2020年高中数学必修五全套教案

1、精选考试学习资料，如有需要请下载-2020年高中数学必修五全套教案（精品）精选考试学习资料，如有需要请下载-2020年高中数学必修五全套复习讲义（精品）探索研究在 初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角 形中，角与边的等式关系。如图 1 . 1-2 ,在 rt abc 中，设 bc=a, ac=b, ab=c, 根 据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a c sin a , b c sinb ,又 sinc 1 c c , 贝i a sin a b sinb c sinc c b c从而在直角三角形abc 中，a sin a b sin b c sinc c a b （图1

2、. 1-2）思考：那么对于任意的三角形，以上关系 式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝 角三角形两种情况： 如图1. 1-3,当abc是锐角三角形时，设 边ab上的高是cd,根据任意角三角函数的定义，有cd二asinb b si na ,则 a sin a b sin b , c 同理可得 c sinc b sin b5 / 6从而 a sin a b sin b c sinc a c b (图 1. 1-3) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 理解定理a b c sin a sin b sinc (1)正弦定理说明同 一三角形中，边与其对角的

3、正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数 k 使 a k sina , b k sinb , c k sinc ；(2) asin a b sin b c sinc 等价于 a sin a b sin b , c sinc b sin b , a sin a c sinc从而知正弦定理的基本作用为: 己知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a b sina sin b ； 己知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他 角的正弦值， 如sina a b sin b 。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形。例题分析例1.在abc中，己知a32. 00 ,

4、b81. 80 , a42. 9 cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理,c 1800 (a b) 1800 (32. 00 81.80)66. 20 ； 根据正弦定理， b asin b sin a 42. 9sin81. 80 sin32. 00 80. 1 (cm)； 根据正弦定理， c asinc sin a 42. 9sin66. 20 sin32. 0074. 1 (cm). 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2.在abc中，己知a20cm, b28 cm, a400 ,解三角形(角 度精确到10 ,边长精确到1cm)。解：根据正弦定理，sin b bsin a a

5、28sin400 20 0. 8999. 因为 00 b 1800 ,所以 b640 ,或 bu60. (1)当 b640 时， c 1800 (a b) 1800 (400 640)760 , c asinc sin a 20sin760 sin 40030 (cm).当 b1160 时， c 1800 (ab)1800 (400 1160)240 , c asinc sin a 20sin 240 sin 400 13(cm).补充练习已知 abc 中，sina:sinb :sinc 1:2:3,求 a:b:c (答案：1： 2： 3) (2)正弦定理的应用范围：己知 两角和任一边，求其它

6、两边及一角； 己知两边和其中一边对角， 求另一边的对角。联系己经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因a、b均未知，所以较难求边co由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。a 如图1. 1-5,设 ctmbr r a , cuuarr b , auubrr c，那么r c r a r b ，贝lj r b r cr c 2 r cr c rr ab rr a b rr rr rr ar a 2abrb2 b r2ar2a b b c r a b 从而 c2 a2 b2 2ab cosc （图 1. 1-5） 同理可证 a2 b2 c2 2bc cosa b2 a2 c2 2ac cosb 于是得到 以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方 的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2 b2 c2 2bc cosa b2 a2 c2 2ac cosb c2 a2 b2 2ab cosc思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三 个量，可以 求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出） 从余弦定理，又可得到以下推论：cos a b2 c2 2bc a2 cosb a2 c2 b2 2ac cosc b2 a2 2ba c2理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：己知