2018年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合 A= x|x+1 0 ， B=-2， -1，0， 1 ，则（ ?RA） B 等于（）A. -2 ， -1B. -2C. -1 ， 0， 1D. 0 ，12.已知复数（ i 是虚数单位），则下列命题中错误的是（）A.B. z 在复平面上对应点在第二象限C.D. z 的虚部为 -13.已知双曲线（，）的一个焦点为，一条渐近线的斜率为 ，则该双曲线的方程为（）A.B.C.D.4.为了得到函数y=-3cos2x 的图象，可以将函数的图象（）A.C.向右平移个单位向左平移

2、个单位B.D.向右平移个单位向左平移个单位5. 公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a6=3 a4，且S）9=a4，则的值为（A. 18B. 20C. 21D. 256.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.第1页，共 20页7. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A. 4B. 5C. 2D. 38. 函数fx =ln|）（ ）的大致图象是（A.B.C.D.9.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的

3、侧棱与底面垂直，则三棱柱 ABC -A1B1C1 外接球的表面积为（）A. 4B.6C. 8D.1210.已知 a b 1，则下列结论正确的为（）A. aa bbB. aln bbln aC. alna blnbD. ab ba11.函数fx0，+fx-2x=2对称，若f-2（ ）在）上单调递减，且（）的图象关于（）=1，则满足 f（ x-2） 1的 x 的取值范围是（）A.-2，2B. （， ，）-2 2+C. （ -， 04，+）D. 0，412.已知点A是抛物线C：x2=2py p0）的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C（的两条切线，切点分别为P，Q，若 APQ 的面积为4，则 p 的

4、值为（）第2页，共 20页A.B. 1C.D. 2二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 已知向量，向量，若，则 k 的值为 _14. 已知实数xy满足，则z=x+2y的最大值为_，15. 已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 24568y 30 40 50 60 70根据上表可得回归方程=x+，其中=7，据此估计， 当投入 10 万元广告费时，销售额为 _万元；16.已知数列 an 满足：，若数列 bn 满足 bn=a3 n，数列 bn的前 10 项和为 S10，则的值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17

5、.已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且（ 1）求角 B；（ 2）若，且 ABC 的面积是，求 a+c 的值18.某校高三年级的500 名学生参加了一次数学测试，已知这 500 名学生的成绩全部介于 60 分到 140 分之间，为统计学生的这次考试情况，从这500 名学生中随机抽取50 名学生的考试成绩作为样本进行统计将这50 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组 60 ， 70)，第二组 70 ， 80)，第三组 80， 90）， ，第八组 130 ， 140 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（ 1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

6、第3页，共 20页（ 2）估计该校高三年级的这500 名学生的这次考试成绩的中位数；（ 3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2 名，记这2 名学生的分数差的绝对值大于10 分的概率19.如图，圆柱 H 横放在底面边长为 1 的正六棱锥 P-ABCDEF 的顶点 P 上， O1 和 O2 分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥P-ABCDEF 底面中心为 O， PO=1， M、N 分别是圆柱 H 的底面 O1 的最高点和最低点， G 是圆柱 H 的底面 O2 的最低点， P 为 NG中点，点 M、 O1、 N、A、 O、 D、 G、 P 共面，点 O1、 P、D 共线，四边形

7、 ADGN 为矩形（ 1）求圆柱 H 的体积 V，并证明： MG平面 PCD ；（ 2）作出点 O 在平面 PAB 上的正投影 K，并证明之注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥20. 已知椭圆和圆D：x2 2 21a r），点A B在椭圆C上，点E+y =r （ 、在圆 D 上， |AE|的最大值和最小值分别为5， 1（1）求椭圆 C 及圆 D 的标准方程；（2）已知 O 为坐标原点，直线OA， OB 的斜率分别为k1， k2，直线 AB 的斜率等于，若四边形 OAEB 为平行四边形，求k1+k2 的值21. 已知函数xx ， e 为自然对数的底数），若f（

8、 x）f（ x）=（ ae-a-x）e （a0，e=2.7180x R对于 恒成立第4页，共 20页（ 1）求实数 a 的值；（ 2）证明： f（ x）存在唯一极大值点x0，且22. 已知曲线t为参数），O（ 为参数），在以原点为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线（ 1）求曲线C1， C2 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C2 上的点 P 对应的参数为 C1 上的点，求PQ 的中点 M 到直线 C3距离 d 的最小值23. 设函数 f（ x） =|x-1|+|2x-1|（ 1）解不等式 f （x） 3-4x；2（ 2）若 f（ x） +|1-x| 6m-5m 对

