数学模型与数学建模ppt

1、数数 学学 模模 型型 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 课课 程程 简简 介介 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 第二章第二章 初等模型初等模型 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 第六章第六章 稳定性模型稳定性模型 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 第八章第八章 离散模型离散模型 第九章第九章 概率模型概率模型 第十章第十章 统计回归模型统计回归模

2、型 附录附录: : 数学建模实验数学建模实验 教教 学学 进进 度度 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 第第一一章章 建立数学模型建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模 玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、

3、飞机、火箭模型 实物模型实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型 地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 我们常见的模型我们常见的模型 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 你碰到过的数学模型你碰

4、到过的数学模型“航行问题航行问题” 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程： 75050)( 75030)( yx yx 答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. . 甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时， 从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解求解 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速

5、、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和 数学建模（数学建模（Mat

6、hematical Modeling) 对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的， 根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设， 运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。 建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型数学模型 数学数学 建模建模 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学

7、以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学建模的具体应用数学建模的具

8、体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理 数学建模计算机技术 知识经济知识经济 如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 1.3 数学建模示例数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析问题分析 模模 型型 假假 设设 通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为

9、数学上的连续 曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。只脚同时着地。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性 x B A D C O D C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数 四个距离四个距离 (四只脚四只脚) A,C

10、 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( ) B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( ) 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形ABCD 绕绕O点旋转点旋转 正方形正方形 对称性对称性 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f( ) , g( )是是连续函数连续函数 对任意对任意 , f( ), g( ) 至少一个为至少一个为0 数学数学 问题问题 已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对

11、任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0. 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只脚着地至少三只脚着地 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型求解模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。 由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( )

12、, 则则h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 公平分配方案应公平分配方案应 使使 rA , rB 尽量小尽量小 设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B 不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对即对A不公平不公平 ),( / / 21 22 2211 nnr np npnp A 对对A的的相对不公平度相对不公平度 将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量 类似地定义类似地定义

13、rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若 p1/n1 p2/n2 ，定义定义 第二章第二章 初等模型初等模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A 2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算应计算rB(n1+1, n2) 应计算应计算rA(n1, n2+1) 若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B 第二章第二章 初等模型初等

14、模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 当当 rB(n1+1, n2) 640 g=0.1 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 敏感性分析敏感性分析 研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1 rg gr t 2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1, 6040 r r r t t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rr tt rtS / / ),( t r dr dt 3 6040 60 ),( r rtS 生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟

15、，出售时间推迟3%。 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 敏感性分析敏感性分析 估计估计r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00, 203 g g g t t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 t g dg dt gg tt gtS / / ),( 3 203 3 ),( g gtS 生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.

16、080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 强健性分析强健性分析 保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由由 S(t,r)=3 建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。 wwpp, 研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t) 4)()()()(twtptwtp p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 .

17、 1 w137 t 0)( t Q 每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()( 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题问题 分析分析 问题问题 记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t

18、=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设. 问题问题 分析分析 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1,

19、灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形 t1t20t B B(t2) 分析分析B(t)比较困难比较困难, 转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁 速度速度dB/dt. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭

20、火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 假设假设1） 的解释的解释 r B 火势以失火点为中心，火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延， 半径半径 r与与 t 成正比成正比 面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 x b tt 12 2 0 2 )()( t dttBtB 模型建立模型建立 dt dB b 0 t1t t2 x 假设假设1） , 1 tb xcttxcxftBcxf

21、31222211 )()(),()( 目标函数目标函数总费用总费用)()()( 21 xfxfxC 假设假设3）4） x t tt 1 12 假设假设2） )(222 2 1 22 12 x ttbt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 0 dx dC xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续

22、蔓延的最少队员数 dt dB b 0t1t2t x 其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型模型 应用应用 c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果 解释解释 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均

23、灭火队员平均灭火速度速度. 为什么为什么? ? , 可可设置一系列数值设置一系列数值 由模型决定队员数量由模型决定队员数量x 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 3.4 最优价格最优价格 问题问题 根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大 假设假设 1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格 3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本 4）销量）

24、销量 x 依赖于价格依赖于价格 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模 与求解与求解 pxpI)(收入收入 qxpC)(支出支出 )()()(pCpIpU 利润利润 进一步设进一步设0,)(babpapx 求求p使使U(p)最大最大 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 0 * pp dp dU 使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足 * pppp dp dC dp dI 最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到 pxpI)( qxpC)( bpapx)( )(bpaqp )()()(p

25、CpIpU b aq p 22 * 建模建模 与求解与求解 边际收入边际收入边际支出边际支出 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 结果结果 解释解释 b aq p 22 * 0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求) b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b? 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编

