第0章(利息理论和年金的计算)

1、寿险精算导言背景知识n保险的基本概念n精算学及其应用领域n寿险精算学的基本思想n精算师n精算师职业资格考试保险的概念n保险的概念n投保人根据合同约定，向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行为。n关键概念n保险合同n可保风险保险的分类n保险分：非寿险和寿险。n非寿险分：财产保险(车险,房屋保险,火灾险,信用险,知识产权保险)和责任保险；n寿险（广义）分：人寿保险（狭义）、年金保险（生存保险）和健康保险；n狭义的人寿保险分：定期寿险、终生寿险和两全保险。定期

2、寿险定期寿险n定期寿险又称死亡寿险。它只提供一个定期寿险又称死亡寿险。它只提供一个确定时期的保障，如确定时期的保障，如1年、年、5年、年、10年、年、20年或者到被保人达到某个年龄为止，年或者到被保人达到某个年龄为止，如如60岁。如果被保人在这个时期内死亡，岁。如果被保人在这个时期内死亡，保险人向受益人给付保险金。如果被保保险人向受益人给付保险金。如果被保人期满生存，保险人无给付保险金的责人期满生存，保险人无给付保险金的责任。任。 终身寿险终身寿险n终身寿险是提供终身保障的保险，一般终身寿险是提供终身保障的保险，一般到生命表的终极年龄到生命表的终极年龄100岁为止。如果岁为止。如果被保险人生存

3、到被保险人生存到100岁，保险人则向其岁，保险人则向其本人给付保险金。本人给付保险金。两全保险两全保险n定期寿险和终身保险都是在被保险人死定期寿险和终身保险都是在被保险人死亡情况下给付保险金。两全保险不仅在亡情况下给付保险金。两全保险不仅在被保险人在保险期内死亡时向其受益人被保险人在保险期内死亡时向其受益人给付保险金，而且在被保险人期满生存给付保险金，而且在被保险人期满生存时也向其本人给付保险金。因此，时也向其本人给付保险金。因此，两全两全保险是定期寿险和生存保险的综合，保险是定期寿险和生存保险的综合，与与终身寿险的区别是保险有一定期限，其终身寿险的区别是保险有一定期限，其年均衡保费要高于终身

4、寿险。年均衡保费要高于终身寿险。精算学及其应用领域n精算学概念以概率论和数理统计为基础，与经济学、金融学及保险理论相结合的具有应用性和交叉性的学科。对保险业经营管理的各个环节进行数量分析，为保险业提高管理水平、制定策略和作出经营管理决策提供科学依据和工具的一门学科。 保险精算学的基本思想n损失补偿思想n不能阻止风险发生，但能将风险带来的损失降低最小n事先防范风险n净均衡思想n自助互助性n大数定律为消除投机因素和减少逐年分摊损失中出现的剧烈波动现象，保险经营必须应用大数定律。合理的保险经营必须维持最小限度的投保人数，并且不断使投保人数增加。精算师n精算师n金融、保险、投资和风险管理的工程师。n精

5、算师的职责 保证风险经营的财务稳健性n对风险和损失的预先评价n对风险事件做出预先的财务安排1988年北美精算学会在未来精算师特别工作组的报告中指出：n精算师是私人和公共财务设计师和潜在的企业管理人员，这是建立在精算职业的智能核心基础上的，其智能核心为经验分析和分析衡量、估算、转移以及对未来意外事件的现行财务状况作出反映。 精算师的从业范围n诸如在银行、顾问咨询公司、投资公司、大型跨国公司、会计师事务所、工会以及政府机构等处。精算师的作用：n帮助公司制定养老金计划，确定合适的投资组合，估计公司经营的成本（不确定成本），估计国际商贸和海外投资风险，为政府提供医疗制度的成本分析，工伤赔偿办法、爱滋病

