实数(实数的概念运算及大小比较

1、实数（实数的概念、运算、及大小比较）教学内容：第一单元实数（实数的概念、运算、及大小比较）二. 教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念.（1）了解有理数、无理数以及实数的有关槪念：理解数轴、相反数、绝对值等概念， 了解数的绝对值的几何意义。（2）会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小（3）画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数 轴比较大小。2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对 值、非负数的有关应用等。（1）了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺

2、序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。（2）了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。（3）了解近似数和准确数的概念，会根据指左的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所 要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。（4）了解计算器使用的基本过程。三. 教学重点和难点：1. 有理数、无理数、实数、非负数概念：2. 相反数、倒数、数的绝对值槪念：3. 在已知中，以非负数、a|、（aMO

3、）之和为零作为条件，解决有关问题。4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。四. 课堂教学：（-）知识要点： 知识点1：实数分类实数有理数无理数正整数整数零负整数方法（1）正无理数 负无理数方法（2）正实数实数零負实数正有理数1正整数 i正分数正无理数负有理数负整数 i负分数负无理数注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数：无限不循环小数是无理数 知识点2：实数的有关概念（1）数轴：规立了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1:上 述规左的三要素缺一个不可，2：实数与数轴上的点是一一对应的，3：数轴上任一点对应的 数

4、总大于这个点左边的点对应的数.）（2）相反数实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）. 注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.（3）绝对值a（a 0）| a |= 4= 0）一 ata 0）注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离（4）倒数实数a （aHO）的倒数是a （乘积为1的两个数，叫做互为倒数）：注意：零没有倒数.知识点3：平方根、算术平方根.立方根若x：=a,则x叫做a的平方根匚记作之=體，而正的平方根叫做算术平方根 知识点4：零指数、负整指数幕汀=丄a=l (aHO)：(aHO)知识点5：科学记数法、近

5、似数、有效数字把一个数写成aX10n （iWaVIO, n是整数）的形式一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左 边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字知识点6：三种重要的非负数（绝对值、偶次方、算术平方根）知识点7：常见的几种无理数（开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数）知识点8：实数的运算实数的运算法则（1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加：异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 任何数与零相加等于原数。（2）减法a-b = a+H）（3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负

6、，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即 pa|b|（a,bfW#）ab = - | a|-|b | （a,b异号）o（&或b为零）-=a-(b h 0)(4) 除法 b ban =即妙3a（5）乘方1X1（6）开方 如果x: = a且xO,那么嘉=辺；如果x3=a那么騙实数的运算律：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）乘法交换律（4）乘法结合律（5）分配律在同一个式子里，先乘方.开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面 的a+b=b+a(a + b) +c = a+ (b + c) ab=ba (ab) c = a (be)a (b + c) =ab+ac其中a、b、c表示任意

7、实数.运用运算律有时可使运算简便.知识点9：实数的大小比较（常见的方法一数轴比较法：差值比较法：商值比较法：绝对值 比较法）【典型例题】例1判断题：（1）两有理数的和、差、积、商是有理数：（2）有理数与无理数的枳是无理数：（3）有理数与无理数的和、差是无理数：（4）小数都是有理数：（5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数：（6）任何数的平方是正数：（7）实数与数轴上的点一一对应；（8）两无理数的和是无理数。解：（1）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对例2选择题：（1）如果a是实数，下列四种说法： 和1引都是正数， m,那么a_定是负数，1 a的倒数是a, a和

8、一 *的两个数表示的点分别在原点的两侧，其中正确的说法有（A ）A. 0B. 1C. 2D. 3（2）下列说法中，正确的是（B ）A. |m|与一m互为相反数B. 血+1与血-1互为倒数C. 1998. 8用科学记数法表示为1.9988X10：D. 0. 4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0. 50（3）近似数1.30所表示的准确数A的范用是（C）A. 1. 25WAV1. 35B. 1.20A1.30C. 1. 295WAV1. 305D. 1. 3OOA3时血十2|+叶3|= m+2+m3=2m 1例6阅读下而材料并完成填空：你能比较两个数2004和2005”的大小吗？为了解决

