第二章 随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布2.1一维随机变量2.1.1一维随机变量的相关定义(1)在随机试验中，对于试验的某些性质，每个试验结果(基本事件)需要用一个实数来表示，显然这些实数是随着试验结果而变化的，我们把这个变量称为一维随机变量,记为.例如：随机试验：将一枚硬币抛掷两次，观察正反面出现的情况.试验结果有：四种,其中表示正面，表示反面.显然对于出现正面次数这类性质，每个试验结果对应的实数有：.(2)用以表述随机变量取值的概率规律称为概率分布.注：根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式.离散型随机变量以表格为概率分布的最好表现形式；连续型随机变量以概率密度函数为概率分布的表现形式.2.

2、1.2一维离散型随机变量及其分布(1)一维离散型随机变量及其分布律的定义如果一维随机变量只可能取有限个或无穷可列个值，则称为一维离散型随机变量.设一维离散型随机变量所有可能取的值为()，取各个可能值的概率称为的分布律.其表格形式如下表：(2)一维离散型随机变量及其分布律的性质，；.(3)泊松分布一维离散型随机变量及其分布有很多，比如：0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布等，但泊松分布应该是最引人注目的分布之一.泊松分布的定义如果随机变量得概率分布为,，则称服从参数为()的泊松分布，简记作.泊松分布的推导泊松分布多出现在当表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合.“在一定时

3、间内某交通路口所发生的事故个数”是一个典型的例子.泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释.为方便记，设所观察的这段时间为,取一个很大的自然数，把时间段分为等长的段：.我们做如下两个假定：(a)在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为；(b)各段是否发生事故是独立的.把在时段内发生的事故数视作在个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，应服从二项分布.于是有:，当取极限时，又有：，因此.由推导得出：当二项分布()中的很大又很小且适中时，泊松分布的概率可近似二项分布的概率.实际表明，在一般情况下，当时，这种近似是很好的，甚至不必很大都可以.比如：当，时，这

4、种近似程度已经很好了，数据如下表.00.98010.980210.01980.19620.00010.00022.1.3一维连续型随机变量及其分布(1)一维随机变量的分布函数虽然分布函数在离散型随机变量中也可以使用，但离散型随机变量用表格来表达要比分布函数更加直观.分布函数的真正的作用其实是在连续型随机变量中.注：二维随机变量类似.一维随机变量的分布函数的概念设是一维随机变量，对任意实数，记，称为随机变量的分布函数，又称随机变量服从分布.随机变量的分布函数就是在区间内取值这一件事(即事件)的概率.对于任意实数，()，有：，因此，若已知的分布函数，我们就知道落在任一区间上的概率，从这个意义上说，

5、分布函数完整地描述了随机变量得统计规律性.一维随机变量的分布函数的性质(a)是一个单调不减函数；(b)，且，；(c),即是右连续的.(2)一维连续型随机变量一维连续型随机变量的相关概念设一维随机变量的分布函数为，如果存在非负可积函数，使得对于任意实数，均有，则称为一维连续型随机变量，函数称为的概率密度函数，简称概率密度.一维连续型随机变量的概率密度的性质(a)；(b).【例2.1】已知连续型随机变量的概率密度()求分布函数；()若令，求的分布函数.解：()当时，；当时，；当时，；当时，即有()令，由于及为的单调不减连续函数，当时，；当时，；由因为，所以区间应划分为和两个区间进行计算,当时，当时

6、，综上得(3)指数分布和正态分布指数分布和正态分布是一维连续型随机变量的两个十分重要的分布.指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等等；自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，例如能力的高低，学生成绩的好坏等.指数分布(a)指数分布的定义若随机变量的概率密度为则称为服从参数为()的指数分布，记为.的分布函数为(b)指数分布的“无记忆性”对于任意，有：.如果是某一元件的寿命，那么上式表明：无论元件已经使用多长时间，只要还没有损坏，它能再使用时间的概率与从开始时算起它至少能使用时间的概率相同,这就是指数分布的“无记忆性”.显然，指数分布的这种特性，

7、与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程.所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式.但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用.正态分布(a)正态分布的定义若随机变量的概率密度为()，其中和均为常数，且，则称服从参数为，的正态分布，简记为.其概率密度局部图如图2.1.图2.1的分布函数为,.当，时，称服从标准正态分布，记为，其概率密度和分布函数分别用和表示，即有：（）；().(b)二项分布的正态近似(证明参见3.3.2)设随机变量服从参数为的二项分布（即）

8、，其中，则对任意有：，即当充分大时，近似服从或近似服从.于是当充分大时有：2、.注：虽然原则上上述两式适用于任何给定的和充分大的，不过当较大时或较小时近似效果较差，应用时最好满足.【例2.2】设随机变量具有概率密度()，求的概率密度.解：分别记,的分布函数为,.由于，故当时，当时，有：.将关于求导数，即得的概率密度为：注：若,则的概率密度为此时称服从自由度为1的卡方分布.2.2二维随机变量前面已经讨论了一维随机变量的情况，但是在统计学中很多情况用一维随机变量不能准确地描述真实结果，比如：研究某地区学龄前儿童发育情况，你只通过他们的身高来描述肯定没有通过身高和重量一起描述更准确.当然有些情况需要