9、一切实数x 都成立，求m 的取值范围第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：集合 A=x|x+1 0=x|x -1 ，CRA=x|x -1 ，B=-2 ，-1，0，1 ，（?RA ） B=-2，-1 故选：A求出集合 A ，从而得到 CRA ，由此能求出（?RA ）B本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用2.【答案】 B【解析】解：复数=1-i ，|z|=，z 在复平面上 对应点（1，-1）在第四象限， =1+i，z 的虚部为-1则下列命题中错误的是 B故选：B利用复数的运算法 则、共轭复数的性 质、几何意义及其有关概念即可得出本题考

10、查 了复数的运算法 则、共轭 复数的性 质、几何意义及其有关概念，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题3.【答案】 C【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线焦点的位置根据 题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的渐近线方程为y=结题意可得=，又由x ， 合线标2222双曲的焦点坐可得 a，联立两个式子分析可得a =3，b =1，代入双+b =4曲线的方程即可得答案【解答】题线的方程为，解：根据 意，双曲第6页，共 20页其焦点在 y 轴上，双曲线的渐近线方程为 y=x，若双曲线的一条渐近线的斜率为，则=，其一个焦点 为 F（0，-2），则有 a2+b2=4，解可得：a2=3，b2=

11、1；双曲线的标准方程为：-x2=1；故选 C【答案】 D4.【解析】解：=-6+3=3cos（2x+），y=-3cos2x=3cos（2x+ ）=3cos2（x+）+ ，将 y=-3cos（2x+图个单位，即可，） 象向左平移故选：D根据三角函数的倍角公式 进行化简，结合三角函数的 图象变换关系进行判断即可本题主要考查三角函数的 图象变换关系，结合三角函数的倍角公式 进行化简是解决本 题的关键5.【答案】 A【解析】解：设公差为 d，由a =3a ，且S=a，64104得，解得 =18，故选：A设公差为 d，再由已知列方程组求解本题考查等差数列的性 质，考查等差数列的前 n 项和，是基础题 6

12、.【答案】 D【解析】第7页，共 20页【分析】由已知中的三 视图，可知该几何体是一个以底面位正方形的四棱 锥挖去了一个半圆锥可得，求出四棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，减去圆锥的体积，可得结论本题考查的知识点是由三 视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状【解答】解：由题意该几何体是一个以底面为正方形的四棱 锥挖去了一个半 圆锥可得四棱锥底面面积 S=44=16四棱锥法的高为 4那么棱锥体积 V=圆锥积2半的体V= r h=4 =该几何体的体积为-=故选 D7.【答案】 A【解析】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1 ，S=0，n=1S=2不满足条件 S10，执行循环体，n=2，a=，

13、A=2，S=不满足条件 S10，执行循环体，n=3，a=不满足条件 S10，执行循环体，n=4，a=满足条件 S10，退出循环，输出 n 的值为故选：A，A=4，S=，A=8，S=4模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a，A ，S 的值，当S=时 满， 足条件 S10，退出循环，输出 n 的值为 4，从而得解本题主要考查了循环结构的程序框 图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的 a，A ，S 的值是解题的关键，属于基础题 第8页，共 20页8.【答案】 D【解析】解 ，f（-x ）=ln|=-ln|=-f（x），f（x ）为奇函数，排除 C当 x=e+1，则 f（e+1）=ln|=ln

14、|e+2|-lne 0，故排除 B，当 x=0 时，f（0）=0，故排除 A故选：D根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数 值的特点，属于基础题9.【答案】 C【解析】解：如图所示，22AB +AC =4=，分别取 BC，B1C1 的中点 M ，N，取MN 的中点 O，则点 O 为三棱柱 ABC-A 1B1C1 外接球的球心半径 r=2三棱柱 ABC-A 1B1C1 外接球的表面 积 S=4r=8故选：D如图所示，由 AB 2+AC 2=4=BAC=90 别BC BC的中点，可得分 取， 1 1M ，N，取 MN 的中点 O，则点

15、O 为三棱柱 ABC-A 1B1C1 外接球的球心进而得出结论本题考查了直三棱柱的性 质、球的表面积、勾股定理及其逆定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题第9页，共 20页10.【答案】 C【解析】解：ab1，设 f（x）=xlnx ，x1，可得 f （x）=1+lnx 0，f（x）在x 1 递增，可得 alnablnb，故 C正确；即有 aa bb，故A 错误；alnbblna 等价为 abba，由 g（x）=的导数为 g（x）=，由 xe，可得g（x）递减，在 1xe 时，g（x）递增，可得 A ，D 不正确故选：C由选项可构造 f（x）=xlnx ，g（x）=，分别求得导数和单调性

16、，即可判断结论本题考查对数的运算性 质和构造函数法，运用 单调性解决是解 题的关键，属于基础题11.【答案】 D【解析】解：f（x-2）的图象关于 x=2 对称，故 f（x）关于y 轴对称，函数 f （x）在0，+）上单调递减，则函数 f（x）在（-，0）递增，若 f（-2）=1，则 f（2）=1，若满足 f（x-2）1，即f（x-2）f（2），则 |x-2| 2，解得：0x4，故选：D第10 页，共 20页求出函数的 对称轴，根据函数的单调性单调关于 x 的不等式，解出即可本题考查了函数的 单调性问题，考查函数的对称性问题，是一道中档题12.【答案】 D【解析】解：设过点 A 与抛物线相切得

