数理统计教程课后重要答案习题

1、19.设母体解:20.因为第一章:统计量及其分布服从正态分布且与服从N2和n分别为子样均值和子样方差n独立，试求统计量分布.n岛的抽样分布所以,又设且n2与n 1 N 0,1所以n 1n 1n由于En 1服从t n 1分布. n 11,n,是取自二元正态分布n2 i1)2in i 1n i 12,22 的子样，设试求统计量s2D_2cov1222r的分布0,1分2 n n.22 2S1S22rS1S2i 11.设i是正态变量，类似于一维正态变量的情况c2_2n S21S 2rS S22 2T71S2 2rS S-n 1,(第二章:n是来自二点分布的一个子样,可证S2S22rS S 与相互独所以

2、统计量1/22 21 2 1 2-22n S S 2rS S2 21221 2) n 1服从t n1分布.f x; a22ax,00,其它估计量,试求成功概率 p的矩法估计量3.对容量为n的子样，求密度函数x a 中参数a的矩法估计3.对容量为n的子样，求密度函数f x; ax ,0x a中参数a的矩法估计量.2x a axdx I4.在密度函数1 xa,01中参数矩法估计量是什么？解：（1）XiIn LInXi.0,其它a的极大似然估计量是什么Xii 10 Xi 1i 114.Sn令止由于nIn Xjnn。In xii 12 InL212为取自参数为对普哇松分布有*2ESn2故与Sn都是故?

3、L)2*2Sn也是n-En 1 i 1是In xi1极大似然估计的普哇松分布的一个子样.试证子样平均的无偏估计并且对任的无偏估计从而的无偏估计.又E*2Sn2* 2Si也是的无偏估计.15.设1,n ,为取自正态母体N ,2的一个子样，试适当选择c ,使S2n 1ci 1i 12i为2的无偏估计.解:由E iDi2且1i1)7 n相互独立可知，E ij Ei E j2i J从而ES2nci 1E i 12 2E i 2E i 1E2 2i c2n 1 E 1 2n 1 E 12c n 1 D2c1Sn为2的无偏估计42411试求17.设随机变量服从二项分布解:(i),x 0,1,n2无偏估计量

4、由于E n34.(ii)密度函数为2的无偏估计为Sn2对2求导得:从而EIn f2?2从而当抽得容量为N的一个子样后NnSn22x anSn2x dxn是取自正态母体N2的一个子样，其中为已知，证明22的有效估计；ii2是的无偏估计，并求其有效率.ESn2DSn故In丄ln2In f22 In L2 2R下界为是2的有效估计ii .由于EXidxy2ye 2 dy1n222 2 2D?2 n-DiE1E12 i 12n2n22而Elnfl1222E22故E? ,即？是的无偏估计又2 22ni 12?的有效率为-2n-0.876。2 22故c R下界为2n2n-e ,x30 .设1, n是取自具

5、有下列指数分布的一个子样0,其它1证明1ni是的无偏、一致攵、有效估计。ni 1X证：由于E iX - edx2是的无偏估计02x又E2i0X2e 2dx232 2，故 D i2从而D -2.，而Eln f 21 E214 E2n2故C R下界为,因此一是的有效估计n另外，由契比可夫不等式P所以还是的一致估计32设i, n是独立同分布随机变量，都服从X1 ,X 0,1,2,0n1，则Tni是的充分统计量证：由于1, n的联合密度为f ，Xn n 1*Xi0,1,2,取k1n 12Xi,k21,则由因子分解定理知, Tn是的充分统计量.Ho：试决定常数解：因为第三章:2, 25取自正态母体N(

6、,9)其中0取检验的拒绝域：Cc使检验的显著性水平为,9),所以N (假设检验为未知参数(X1X25) : X在Ho成立下,为子样均值，对检验问题Po(|5C35C 0.05,35C30.975,5C 1.96,3所以C=.2 设子样(1n ,)取自正态母体N(,o),o已知，对检验假设H0:0, H1 :0的问题，取临界域(X1Xn) ： XCo .(i )求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系(ii )设 0.5, 00.04,0.05,n 9,求0.65时不犯第二类错误的概率解：(i). 在H。成立下,20,)33.设1, n是独立同分布随机变量,都服从具参

7、数为n的普哇松分布，则Tni是i 1关于的充分统计量.证：由于1, n的联合密度是f X1XnXie nXi0,1,2Xi!取 k12Xie n ., k2Xi! 1,则由因子分解定理知:Tn是充分统计量.P0C。P00 n C0Vn ,00C。00、nU1C003U10其中u1是N (0，1）分布的分位点。在H成立下,N2（，0）,nP1 C0巳J n C0J n0 0 C。-n0vnU10Vnu1/n000当增加时，比减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。（ii ）不犯第二类错误的概率为1-11u1=11.645 2.25110U0.950.6050.6050.7274.0.65 0.