6、对策、社会保障体制等各方面的建议，同时对政府新颁布的法律在经济中的影响提出预测等。与此同时，精算学的研究领域也相应扩大。由于精算师的职业特点，在世界上经济发达国家都建立了精算师考试制度，也设计了一整套课程体系，概括的说包括数理基础课、财经基础课、精算专业基础课、精算专业方向课。精算与许多相关学科 关系密切n1 与统计学的关系：精算学是利用统计方法，根据经验数据来分析问题和预测未来发展趋势，例如构造生存模型、编制生命表、建立损失分布、费率和准备金的计算（精算数学、风险理论），因此在精算发展的很长一段时间，把精算学称为保险统计。 2 与投资学的关系：n投资是经济主体购买金融资产或实物资产，以便在未

7、来某个时期取得与承担风险成比例的收入，其根本问题是投资决策。而精算的生命力就在于应用数学方法处理经济问题，如精算师在识别和控制利率风险以及合理的投资组合等方面的工作是保险公司正常运作的基础，所以精算学在投资领域的应用越来越有优势。 3、与财务和会计学的关系：n会计是管理经济工作的手段之一，它利用资金的价值形式，以货币为只要计量尺度应用专门的核算方法，通过记帐、报帐等程序，对经营活动进行核算和监督，用以制定决策等。由于保险公司的产品定价与一般企业不同，所以在保险公司中精算的职能主要是负责保费设计、准备金核算、红利和佣金的合理匡算，使会计流程规范、合理，起到技术监督职责，使公司财务过程合理化；更重

8、要的是精算将对未来的财务风险作出评估和预测，使企业的经营管理建立在科学的基础上保证确保企业的稳妥经营； 4、与金融、保险学的关系更是密不可分：n精算学是根据保险学的基本原理进行科学定量分析保险业务，大量使用金融工具来对保险公司进行有效的金融管理。因此，精算学也可以说是根据经济学的基本原理，利用数学方法，结合经济、金融、保险等理论，对各种经济活动中的财务风险进行分析、估价和管理的综合性应用科学精算师职业资格考试n精算师执业资格认证n考试体系n北美、英国、日本、中国n认可标准n1998年，欧共体精算协会顾问团公布了欧洲精算培训核心大纲，以此建立欧洲国家精算师互相资格认可n1998年国际师精算协会通

9、过了国际精算教育指南和培训大纲，要求至少到2005年以后正是会员的资格符合教学大纲的要求n2000年，北美精算学会，英国精算学会对各自的教育大纲进行修改，向国际精算师协会推荐的教育体系靠拢n2000年底，开始中国精算师资格考试，2004年，中国精算师分寿险和非寿险两个方向考试。中国精算师考试科目及考试内容中国精算师考试科目及考试内容n准精算师部分的考试内容包括：数学A1 金融数学A2n精算模型 A3 经济学基础 A4n寿险精算 A5 非寿险精算A6n会计与财务 A7 精算管理 A8n不分寿险和非寿险方向，考完8门课，经过职业道德培训后可获中国准精算师资格。精算师部分的考试内容包括：F1(L/G

10、) 保险法及相关法规（寿险/非寿险） F2(L/G)保险公司财务管理 （寿险/非寿险） F3 个人寿险与年金精算实务 F4 员工福利计划 F5 非寿险实务 选考 F6非寿险定价 F7 非寿险责任准备金评估 F8 投资学 F9 资产负债管理 F10 健康保险 精算师部分要求完成5门精算师考试课程，既有必考的又有选考的，因寿险和非寿险方向有所不同。经精算职业道德培训后，并具有三年以上的精算工作经验，可获得中国精算师（寿险方向）或中国精算师（非寿险方向）的资格 。寿险方向：通过F1L、F2L、F3和F8科目，并在F4、F9和F10这3门科目中至少通过1门科目。 非寿险方向：通过F1G、F6、F7和F