9、三维及以上随机变量来描述，但二维随机变量是基础，其很多结论都可以推广到多维随机变量.2.2.1二维随机变量的定义在随机试验中，对于试验的某些性质，每个试验结果(基本事件)需要用两个实数来表示，显然这些实数是随着试验结果而变化的，我们把这两个变量称为二维随机变量,记为.2.2.2二维离散型随机变量及其分布(1)二维离散型随机变量及其分布的定义如果二维随机变量全部可能取到的不相同的值是有限对或无穷可列多对，则称是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量所有可能取的值为()，如果取值的概率()称为的分布律，或称为随机变量和的联合概率分布.其表格形式如下表：其中()是关于的边缘概率分布律；()是关于的

10、边缘概率分布律.(2)二维离散型随机变量及其分布的性质,；.(3)二维离散型随机变量的条件概率分布设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称()为在条件下随机变量的条件分布律.同样地，对于固定的，若，则称()为在条件下随机变量的条件分布律.2.2.3二维连续型随机变量及其分布(1)二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数的概念设是二维随机变量，则对于任意实数，二元函数：()称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数在处的函数值就是随机点落在如图2.2所示以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率.如

11、图2.3，易知随机点落在矩形域的概率为：. 图2.2 图2.3二维随机变量的联合分布函数的性质(a)是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，.；(b)，且对于任意固定的，；对于任意固定的，；.；(c)关于和均右连续，即.二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量作为一个整体，具有分布函数.而和都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数.边缘分布函数可以由的分布函数来确定，即有：；.注：由关于和关于的边缘分布函数一般是不能确定.只有当，相互独立时，由两边缘分布才能确定的分布.(2)二维连续型随机变量二维连续型随机变量的相关

12、概念设二维连续型随机变量的分布函数为.如果存在非负的函数使得对于任意，有，则称为二维连续型随机变量.称函数为二维连续型随机变量的概率密度，或称为随机变量和的联合概率密度.二维连续型随机变量的概率密度的性质(a)；(b).二维连续型随机变量的条件概率密度设函数为二维连续型随机变量的概率密度，若对于固定的，边缘概率密度，则称为在的条件下的条件概率密度，记为：.同样地，则称为在的条件下的条件概率密度，记为：.(3)二维正态分布二维正态分布的概念如果二维连续型随机变量的联合概率密度为：，则称服从参数为的二维正态分布，记为:，其中均为常数，且，.二维正态分布的局部图如图2.4.二维正态分布的性质设，则(

13、a)二维正态分布的两个边缘分布：的分布和的分布都是一维正态分布，即，.(b)两个正态分布随机变量与的任意线性组合(为任意实数，且不全为0)仍服从正态分布，且：当与独立时，；当与不独立时，.(c)两个正态分布随机变量与相互独立的充分必要条件是相关系数(相关系数详见3.3.1).2.2.4二维随机变量的独立性(1)二维随机变量的独立性的定义设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数.如果对于任意的，都有，即:.则称随机变量与相互独立.(2)二维随机变量独立的充要条件对于二维离散型随机变量，随机变量与相互独立的充要条件是，即.对于二维连续型随机变量，随机变量与相互独立的充要条件是，其中为，的连

14、续点.2.2.5两个随机变量函数的分布(1)两个随机变量函数的概念设，为随机变量，是二元函数，则以随机变量，作为变量的函数也是随机变量，称之为随机变量，的函数.(2)二维离散型随机变量函数的分布求法设是二维离散型随机变量，联合分布为：()，则：也是离散型随机变量，其分布律为：()，如果有若干个相同，则合并诸项为一项，即将相应的概率相加为取值为的概率.如果，则为二维离散型随机变量，求联合分布律：()，如果有若干个相同，则合并诸项为一项，即将相应的概率相加为取值为的概率.(3)二维连续型随机变量函数的分布求法设是二维连续型随机变量，其联合密度函数为.如果是离散型随机变量（很少出现），其分布律为：(

15、). 如果是连续型随机变量，先求出其分布函数：再求出其密度函数.如果，则分布的方法如下：(a)若为二维离散型随机变量（很少出现），其分布律为：(b)若为二维连续型随机变量，先求出其分布函数：再求出其密度函数.(4)几个简单常用的二维随机变量函数分布的求法的分布设是二维连续型随机变量，其联合密度函数为.则仍为连续型随机变量，其概率密度为：.证明：由于的分布函数为，如图2.5所示，这里积分区域是直线及其左下方的半平面.将二重积分转化成累次积分，得，固定和对积分作变量变换，令，得：，所以，对求导得.同理. 图2.5 图2.6和的分布设是二维连续型随机变量，其联合密度函数为.(a)仍为连续型随机变量，其概率密度为.证明：如图2.6所示，的分布函数为：固定和对积分作变量变换，令，得：，同理，对求导得.(b)同样地，仍为连续型随机变量，其概率密度为:.及的分布设的联合分布函数为，与的分布函数分别为和，则及的分布函数分别为：，注：设是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为()，则与的分布函数分别为：，.【例2.3】已知二维随机变量的概率密度为：()试求的边缘概率密度，并问与是否独立；()令，求的概率密度.解：()同理因为，所以与不独立.()方法1：分布函数法的