8、50.24,设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了 26个，测得指标的平均值为 1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批 产品的指标为1600小时？解：母体 N ,1502 ,，对假设 H。1600米用U检验法,在H为真下，检验统计量观察值为u x 0 /26 1.2578,0.05时临界值1.96。由于U 气/， 所以接受H ，即不能否定这批产品指标为1600小时5某电器零件的平均电阻一直保持在均方差保持在改变加工工艺后测的100个零件，其平均电阻为 ，均方差不变问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？取显著性水平0.01。解：设改变工艺后，电

9、器零件电阻为随机变量，则E 未知，D 0.062 2。检验假设H 0 ：2.64。N匹。1003.330.01, uu0.995122.10。由于u3.33从母体中取了容量为 100子样，近似服从正态分布，即: 因而对假设H0可采用u检验计算检验统计量观察值2所以拒绝原假设 H0即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。6.有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种就旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为小时，均方差为小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间（以小时为单位） 为：/ V 555555试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的

10、疗效？（0.05)解：设新安眠剂疗效为随机变量，则E未知，D1.82。检验假设 H。：20.8, H1 :20.8从母体中取了容量为 7子样，近似服从正态分布，即:1.82。7因而对假设H。可采用u检验计算检验统计量观察值0.05, u1所以接收原假设15.设 Xi,X2,-0打21.34叫u0.951.6451.8由于u0.3 J7u1。H。，即新安眠齐U未达到新的疗效。,Xn为取自总体X N2的简单随机样本，其中0为已知常数,Xi 0 2选择统计量U= 口，求2的1-的置信区间。nXi解：由于U = L20服从2(n),于是Xii 1nXiXi故2的1-的置信区间16.在某校的一个班体检记

11、录中，随意抄录 25名男生的身高数据，测得平均高为 170 厘米，（修正）标准差为 12厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差 的0 .95 置信区间（假设身高近似服从正态分布） 。解：由题设 身高XN（,2），n=25,X 170,S12,0.05。(1)先求的置信区间（2未知）取12252,06)=，170+=，.1),t (n1)t0.975(24)2.06故置信区间为:2的置信区间（未知）2(n 1)S2 2(n 1),( n 1)220.975(24)39.3642(n 1)220.025(24)12.401故2的置信区间为2(24 12(39.364224 12 )12.401

12、)(87.80,278.69)的置信区间为 87.80 , . 278.69(9.34,16.69).14.在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为秒，为了以95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过秒，应取多大的样本容量n?解：以X表示反应时间，则E（X）为平均反应时间,由条件知，样本标准差S=,用_XX样本均值 X估计 .当n充分大时，统计量 U 近似服从标准正态分布S/l0.05 厂nnN（ 0, 1）,根据条件，要求样本容量满足PX0.01P X0.0猛0.01亦0.95.即0.050.01妬Vn0.95,J n21.645 n 9.896.04 即0.0555应取样本容量n为

13、96或97。&在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值X= m.假设跳远绩X服从正态分布，且=03,问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为=m (=.解： H0 :4.40 比：4.4X 4.40选统计量UN(0,1);/品(3)查标准正态分布表，得出临界值u Z095 1.64,拒绝域i 2(,1.64)(1.64,);算得,U4.38 4.400.330.2,显然不在拒绝域内，因此H被接收，即可认为该年级学生跳远平均成绩为米。9 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为分，标准差 Sn*为15分，问在显著水平下，是否可认为这次考试全体考生的平均 成

14、绩为70分？并给出检验过程。t n 1 t.975 352.030112解: (1 )待检假设H。：70;备择假设 比：70(2 )在H成立条件下选择统计量t(3 )在显著性水平下，查t分布表，找出临界值t n 1t0.975 352.03011 -2拒绝域2.03012.0301,66.5 70(4)计算U1.42.0301,2.0301，故接受h，因此可以：36认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。11 某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为=,改进新工艺后,从新的产品抽出9件，测得平均寿命 X= , S *n2 =，问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？(取显著性水平=)

