《概率论与数理统计》课件之2

1、Ch1-391.3 频率与概率频率与概率设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 频率频率nmfn则称 为事件A发生的频率Ch1-40频率的性质频率的性质q 1)(0Afnq 1)(nfq 事件 A, B互斥，则)()()(BfAfBAfnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性q )()(limAPAfnn稳定性某一定数某一定数Ch1-41投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n(

2、H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰( Buffon )投币投币 皮尔森皮尔森( Pearson ) 投币投币Ch1-42例例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.

3、0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006Ch1-43 概率的概率的统计定义统计定义概率的定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用Ch1-44 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件

4、 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：q 非负性：0)(,APAq 归一性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立的 概率的概率的公理化定义公理化定义Ch1-45概率的性质概率的性质q 0)(Pq )(1)(APAP1)(APq 有限可加性: 设 nAAA,21两两互斥niiniiAPAP11)(q 若BA)()()(APBPABP)()(BPAPCh1-46q 对任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B A) B - A

5、ABCh1-47q 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推广推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCh1-48)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 项.12 nCh1-49例例1 1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王解解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(1) 答出甲类

6、而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAPCh1-50课后同学问：课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 ？2 . 07 . 0若是的话, 则应有)()()(2121APAPAAP而现在题中并未给出这一条件.在1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是 ：事件 相互独立.21,AACh1-51例例2 2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B )

7、 = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)(BAP最小值在 时取得 6 . 0)()(APABP 最小值 最大值)()(BPBAP最大值在 时取得 Ch1-52课上有同学提问课上有同学提问最小值是否正确？ 例2 中回答当 时, 取得BA)(BAP这相当于问如下命题是否成立答：不成立 ！BA1)(BAP 式是式是“羊肉包子打狗羊肉包子打狗 ”有去路有去路,没回路没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.Ch1-53设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事

8、件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 nS 中所包含的基本事件的个数的基本事件的个数组成 Ak nkAP)(则 概率的概率的古典定义古典定义1.4 等可能等可能(古典古典)概型概型Ch1-54例例3 3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（ ),求其中恰有 k 个（ ）白球的概率mkak ,bam) 1() 1)(mbababaAnmba解解 （1）不放回情形不放回情形设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边，重复 m 次记事件 A 为m个球中恰有k个白球，则Ch1-55)!(!)!(!)!

9、( !kmbbkaakmkmkmbkakmAAACn则mbakmbkakmAAACAP)(mkak ,Ch1-56又解又解 设 E1: 一次取 m 个球, 记下颜色mbaCn1记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则kmbkaACCn不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个球算得的结果相同.因此mbakmbkaCCCAP)(mkak ,称 超几 何分布Ch1-57（2）放回情形放回情形E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次mban)(2记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则mkmkkmbabaCBP)()(kmkkmbabbaaCbaap记kmkk

10、mppCBP)1 ()(称二项分布二项分布),min(, 2 , 1makCh1-58 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:Nk （1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；km （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例4 4 （分房模型）（分房模型）Ch1-59解解kNn 设 (1) (6)的各事件分别为61AA 则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(

11、3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm) 1(3mkmkANCm) 1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAPCh1-60例例5 5 “分房模型分房模型”的应用的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.解解为 n 个人的生日均不相同,这相当于A本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若 n = 64，每个盒子至多有一个球. 由例4（6）nnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP.997. 0)(APCh1-61解解.5040410A

12、n例例6 6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能15C而前三位数有 种取法,由于首位为零的四39A 位数有 种取法,所以有利于A发生的取1248C A229628143915ACACnA 法共有 种.904150402296)(APCh1-622121AAAAA解解nn9 设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积能被10整除”设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”A = A1 A2例例7 7 在1,2,3, ,9中重复

13、地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.2Ch1-63 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAPCh1-641o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型.3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.nn计算古典概率注意事项计算古典概率注意事项Ch1-65 若P(A) 0.01 , 则称A为小

14、概率事件.小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理( 即实际推断原理 )Ch1-66例例8 8 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的？解解 假定办公室每天都接待，则P( 9次来访都在周三、日) = = 0.00001279972这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的. Ch1-67 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意

15、,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家Ch1-68 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;Ch1-69 1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;Ch1-70 在动力系

16、统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数 ;60年代后又创立了信息算法理论;Ch1-71 1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德, .西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.Ch1-72 问问 题题 已知 P( A ) = P( B ) = P(C)

17、=1/4 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6 通过做此题 你能发现什么问题？ 第第 2 2 周周 则A,B,C 全不发生的概率为 . Ch1-73例例9 9 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(AP几何概型几何概型 (等可能概型的推广等可能概型的推广)Ch1-74几何概型几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(Ch1-75例例10 10 设两船到达同一码头的时间是随机

18、的且各不相干. 两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时, 试求一昼夜内, 任一船到达时, 需要等待空出码头的概率.解解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为 x 与 y ， 0 x 24 ， 0 y 24设 事件A 表示“任一船到达时需要等待空出码头”.Ch1-76xy2424y = xy = x + 1y = x - 2224S22222321AS1207. 01)(SSAPA240 ,240),(yxyx20, 10yxxy,),(),(yxyxACh1-77 用几何概型可以回答例用几何概型可以回答例 2 2 中中提出的提出的 “概率为概率为 1 1 的事件为什么的事件为什

19、么不一定发生不一定发生 ? ? ” 这一问题这一问题. .Ch1-78设试验为“ 随机地向边长为1 的0 1 x Y1 正方形内投点”. 事件A 为“点投11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件 A 未必一定发生.)(AP 求在黄、蓝两三角形内” , 如图如图，Ch1-79完全可加性完全可加性随机地向区间 ( 0 , 1 投掷一个质点，21,0令事件 A 为该质点落入区间, 2 , 1,21,211kkk 事件 Ak 为该质点落入区间1kkAA01（A(210(4121 (81( (附录附录Ch1-80, 2 , 1,21)(,21)(1kAPAPkk2121)(111kkkkAPCh1-81排列组合有关知识复习排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 niim1种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有 niim1种不同的方法Ch1-82排列排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一