17、直 线方程为 y=kx-由得 x2-2pkx+p2，=0=4k2p2-4p2=0，可得 k=1，则 Q（p，），P（-p，），APQ 的面积为 S=，p=2故选：D设过点 A 与抛物线相切得直 线方程为 y=kx-由得x2-2pkx+p2=0，=4k2p2-4p2=0，可得 k=1，即可本题考查了抛物线得切线问题，属于难题13.【答案】 3【解析】解：向量，向量，若则=，+2+=-2+， ? =0，4（2-k）+2（k-1）=0，解得 k=3故答案为：3根据得出=0，列出方程求出 k 的值本题考查了平面向量的数量 积应用问题，是基础题14.【答案】 3【解析】第11 页，共 20页解：作出不等

18、式组对应的平面区域如 图：（阴影部分），由 z=x+2y 得 =-x+z，平移直线 =-x+z，由图象可知当直 线 y=-x+z 经过点 A时，直线 y=-x+z 的截距最大，此时 z 最大由，解得 x=1，y=1，解得 A （1，1），代入目标函数 z=x+2y 得 z=1+21=3即目标函数 z=x+2y 的最大值为 3故答案为：3由约束条件作出可行域，化目 标函数为直线方程的斜截式，数形 结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法15.【答案】 85【解析】题，解：由

19、 意可得：线性回归方程过样本中心点，则：，线性回归方程为：，据此估计，当投入10 万元广告费时 销额为万元， 售故答案为：85结合题意首先求得 线性回归方程，然后进行预测即可第12 页，共 20页本题考查线性回归方程的性 质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题16.【答案】 9418【解析】【分析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分 类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题数列 a n 满足：，数列b n 满足 bn=a3n，数列b n 的前10 项和为 S10=a3+a6+a30=（a3+a9+a27）+（a6+a12+a30），利用等差数

20、列与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an满足：，数列满足，b nbn=a3n数列 b n 的前 10 项和为 S10=a3+a6+a30=（a3+a9+a27）+（a6+a12+a30）=2（3+9+27）+（25+211+229）=+=150+（230-1）则=63150+235-32-235=9418故答案为：941817.【答案】 解：（ 1） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，且，利用正弦定理得：sinB=，整理得： sinB=cosB，所以：由于： 0 B ，所以： B= （ 2）由于，第13 页，共 20页解得： ac=12 ，利用余弦定理得：b

21、2=a2+c2 -2accosB，整理得： 12= （ a+c）2-2ac-2accosB，解得： a+c=4【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等 变换和正弦定理的关系式 变换求出 B（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出 结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用18.【答案】 解：（ 1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1-（ 0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004 ）10=0.08，频率分布直方图如右图（ 2）由频率分布直方图得 60 ， 90 ）的频率为：（ 0.00

22、4+0.012+0.016 ）10=0.32，频率为 90，100）的频率为： 0.03 10=0.3 ，估计该校高三年级的这 500名学生的这次考试成绩的中位数为：90+=96 （ 3）样本中第一组有学生：500.004 10=2 人，第六组有学生：500.006 10=3 人，从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2 名，基本事件总数n= =10，这 2 名学生的分数差的绝对值大于10 分包含的基本事件个数 m=6，这 2 名学生的分数差的绝对值大于10 分的概率 p=【解析】（1）由频率分布直方 图能求出第七 组的频率，并完成频率分布直方 图 （2）由频率分布直方 图得60，9

23、0）的频率为 0.32，频率为90 ，100）的频率为 0.3，由此能估 计该校高三年 级的这 500 名学生的 这次考试成绩的中位数第14 页，共 20页样组组样本成绩属于第一组和（3） 本中第一有学生 2 人，第六 有学生 3人，从第六组的所有学生中随机抽取2 名，基本事件总数 n=这=10， 2 名学生的分数差的 绝对值大于 10 分包含的基本事件个数m=6，由此能求出这 2名学生的分数差的 绝对值大于10 分的概率本题考查频率分布直方图的应查查频率分布直方图、用，考 概率的求法，考列举法等基础知识查查函数与方程思想，是基础题，考 运算求解能力，考19.【答案】 解：（ 1）如图所示，圆