26、q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 3.6 消费者均衡消费者均衡 问题问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消 费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相 交），记作交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) 效用函数效用函数 已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2, 有钱有钱s，试分配，试

27、分配s, 购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 模型模型 及及 求解求解 已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大 sqpqpts qqUZ 2211 21 . . ),(max ),( 2211 qpqpUL) 2 , 1(0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dq Kl

28、 几几 何何 解解 释释 sqpqp 2211 直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点 21 / ppK MN 斜率斜率 M Q N 21 / q U q U 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 0, 0, 0, 0, 0.B 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 结果结果 解释解释 21 , q U q U 边际效用边际效用 消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。价

29、格之比时达到。 效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件 A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义AB 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 0,)(. 1 1 21 qq U 效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式 2 1 2 1 p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的

30、平方根成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 1,0,. 2 21 qqU 0,)(. 3 2 21 baqbqaU 2 1 2 1 p p q U q U 22 11 qp qp 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。 思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况种商品的情况 效用函数

31、效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购 4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修 数学模型数学模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中 的优化模型的优化模型 mixgts xxxxfzMaxMin i T n , 2 , 1, 0)(. . ),(),()( 1 或 x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数 gi(x) 0约束条件约束条件 多元函数多

32、元函数 条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n和和 约束条件个数约束条件个数m较大较大 最优解在可行域最优解在可行域 的边界上取得的边界上取得 数数 学学 规规 划划 线性规划线性规划 非线性规划非线性规划 整数规划整数规划 重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？ 例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车

33、对钢汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量 钢材（吨）钢材（吨） 1.5 3 5 600 劳动时间（小时）劳动时间（小时） 280 250 400 60000 利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为

34、汽车的数量分别为x1, x2, x3 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 0, 321 xxx 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量 钢材钢材 1.5 3 5 600 时间时间 280 250 400 60000 利润利润 2 3 4 线性线性 规划规划 模型模型 (LP) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型模型 求解求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为

35、整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226 结果为小数，结果为小数， 怎么办？怎么办？ 1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与 LP最优值最优值63

36、2.2581相差不大。相差不大。 2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数等，计算函数 值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 IP可用可用LINDO直接求解直接求解 整数规划整数规划( (Integer Programming, ,简记简记IP) ) “gin 3”表示表示“前前3个变量个变量 为整数为整数”，等价于：，等价于： gin x1 gin x2 g

37、in x3 IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3600 280 x1+250 x2+400 x360000 end gin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 600004002

38、50280 321 xxx 为非负整数 321 ,xxx 模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解： 80, 0, 0 321 xxx 0,80, 0 321 xxx 80,80, 0 321 xxx 0, 0,80 321 xxx 0,80,80 321 xxx 80, 0,80 321 xxx 80,80,80 321 xxx 0, 321 xxx 方法

39、方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx x1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 LINDO中对中对0- 1变量的限定：变量的限定： int y1 int y2 int y3 方法方法2：引入引入0-1变量

40、，化为整数规划变量，化为整数规划 M为大的正数，为大的正数， 可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或

41、 80 x3=0 或 80 1 , 0,80, 11111 yyxMyx 1 , 0,80, 22222 yyxMyx 1 , 0,80, 33333 yyxMyx 最优解同前最优解同前 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 NLP虽然可用现成的数学软件求解虽然可用现成的数学软件求解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划 非线性规划（非线性规划（Non- Linear Programming，简记，简记NLP） 实践表明，本例仅当初值非常

42、接近上面方法算出实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 0)80( 11 xx 0)80( 22 xx 0)80( 33 xx 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工 ？ 例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A： 购买

43、量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨 售价售价5600元元/吨吨 库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 汽油甲汽油甲 (A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 决策决策 变量变量 目标目标

44、函数函数 问题问题 分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - - 购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂 )()(6 . 5)( 8 . 4 22122111 xcxxxxzMax 甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 购买购买x x11 x12 x21 x22 4.8千元千元/吨吨 5.6千元千元/吨吨 原油原油A的购买量的购买量, ,原油原油A, B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量 c(x) 购买原油购买原油A的支出的支出 利润利润(千元千元) c(x)如何表述？如何表述？ 第四章第四章 数学

45、规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 原油供应原油供应 约束约束 条件条件 xxx500 1211 1000 2221 xx 1500 x 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨； 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨； 1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标 函数函数 购买购买x A B x11 x12 x21 x22 库存库存500吨吨 库存库

46、存1000吨吨 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软 件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油汽油含原油A 的比例限制的比例限制 5 . 0 2111 11 xx x 6 . 0 2212 12 xx x 2111 xx 2212 32xx 约束约束 条件条件 甲甲(A 50%) A B 乙乙