11、8科目，并在F2G、F5、F9和F10这4门科目中至少通过1门科目。 考点n北京、上海、天津、广州、厦门等15城市均设有考点。在香港和滑铁卢大学设有两个海外考点。每年春秋两季举办考试。nhttp:/www.e- 与国外考试体系抵免与国外考试体系抵免（1）通过SOA 资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。n通过SOA考试科目免考CAA考试科目nExam P Probability A1 数学nExam FM - Financial Mathematics A2 金融数学nExam C Construction and Evaluation of Actuarial Models A3 精算模型

12、 nExam M- Actuarial Models-Life Contingencies Segment (MLC) A5 寿险精算（2） 通过 I&FA资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。n、一对一科目抵免n通过IOA考试科目免考CAA考试科目nCT3 - Probability and Mathematical Statistics A1 数学nCT1 - Financial Mathematics A2 金融数学nCT4 Models 和CT6 - Statistical Methods A3 精算模型nCT5 Contingencies A5 寿险精算准精算师层次整体抵免n201

13、1年3月，经中、英精算师协会双方协商，在相互认可彼此考试体系基础上，就准精算师资格考试课程相互认可签订谅解备忘录。取得英国准精算师资格者，可以直接转换中国准精算师A1-A8全部课程。 考生可选择或方式进行科目抵免。n2011年以后取得中国准精算师资格者，可以直接转换英国准精算师考试基础技能课程（CT1至CT8）8门课程和学习类基础应用课程CA1。有关具体转换要求请登录英国精算师协会网站查询（.uk/） （3）通过CAS资格考试有关科目可免考的CAA考试科目。n通过CAS考试科目免考CAA考试科目nEXAM 1 Probability A1 数学nE

14、XAM 2 - Financial Mathematics A2 金融数学nEXAM 4 - Construction and Evaluation of Actuarial Models A3 精算模型 nEXAM 5 - Basic Techniques for Ratemaking & Estimating Claim n EXAM 6 - Reserving, Insurance Accounting Principles, Reinsurance, and Enterprise Risk Management A6 非寿险精算课程结构n利息理论基础 (利息理论和确定性年金的计算)n生

15、命表基础n趸缴纯保费计算 n均衡纯保费的计算n均衡纯保费的责任准备金n总保费和修正准备金n指定教材n张连增 ， 寿险精算（2010）， 中国财政经济出版社 。n 参考资料nKellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.nBowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.n王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。考核办法n上课到课率n平时作业n期末考试第零章利息理论基础利息理论要点n利息的度量n利息问题求解的原则n确定性年金第一节利息的度量第一节汉英名词对照n积累值

16、n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest 第一节第一节 利息的度量利息的度量n一、定义：一、定义：n利息可定义为使用资本的代价或报酬。利息可定义为使用资本的代价或报酬。资本使用者不一定拥有资本的所有权，资本使用者不一定拥有资本的所有权，他可借入资本来使用，对资本借入者他可借入资本来使用，对资本借入者来说，利

17、息就是因他使用资本借出者来说，利息就是因他使用资本借出者的资本而支付给后者的代价，对资本的资本而支付给后者的代价，对资本借出者来说，利息是他暂时转让资本借出者来说，利息是他暂时转让资本的使用权而从资本借入者那里得到的的使用权而从资本借入者那里得到的报酬。报酬。 第一节第一节 利息的度量利息的度量（续）（续）n二、影响利息的因素二、影响利息的因素n本金本金 用来生息的资本（即初始投资的资本）以货币计用来生息的资本（即初始投资的资本）以货币计量时，就称作量时，就称作本金本金。过了一定时期后收到的总金。过了一定时期后收到的总金额称为额称为积累值或终值积累值或终值A(t)（假定资本数额的任何（假定资本

18、数额的任何变化都是由利息的效应所造成的，即假设在投资变化都是由利息的效应所造成的，即假设在投资期间不再加入或抽出本金）。终值和本金之间的期间不再加入或抽出本金）。终值和本金之间的差额就是投资期间内的差额就是投资期间内的利息金额利息金额。在其他因素不。在其他因素不变的情况下，本金越多，可得到的利息也越多。变的情况下，本金越多，可得到的利息也越多。第一节第一节 利息的度量利息的度量（续）（续）n2时期时期 在理论上，在理论上，投资的时间投资的时间可用许多不同的单位来可用许多不同的单位来度量，如日、月、年等，最常用的是一年。在度量，如日、月、年等，最常用的是一年。在其他因素不变的情况下，使用资本的时

