OD = d ,疋在场上，R BE：已=1： 3,尸在加上，且舶 FM： 4, 用方，I, c, 7分别表示OE,OF,EF,ECy并判断E F,。三点是否共线.5.211. D 导：|o + b| = |a| + |h|即为cb共线或a为0.2. C 导Hfi.AB与苗共线且IADI-IBCH所以四边形AB CD是菱形.3B导解；将四个迭項分别代入可持除AXD.4 A 导解，AD=AB+jBD=AB+*BC=43 AB+B

9、C) = J3y(2 AB+AC).5. C导解- feet +e：与& +z共线，即如+%=入(釣+加？ 所以* = 4所以fe=l.6D 导解从C三点共线则AB = AAC即1 +场=人(肌。+ D),所以丄=1.m7. 一和导解:EDBDyBA+AD)= *(AB+AD) i +寺引& 一8W:BD= CD-CB-n -4e? 又布=入命=-&9 导解：的结论应为*釘的结论应为=3|a| 正 确的序号是.10. k = 导这是较常见的一类题型关犍是根据向產共 线的充耍条件用好待定系数ABE=-ya+l.再令AD与BE相交于G并假JAG-AAD,BG=/由此可得“=卩=寻,所以花=#前.再

10、令AD与CF相交于点6, 冋理可得亦=彳兀二因此G与G点重合也就是相交于冋一点.】2解：因为 AD/BCn.AD = BC.所以 AD=-rBC=b.AE=rAD= b36Zt因为 BF-yBC-yb 所以芯=13A-BF=a-b, 所以 EF=EA+AF=-AE- FA = b-a.DF=DE+EF=EA4-EF= - AE+EF= ?CD=-(DF+FC) = -(DF+BF) = -b+z13.解収为A缶-绻人 将斎：分成3-*n). n + l14解；本题中无论OA,OB是否共线加法的三角形法则都适用下面仅就O在线段AB外的情形给岀证明.第 14S(1)如图(A) JOAAM=OM.OB+BM=OM.所以 OA + OBAM+BM=2OM.冈为M是AB的中点所以尿=-祈=一忌所以石3+前=0于是 OA+OB = 20M9故 OM=y(OA+OB).(2)如图(H) 因为 AP = tAB.所以 OP=W + APOA + t AB=(M+e(05-0A=4-t05-x0A = (l-r)o5+r5S.可直接求得況=“丄4爲匕5?=牛=AEF = QF-OE4i亠丄5