24、柱的底面圆半径为O1N=PO=1，母线长为NG=2OD =2；2圆柱的体积为V=1 2=2 ；证明： P 为 NG 的中点， O1 为 MN 中点， PO 1MG ，又 O1、 P、 D 共线， PDMG ，PD ? 平面 PCD， MG? 平面 PCD，MG 平面 PCD；（ 2）过点 O 作 OH AB，垂足为 H，连接 PH，过 O 作 OK PH，垂足为 K，则 S 为点 O 在平面 PAB 上的正投影；证明如下； O 是正六棱锥 P-ABCDEF 底面中心， PO底面 ABCDEF ，PO AB；又 OHAB，且 POOH=O，AB平面 POH ，ABOK ；有 OKPH ，且 AB

25、PH =H，OK 平面 PAB，K 是点 O 在平面 PAB 上的正投影【解析】（1） 由题意求出圆柱的底面 圆半径和母 线长，即可求出圆柱的体积； 根据线线平行，证明 MG 平面 PCD；（2）作出点O 在平面 PAB 内的投影，再证明即可第15 页，共 20页本题考查了线面垂直的 证明与点在平面内的投影 问题，也考查了圆柱体积的计算问题，是综合题20.【答案】 解：（ 1）点 A、B 在椭圆 C 上，点 E 在圆 D 上， |AE|的最大值和最小值分别为 5， 1a+r =5， r -a=1 ，解得 r=3 ，a=2 椭圆 C 及圆 D 的标准方程分别为：=1， x2+y2=9（ 2）设直

26、线AB 的方程为： y=x+m， A（x1， y1）， B（ x2， y2），联立，化为： 3x22+4mx+4m -4=0， 0，x1+x2=， x1x2=y1+y2=（ x1+x2） +2m=-四边形 OAEB 为平行四边形，=（x12， y1 2） =+x+y代入圆的方程可得：+=9，解得 m2= k1+k2=+=+=+=-【解析】（1）由点A 、B 在椭圆 C 上，点 E 在圆 D 上，|AE|的最大值和最小值分别为 5，1可得 a+r=5，r-a=1，解得 r，a即可得出设线AB 的方程为：y=椭圆方程联立（2） 直x+m，A （x1，y1），B（x 2，y2），与可得3x22边OA

27、EB为边+4mx+4m -4=0平行四形，由四 形可得=（x1+x2，y1+y2），再利用根与系数的关系得出代入 圆的方程解得m2l利用斜率 计算公式可得 k1+k2=+ =+第16 页，共 20页本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性 质、一元二次方程的根与系数、向量平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于难题21.【答案】 （ 1）解： f（ x） =ex（ aex-a-x）0，因为 ex 0，所以 aex-a-x0恒成立，即 a（ ex-1） x 恒成立，x=0 时，显然成立，xx 0 时， e -1 0，故只需 a在（ 0， +）恒成立，令 h（ x）=，（ x 0）

28、，h（ x）= 0，故 h（ x）在（ 0， +）递减，而=1，故 a1，xx 0 时， e -1 0，故只需 a在（ -，0）恒成立，令 g（ x）=，（ x 0），g（ x）= 0，故 h（ x）在（ -， 0）递增，而=1，故 a1，综上： a=1；（ 2）证明：由（1） f（ x） =ex（ex-x-1），故 f（ x） =ex（ 2ex-x-2），令 h（ x）=2ex-x-2， h（x） =2ex-1，所以 h（ x）在（ -， ln ）单调递减，在（ ln ， +）单调递增，h（ 0） =0， h（ ln ） =2eln -ln -2=ln2-1 0， h（ -2） =2 e-2

29、-（ -2） -2= 0，h（ -2） h（ ln ） 0 由零点存在定理及h（ x）的单调性知，方程 h（ x） =0 在（ -2， ln ）有唯一根，设为 x0 且 2ex0-x0-2=0 ，从而 h（ x）有两个零点x0 和 0，所以 f（ x）在（ -， x0）单调递增，在（x0， 0）单调递减，在（0，+）单调递增，从而 f（ x）存在唯一的极大值点x0 即证，xx，x0-1，由 2e 0-x0-2=0 得e 0=f（x0） =ex0（ ex0-x0-1） =（-x0-1） =（ -x0）（ 2+x0） （）2= ，第17 页，共 20页取等不成立，所以f（ x0）得证，又 -2 x

30、0 ln ，f（ x）在（ -， x0）单调递增所以 f（ x0） f（ -2） =e-2e-2-（ -2） -1= e-4+e-2 e-2 0 得证，从而 0 f（ x0）成立【解析】（1）求出aex-a-x0恒成立，分离参数 a，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定 a 的值；（2）令h（x）=2ex-x-2，根据 h（-2）h（ln ）0 由零点存在定理及 h（x）的单调性知，方程 h（x）=0 在（-2，ln ）有唯一根，设为 x0 且 2ex0-x0-2=0，从而证明结论本题考查利用导数研究函数的极 值，考查运算求解能力，考 查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题22.【答案】 解：（ 1） 曲线（ t 为参数），曲线 C1消去参数 t，得