19、期越长，其他因素不变的情况下，使用资本的时期越长，可得到的利息也就越多。考虑时间段可得到的利息也就越多。考虑时间段 ，则该时间段内的利息额为则该时间段内的利息额为 ，记，记作作 ，则有，则有( )( )(1)I tA tA t(1, )tt ( )(1)A tA t( )I t第一节第一节 利息的度量利息的度量（续）（续）n通货膨胀（利率）通货膨胀（利率） 通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害，此时对资本的使用通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害，此时对资本的使用就应得到较高的利息。如不考虑风险因素的话，一般所说的就应得到较高的利息。如不考虑风险因素的话，一般所说的利息实际上是单纯由时间因素引起的

20、资本增值和由通货膨胀利息实际上是单纯由时间因素引起的资本增值和由通货膨胀因素引起的资本增值共同作用的结果。可见，对未来通货膨因素引起的资本增值共同作用的结果。可见，对未来通货膨胀率的预期会影响到利率的大小。胀率的预期会影响到利率的大小。n风险风险 在经济生活中，存在着各种各样的风险因素，如国家经济政在经济生活中，存在着各种各样的风险因素，如国家经济政策的变化，资本市场的波动等，它们将影响使用资本得到的策的变化，资本市场的波动等，它们将影响使用资本得到的收益。一般来说，高风险，高收益，即利息多。正因风险的收益。一般来说，高风险，高收益，即利息多。正因风险的存在，对资本进行投资不一定获得增值，有时

21、资本可能会贬存在，对资本进行投资不一定获得增值，有时资本可能会贬值，即利息为负，本书中，一般假设利息为非负。值，即利息为负，本书中，一般假设利息为非负。第一节第一节 利息的度量利息的度量n三三 利息的度量利息的度量n（零）、概念（零）、概念n积累函数积累函数 表示表示0时刻时的时刻时的1单位货币到时刻单位货币到时刻t时的积累值。通常是递增函数。若利息连续时的积累值。通常是递增函数。若利息连续增加，则此函数为连续函数，但实际中常存在增加，则此函数为连续函数，但实际中常存在这样的情况：利息在支付期之间并不连续增加，这样的情况：利息在支付期之间并不连续增加，此时该函数具有间断性。此时该函数具有间断性

22、。n总量函数总量函数 表示时刻表示时刻0时的初始投资时的初始投资k到时刻到时刻t时的积累值。于是有：时的积累值。于是有：( )a t( )A t( )( )A tka t利息的度量(积累和折现)n积累函数n总量函数n折现函数n第N期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-K- -1K -k )(1ta)(ta)(tA) 1()()(nAnAnI( )I n)(1ta积累和折现是相反的过程n一期折现因子 简称折现因子，记为 v.nt期的折现因子 是为了使在t期末的累积值为1，而在开始投资的本金金额。n为了在t期末得到某个积累值 ，在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（折现值）。n积累值只与过去

23、的付款有关。n现值于将来的付款有关。n当前值既可与将来的付款有关也可与过去的付款有关。1(1)a)(1ta（一）利息度量一计息时刻不同 某 一个度量期内（n-1,n）n期末计息利率n第N期实际利率（有效利率）n期初计息贴现率n第N期实际贴现率（有效贴现率）) 1()(nAnIin)()(nAnIdn实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11ii1d111）（idvvn实际利率是对期末支付的利息的度量；而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。n二率的等价性(1)11didiiddidivdii， 是 的积累；， 是的折现。例0.1 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为102

