利用压缩变换解决椭圆中三类问题.doc

1、利用“压缩变换”研究椭圆中三类问题浙江省桐乡市高级中学（ 314500）张晓东定义压缩变换： x o y 平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n (m0, n0, mn)m得到 xoy 平面显然在压缩变换下 ， x o y 平 面 上 的 圆 C: x 2y 2m2 就 压缩 为 xoy 平 面上 的 椭 圆x 2y21 ，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究三类问题m2n2一研究横坐标（或纵坐标）之间的关系y在压缩变换下， xoy 平面上点 P 与原来 x o y 平面上对应点DP的横坐标相同，即 xPxP Q C例 1（ 2011 年高考四川卷理科21第

2、2 小题）AOB Px如图1，过 (0,1) 作直线 l 与椭圆 x2y21交于 C, D 两点，2与 x 轴交于点 P ， AC 与 BD 交于点 Q 求证 xP xQ 为定值图 1解析：先把 xoy 平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的1 ，得到 x oy 平面，于是得2到问题：“如图 2 ，在 xo平面内，过(0,1) 作直线 l与圆y y2D x 2y 21 交于 C , D 两点，与 x 轴交于点 P ，A C 与BD交C Q 于点 Q 求证 xP xQ 为定值”AOMB Px1证明：事实上，过(0,) 是一个多余条件，只要l 与圆相2交即可作 QM AB于 M ，连结 B C

3、，再连结 OC ,C M ，图 2设弧 AD为 弧度，弧 BC 为弧度，则C P O2，CQB2又 Q,C ,B,M 四点共圆，所以C M BCQ B2所以OCM CM BBOC 22，所以 O C M OPC，所以 |OC |2 |OM |O P | ，所以 xP xQ = | O P | | O M | r 21 由于，在压缩变换中横坐标不变，所以在xoy 平面上， xPxQ1 二研究直线的斜率在压缩变换下， xoy 平面上直线的斜率k 变为原来 xoy 平面上对应直线斜率k 的 n 倍，即mknk ym例 2（ 2011 年全国高中数学联赛一试11 题第 1 小题）P如图3，作斜率为1

4、的直线 l 与椭圆 C : x2y 21 交于4Ox336BA, B 两点，且 P(32 ,2 ) 在直线 l 的左上方证明：PAB 的AQ内切圆的圆心在一条定直线上解析：作 PQx 轴交椭圆于另一点 Q ，连结 OQ 图 3y 把 xoy 平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的3 倍，P 得到 x o y 平面，如图 4O 22x xy: x 2y 236，B于是椭圆 C :1 还原成圆 C364相应地点 Q 的坐标为 (32, 3 2) ，直线 AB 的斜率为 131 ，Q 3A所以 kOQ k AB 1，所以 O QA B ，由垂径定理知点Q 平图 4分弧 AB ，所以 PQ 平分 A

5、 PB ，因为 PQx 轴，所以 P A 与P B 斜率互为相反数所以 xoy平面上直线 PA 与 PB 的斜率也互为相反数，即PQ平分APB ，所以 PAB 的内切圆的圆心在定直线x32 上三研究封闭图形的面积y下，xoy平面上封闭图形的面积S 是原来 x o y A在压缩变换平 面S 的 n 倍，即 SnB对应封闭图形面积S Oxmm例 3（浙江省 2012 年高考数学参考卷理科第21 题第 2 小题）如图 5， A, B 是椭圆 C : x2图 5y 21 上两点，且AB3，求y 3A AOB 面积的最大值解析：把 xoy 平面上所有点横坐标不变， 纵坐标变为原来的3B x O倍，得到 x 2y21还原成圆x o y平面，如图 6，于是椭圆 C :3C : x 2y 23 图 6显然当AOB90时， A O B 面积最大， Smax123 ，相应地，椭圆中AOB 最322大值为 Smax1 Smax133 3322在本题中 AB3 是一个非本质的条件，