47、(A 60%) x11 x12 x21 x22 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数 目标目标 函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500( (吨吨) )时，才能以时，才能以 8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2 方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 4 32122122111 xxxxxxxzMax 0)500( 32 xx500,0 321 xxx 非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以

48、用LINGO求解求解 模型求解模型求解 x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨 增加约束增加约束 0)500( 21 xx x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 方法方法1：LINGO求解求解Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 x + 500; x21+x2

49、2 0; 2*x12 - 3*x22 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500; x2 500; x3 0; x11 0; x12 0; x21 0; x22 0; x1 0; x2 0; x3 0; end Objective value: 4800.000 Variable Value Reduced Cost X11 500.0000 0.0000000E+00 X21 500.0000 0.0000000E+00 X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X22 0.0000000E+0

50、0 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还 能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？ 用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B 生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A， 利润为利润为4,800千千元。元。 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 y1, y2 , y3

51、=1 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A 增增 加加 约约 束束 方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可，可 用用LINDO求解求解 112 500500yxy 223 500500yxy 33 500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X2

52、1 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 购买购买1000吨原油吨原油A，与，与 库存的库存的500吨原油吨原油A和和 1000吨原油吨原油B一起，生一起，生 产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000 千元千元 。 x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数

53、y=0 x=0 x0 y=1 优于方法优于方法1的结果的结果 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 b1 b2 b3 b4 方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2， z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2). c(x) x 12000 9000 5000 050010001500 b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4， z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3

54、c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc 直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 IP模型，模型，LINDO求求 解，得到的结果与解，得到的结果与 方法方法2相同相同. . 处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性 44332211 bzbzbzbzx )()()()()( 44332211 bczbczbczbczxc bk x bk+1yk=1, ,否则否则,

55、,yk=0 3432321211 ,yzyyzyyzyz )4 , 3 , 2 , 1(0, 1 4321 kzzzzz k 10, 1 321321 或yyyyyy 方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1 zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ). c(x) x 12000 9000 5000 050010001500 b1 b2 b3 b4 对于对于k=1,2,3 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修 单阶

56、段生产计划单阶段生产计划 多阶段生产计划多阶段生产计划 生产批量问题生产批量问题 企业生产计划企业生产计划 考虑与产量无关的固定费用考虑与产量无关的固定费用 给优化模型求解带来新的困难给优化模型求解带来新的困难 外部需求和内部外部需求和内部 资源随时间变化资源随时间变化 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 安排生产计划安排生产计划, 满足每周的需求满足每周的需求, 使使4周总费用最小。周总费用最小。 存贮费存贮费: :每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元。千元。 例例1 饮料厂的生产与检修计划饮料厂的生产与检修计划 在在4周内安排一次设备检修，

57、占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能千箱生产能 力，能使检修后每周增产力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? ? 周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱) 115305.0 225405.1 335455.4 425205.5 合计合计100135 某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 问题分析问题分析 除第除第4周外每周的生产周外每周的生产 能力超过每周的需求；能力超过每周的需求；

58、 生产成本逐周上升；生产成本逐周上升； 前几周应多生产一些。前几周应多生产一些。 周次周次需求需求能力能力 11530 22540 33545 42520 合计合计100135 成本成本 5.0 5.1 5.4 5.5 饮料厂在第饮料厂在第1周开始时没有库存；周开始时没有库存； 从费用最小考虑从费用最小考虑, , 第第4周末不能有库存；周末不能有库存； 周末有库存时需支出一周的存贮费；周末有库存时需支出一周的存贮费； 每周末的库存量等于下周初的库存量。每周末的库存量等于下周初的库存量。 模模 型型 假假 设设 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 目

59、标目标 函数函数 约束约束 条件条件 产量、库存与需求平衡产量、库存与需求平衡 决策变量决策变量 )( 2 . 05 . 54 . 51 . 50 . 5 3214321 yyyxxxxzMin 15 11 yx 25 212 yyx 35 323 yyx 25 34 yx 20,45 40,30 43 21 xx xx 能力限制能力限制 非负限制非负限制 0, 3214321 yyyxxxx 模型建立模型建立 x1 x4：第：第14周周的生产量的生产量 y1 y3：第：第13周末周末库存量库存量 周次周次需求需求能力能力 11530 22540 33545 42520 成本成本 5.0 5.

60、1 5.4 5.5 存贮费存贮费: :0.2 ( (千元千元/ /周周 千箱千箱) ) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为周生产计划的总费用为528 (千元千元) 最优解：最优解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 . 周次周次需求需求能力能力 11530 22540 33545 42520 成本成本 5.0 5.1 5.4 5.5 产量产量 15 40 25 20 库存库存 0 15 5 0 LINDO求解求解 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 数学模型数学模型 姜启