24、0元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？2121ddii、例0.1答案 1211112222( 0 )1 0 0 0 ,(1 )1 0 2 0 ,( 3 )1 0 5 0(1 )( 0 )2 0 ( 3 )( 2 )3 02 02 %( 0 )1 0 0 02 01 .9 6 %(1 )1 0 2 03 02 .9 4 %(1 )1 0 2 03 02 .8 6 %( 2 )1 0 5 0AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA（二）计算利息的方法（多个或非整数个度量期）（二）计算利息的方法（多个或非整数个度量期）n利息计算有两种基本方法：单利法和复利息计算有两种基本方法：单利法

25、和复利法。利法。 单利法单利法(利不生利利不生利) 复利法（利滚利）复利法（利滚利） 该法不仅对本金生息，还对产生的利该法不仅对本金生息，还对产生的利息生息。息生息。利息度量二积累方式不同n线形积累n单利n单贴现n指数积累n复利n复贴现iniiittan)1(11)(iiitant)1()(dndddttan)1(11)(1dddtant)1()(1单复利计息之间的相关关系n单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。n单贴现的实质贴现率逐期递增，复贴现的实质贴现率保持恒定。n 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。n 时，相同单复利场合，复利计

26、息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。1t1t例0.2 n某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例0.2答案 5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55）（复贴现计息单贴现计息复利计息单利计息AAAA(三)利息的度量三利息转换频率不同（一个度量期内利息支付多次或多个度量期内利息支付一次）n实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为 。n名义利率：在一年

27、里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。)(miit()mimj名义利率n 名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(名义贴现率n 名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(二率的等价性( )( )1( )( )1(1)(1)(1) ;111.mnmnmmididmnm ndmi 当时有：例0.31、确定500元以季度转换8%

28、年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例0.3答案1、2、3、420(4)0.081500 1742.9744niP84.693206. 01100021122)2(0nndAA%0605. 611206. 014121413)4(12)12(4)4(idi(四) 利息的度量方式之四-利息效力n定义：瞬间时刻利率强度（度量每一时间点上的利息或无穷小区间上的利息。）()()( )ln ( )( )( )ln ( )( )limlimtmmmmA tdA tA tdta td

29、a ta tdtid恒定等价公式n一般公式n恒定利息效力场合000(),().()( 0 ).ttsstsd sd sd satevteAtAeln(1)( )expia nn1ln( )expvann 例0.4n确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、%52)1 (05. 0tt例0.4答案50.104610001000272.1648100010001100105. 0)1(05. 005. 010101002tdtteeee、第二节利息问题求解原则一、利息问题求解四要素n原始投资本金n投资时期长度n利率及计息方式n期初/期末计息：利率/贴现率n积累方式：单利计息、复利计息n

30、利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力n本金在投资期末的积累值 二 利息问题求解原则（承认货币的时间价值）n利息理论的基本原则：任何时刻资金的积累额依赖于其所经历的时间。n过去支付的资金所经历的时间是从支付日到所考察时的时间，资金变化是一个积累过程。n未来要支付的资金所经历的时间是从所考察的时间到未来支付日，资金变化是一个折现过程。n不同时刻支付的金额不能直接比较，要将各个不同时刻的付款积累或者折现到同一时刻，再进行比较。利息问题求解原则n本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题n工具：现金流图（时间图），采用复利。n方法：建立现金流分析方程（求值方程）n原则：在任意

31、时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。（选择一个便于计算的比较日期）01t2tnt现金流时间坐标1p2pnp0p基础天数的计算n严格单利法n常规单利法n银行家规则例0.5：求本金n某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例0.5答案n以第7年末为时间参照点，有n以第8年末为时间参照点，有n以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）千元7435. 31006. 106. 1406. 146xx千元7435. 306. 11006. 1406. 157xx例0.6：求利率（1）某人现在投资4000元，

32、3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例0.6答案（1）（2）%124%35700)14000)4(43jijj（)204. 2 %4 .2061)1 ()(61)1 (15000)1 (6000)1 (30002224舍去（由舍去负根iiiiii例0.7：求时间n假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？)12(i例0.7答案 7 .340017.1ln122ln2%)17.01 (%26 .11005.1ln122ln2%)5