15、解: (！)待检假设Ho： 21.62，备择假设Hi : 21.62(2)选取统计量U(3) 查*2n 1 SnHo成立时20.0252.180, 2 n 11 20.975817.535.拒022绝域为 0, 2.18017.535,.9 11 19(4计算U。23.73，接受 H,即改进工艺后仪表寿命的方差没有1.62显著变化。12.电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为 ：42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80 ?(熔断时间服从正态分布，显著性水平=).解: (1)待检假设H 0

16、: 2 80,备择假设 比：2 80(2)选取统计量U门 1 S*2在Ho成立下200.05,n 19,查2分布表1 n 120.959(4) X丄42 651010* 21SnXi9i 19121.8U 0(3)由16.91975 78 71 59 572X 121.813.70,16.91968 54 5562.4。故接受假设即在0.05下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80.10.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名,测得平均身高 厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身高厘米，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为和厘米，问该校经常

17、参加锻炼的男生是否比不常参 加体育锻炼的男生平均身高高些？0.05解：X, Y分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设1,5.352 ,Y N 2,6.112待检假设H0 :12，备择假设H 1 :在H0成立下选取统计量U0,对于0.05,查正态分布表，Z0.951.64计算U。174.34 172.425.3526.11250501.671.64故否定假设H0即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生平均身咼咼些。假设六个整数1 , 2, 3, 4,5, 6被随机地选择,重复 60次独立实验中出现 1 , 2, 3, 4,5, 6的次数分别为13, 19,11,8, 5, 4。冋

18、在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：H0: p(1)p( 2) L1P( 6)-解：用2拟合优度检验，如果H 0成立26 g np)2i 1 np列表计算的观察值:组数i频数ninpim npi2ni npi /npi1131032191093111014810-25510-56410-615.6 ,0.95(5)=由于20.95(5)，所以拒绝Ho。即等概率的假设不成立。对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压击穿频数1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1试对电缆耐压数据作分析检验(用概率图纸法和2拟合优度检验)。解：用正态概率纸检验出

19、数据基本上服从正态分布，下面2拟合优度检验假设H。： N(?, ?)其中?, ?2为 和2的极大似然估计，其观察值- 1 n -? x 4.3744? (x x)2 0.04842n i 1所以要检验的假设Ho : N(4.3744,0.04842)分组列表计算2统计量的观察值组距频 数标准化区间Pi(yi)2Xi 1Xiyi 1yi(yi 1)npin npi /npi54.174.284.31265n (np nJ22.4852i inpi用 0.1查表0.9(6 2 1)0.9(3)6.251由于2 為(3),所以不能否定正态分布的假设。用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，

20、射击结果列表如下命中数 Xi： 0 1 2 3 4 5 67 8 9 10频数 fi : 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在显著水平0.05下用2拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布b(K;10, p)来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为1 10? x x 0.5100 i 0设 是十发射击中射中靶的个数，建立假设H。： p(k)10K(0.5)k(0.5)10 k, K0,1,K ,10用2拟合优度检验法列表如下:iPinpi2ni np /npi00122431042

21、25266187128492100210(np G23.171i onpi2 2取0.05,0.95 (11 1 1) = 0.95 (9) 16.919由于2 為5(9)，所以接受Ho。7.17在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440,测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数 012 3 4 5 6 7 9锭数(实测)263 112 38 19 3 1 1 0 3解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分 布，所以问题是要检验每只锭子的断头数:P(K;)。其中 未知，求其极大似然估计为X 292 0.66

22、，建立假设H。： : p(K;0.66)，由2拟合优度检验。列表i断头数KPinpi2ni np /npi10268211123238431954-882(nPi40.962i o np取 0.05,0.95(5 1 1)= 0.95(3)7.815 ,取 0.01,爲9(5 1 1)=爲5(3) 11.345由于20.99 (3)，所以拒绝H。即认为每只锭子纺纱条件不相同第四、五章：线性回归与方差分析元线性回归的模型为：yi1Xi i , i1,n,i N 0, 2试求参数1的最小二乘估计，其中Xi不全相同。解：由最小二乘法知要最小化函数nyi1Xi解之得参数2.设有四个物体0, i 0,1.得正规方程组为：1的最小二乘估计为:?1XiA、B、C D,其重量分别为Xi 0Xi2XiyiXiYi-2X x?1 X4，四次在天平上秤重得:y1=1 +2 +3 +4+ 1 ； y2=1+2-3 -4 +2，Y3= i-2+ 3-4+3； y4=1 -2-3+4 + 4 .其中1、2、3、4分别表示秤重时发生的随机误差。求1、2、3、4最小一乘估计。111111解:X1111114