9、这个问题先把问题一般化，要比 较n和(n+l)a的大小(的整数)，先从分析n=l, =2, =3,这些简单的情况入手, 从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。通过计算，比较下列一一各组中两个数的大小(在横线上填、=、”号= f21 :才32：343： 犷5*：65：6_76；78：(2) 对第(1)小题的结果进行归纳，猜想出n和(n+1)=的大小关系是(3) 根据上而的归纳结果猜想得到的一般结论是：2004沁2OO52001解:(1) (2) 当 n3时，nn41 (n+1) R(3) 2004：CC2005CO,例7计算:(2001+遐f+(邮 乂 怎+右(2)+ 43-3-1 +(7D-3)

10、+tg2 30丄解：(1)原式=3-l+4X 凶 +V2 + 1=4+ V21(2) 0.3 1- (- 6 ) z+4z-3 1+ (兀 一3) 0+tg:30o310丄 丄=3 -36+64 - 3 +1+ 3 =分析：本题运用方根的概念，零指数幕的法则，负整数指数幕的法则，特殊三角函数值, 分母有理化等知识加以计算。例8化简:J-泸一才 x- +分析：这适题隐含着aVO是解此题的关键，而aVO时，a =-a,这一点是该题错误 的根本原因,另外，在化简沪时,注意计算步骤要严谨。解:原式=_a(a)ab b=4所以a b= 7拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题

11、。如计算:(1)当时，b- |a- b|+? =o(2)若I与0 + 2|互为相反数，则严a沖=例10已知:疋求二X(l +丄)的X值忑 丄解：因为*= 2所以r= 2例11给出下列算式: 3s-f=8=8Xl 52-3：=16=8X2 7:-5:=24=8X3 9:-7:=32=8X4观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。 解：(2n+l) : (2n1) 2=8n (n 取正整数)预测：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数 学简洁的美。同时可考查观察能力和抽象概括能力，渗透着从特殊到一般的辩证关系。该题 是通过观察给岀的运算，找到反

12、映其规律的表达式。这是中考中的热点问题，此类问题不仅 考査对知识的掌握，同时考査观察分析的能力。【模拟试题】（答题时间:30分钟）一. 选择题1.下列说法正确的是（）A. 无限小数都是无理数B. 无理数都是无限小数C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数一左不是无理数。2. 和数轴上的点一一对应的数是（）A.整数B.有理数数3. 若2a与l-a互为相反数，则a等于（A1D.4. 当=-a时，实数a在数轴上对应的点在A.原点右侧C.原点或原点的右侧5. 代数式+ +的所有可能的值有（A. 2个B. 3个个6. 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负;（2）两数之积

13、为1,那么这两数都是1或都是一 1：（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值较大:（4）一个实数的偶次幕是正数，那么这个实数一定大于零，貝中错误的命题的个数是（）A. 1个B. 2个个C.无理数D.实B.D.B.原点左侧 原点或原点的左侧C. 4个C. 3个D.C.无数D. 4二. 填空题7. 0的相反数是_, 3-Ji的相反数是_,的相反数是: 一 ji的绝对值是, 0的绝对值是_,忑-箱的倒数是8. 把下列语句译成式子：（1）a是负数（2）a、b两数异号（3）a、b互为相反数（4）a、b互为倒数（5）x与y的平方和是非负数（6）c、d两数中至少有一个为零（7）a、b两

14、数均不为09. 数轴上点A表示数一 1,若AB=3,则点B所表示的数为10. 2006年底国家统汁局公布我国总人口 129999万人，如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为亿人。11. 若（x-l）z=l,则X的值是。12. 我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率n方法的人，他求出n的近似值是3. 1416,如果取3.142是精确到_位，它有个有效数字，分别是_。13. 我国的国土而积约为9600000平方千米,用科学记数法表示为平方千米。14. 若 n 为自然数时，（一 1） + （-1） =.15. 已知：|x=4,=且 x0, yVO,则 xy=。|4 - a2 |+7a+ b n 2

15、a + 3b=u 16. 若a, b满足 a + 2,则 a 的值是三. 实验、操作题17数轴上作出表示忑，侖，-击的点。四. 解答题18. 已知等腰三角形一边长为a , 边长为b ,且（2 a b ）沖I 9一 a T =0。求它的周长。19. 若3, m, 5为三角形三边，化简：20. 已知x、y是实数后+4 +72 -6+9 = 0,若殉-3x，求买数么的值【试题答案】1.B 2D3. B 4. D7.0： 11 - 3： 2：n : 0；8.(1) a0(2) ab0(6) cd=O(7) abO9.2或一410.13. 0011.一2, 0, 212.千分；4 :3, 1, 4, 213.9.6X10614.015.41716.-117.略5. A 6. C(3) a+b = O (4) ab = l (