33、 .01 (%68 .501.1ln122ln2%)11 (%1212)12(12)12(12)12(ninininnn时，时，时，例0.8：求积累值 n某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？例0.8答案 57562000025. 12000025. 110002000)1 (2000)1 (1000)7(06. 009. 0209. 0823238eeeeejejA第三节年金第三节汉英名词对照n年金n支付期n期末付年金n期初付年金n永久年金n变额年金

34、n递增年金n递减年金nAnnuitynPayment periodnAnnuity-immediatenAnnuity-duenperpetuitynVarying annuitynIncreasing annuitynDecreasing annuity一、年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款，理论上可以连续付款。（购买住房时采取的按揭付款方式、退休者购买或获得养老金领取资格后以年金的方式领取养老金。）年金分类n确定年金：确定时期内支付确定金额的年金。它的支付次数和支付金额是确定的。零存整取、住房

35、按揭还款、购物分期付款等。n生存年金：以年金支付人或受领人生存为条件的年金。其支付金额确定，事先约定的支付次数只是最多可能支付次数，若支付人或受益人死亡则停止给付。如养老金给付、分期交付保费等。（将在第二章介绍）n本节介绍确定年金的各种形式和计算方法，为后续各章的寿险理论作铺垫。年金分类n分类n标准型年金n等时间间隔付款n整个付款期内利率不变且付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定n一般型年金n不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金年金分类n分类n付款时刻不同：期末付年金/期初付年金n付款期限不同：有限年金/永久年金本节内容n主要介绍各种形式的确定型年金，并给出各种形式年金的现值及

36、积累值。二、确定年金现值和终值的计算n（一）标准型年金n设年金每期支付一次，利息每期支付一次，每期的有效利率固定不变。以年为基本单位。每次支付额为1.标准型年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 期末付永久年金期初付永久年金期末付年金期初付年金（1）期末付定期即期年金的现值和终值n设年金额为设年金额为1，于每年年末支付，共付，于每年年末支付，共付n年，年实际利率为年，年实际利率为i，称，称此种年金为期末付定期即期年金。记其现值和积累值为此种年金为期末付定期即期年金

37、。记其现值和积累值为nans t 0 1 2 n-1 n 期末付定期即期年金（续）（续）n有221111(1)(1)(1)11,nnnnnaiiivvvvvvvi期末付定期即期年金（续）（续）n第三个式子说明现在投资的元，在每年年末可获得利息第三个式子说明现在投资的元，在每年年末可获得利息i，且在，且在第第n年末还可获得本金。年末还可获得本金。12(1)(1)1(1)1nnnnsiiii(1)nnnsai1nniav11nnias期末付定期即期年金期末付定期即期年金n 当当n为无穷时，有为无穷时，有 这是一个期末付定期即期的永久年金。这是一个期末付定期即期的永久年金。1.ai（2）期初付定期即

38、期年金的现值和终值n设年金额为设年金额为1，于每年年初支付，共付，于每年年初支付，共付n年，年实际利年，年实际利率为率为i，称此种年金为期初付定期即期年金。，称此种年金为期初付定期即期年金。na ns t 0 1 n-1 n期初付定期即期年金n有212111111(1)(1)1111,nnnnnaiiivvvvvvd 期初付定期即期年金（续）（续）n第三个式子说明现在投资的元，在每年年初可获得利息第三个式子说明现在投资的元，在每年年初可获得利息d，且，且在第在第n年年末还可获得本金。年年末还可获得本金。1(1)(1)(1)(1)1,nnnnsiiiid(1)nnnsai1nndav期初付定期即

39、期年金期初付定期即期年金n 当当n为无穷时，有为无穷时，有 这是一个期初付定期即期的永久年金。这是一个期初付定期即期的永久年金。1.ad（3）期末付定期延期年金的现值和终值）期末付定期延期年金的现值和终值n设年金额为，于设年金额为，于m年后开始在每年年末支付，共付年后开始在每年年末支付，共付n年，年实年，年实际利率为际利率为i，称此种年金为期末付定期延期年金。，称此种年金为期末付定期延期年金。|mna|mnst 0 m m+1 m+n期末付定期延期年金期末付定期延期年金n于是于是|12111(1)(1)(1)mmmm nnaiii12.mmm nvvv|mmnnav a期末付定期延期年金期末付

40、定期延期年金n有有|mnn mmaaa|mmn mnmmnaaaav a12|(1)(1)1(1)1nnnnmnsiiisi|(1)n mmmnnsai期末付定期延期年金期末付定期延期年金（续）（续）n当当n为无穷时，有为无穷时，有 这是一个延期的期末付的永久年金。这是一个延期的期末付的永久年金。|.mmvai（4）期初付定期延期年金的现值和终值）期初付定期延期年金的现值和终值n设年金额为，于设年金额为，于m年后开始在每年年初支付，共付年后开始在每年年初支付，共付n年，年实年，年实际利率为际利率为i，称此种年金为期初付定期延期年金。，称此种年金为期初付定期延期年金。|mna |mns t0 m

41、 m+1 m+n-1 m+n期初付定期延期年金期初付定期延期年金（续）（续）n于是于是|11121111(1)(1)(1)mmmm nnmmmm naiiivvvv mnv an mmaa期初付定期延期年金期初付定期延期年金（续）（续）n有有|mmn mnmmnaaaav a1|(1)(1)(1)(1)1nnmninnsiiiisd|(1).n mmmninsai期初付定期延期年金期初付定期延期年金n 当当n为无穷时，有为无穷时，有 这是一个延期的期初付的永久年金。这是一个延期的期初付的永久年金。|.mmvad（二）一般型年金1. 付款频率低于计息频率的年金n设年金在k年内支付一次，计息期为n

42、 年 ，每期的有效利率i固定不变。付款次数为n/k(假设为整数)，每次付款为1。,nnkknnkkasssasaa期末付的年金现值为积累值为： 。期初付的年金现值为积累值为： 。2. 付款频率高于计息频率的年金n设年金额为 1，在一年内分p 次支付，每次支付1/p，每期的有效利率固定不变。（1） 每年付每年付p次的期末付即期年金的现值次的期末付即期年金的现值和终值和终值 设设年金额为年金额为1，在一年内分，在一年内分 次支付，每次支付次支付，每次支付 ，利息每年支付一次，年名义利率为利息每年支付一次，年名义利率为 ，年实际利率，年实际利率为为 ，则在每，则在每 的时间内的实际利率为的时间内的实

43、际利率为 ，下面用上述类似的方法计算这一年金的现值和终值下面用上述类似的方法计算这一年金的现值和终值。 p1 p( )pii1 p()pip( )pna()pns t0 1/p 1 n-1 n每年付每年付p次的期末付即期年金次的期末付即期年金n有有()12111( )(1)(1)(1)(1)1(1).pnppppnnppnpnpvvvapppvvpvvpivi每年付每年付p次的期末付即期年金次的期末付即期年金n有( )( )( )(1).pnnppniviaai ii( )( )(1)1pnpnisi( )( )1ppai （2）每年付）每年付p次的期初付即期年金次的期初付即期年金n2. 期初

44、付即期年金的现值和终值期初付即期年金的现值和终值( )pna ( )pns t0 1/p 1 n-1/p n( )1211pnppppnvvvapppp每年付每年付p次的期初付即期年金次的期初付即期年金n继续简化继续简化( )111( )( )(1)(1)(1) (1)(1)1(1).pnnnpnppnppvapvivpidadvddd每年付每年付p次的期初付即期年金次的期初付即期年金n还有还有( )( )(1)1pnnpisd( )( )( )( )1111ppppaadpip3. 连续年金n定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.n公式:00( )00( )00(1)tn tnns dstnnns dsn tnav dtedtsidtedt恒定利息效力场合()00()