北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学

1、第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则集合（ ）（A） （B） （C） （D）2.已知复数z满足，那么的虚部为（ ）（A） （B） （C） （D）3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，则（ ）（A） （B） （C） （D）4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） （A） （B） （C） （D）5.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）（A） （B）（C） （D）6.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）（A） （B）

2、 （C） （D）7.定义域为R的函数满足，且当时，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） 8.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：棱长为，故体对角线=，根据对称性，只需研究，函数的值域，连接，则面，此时，当时，截面周长为截面周长的一半，即，当时，即当截面过体对角线中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数的值域为.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长.第卷（共110分）二

3、、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数 _【答案】4【解析】试题分析：，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列满足，则公差_；_ 11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是_. （用数字作答）13.如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，则_；_14.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内

4、的点对应的象为点. （1）在映射的作用下，点的原象是 ；（2）由点所形成的平面区域的面积为_ 考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知函数，且的最小正周期为.（）若，求的值；（）求函数的单调增区间.16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示 （）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；（）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（）当时，分别从甲、乙两组中

5、各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望甲组乙组8901a822所以的数学期望考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.（）求证：AC平面BDEF；（）求直线DH与平面所成角的正弦值；（）求二面角的大小.又因为 平面，所以 . 因为 ，所以 平面. （）解：由（），得，.设平面的法向量为，所以 即令，得. 由平面，得平面的法向量为，则. 由图可知二面角为锐角，所以二面

6、角的大小为. 考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角.18.（本小题满分13分）已知函数，其中是自然对数的底数，.（）求函数的单调区间；（）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（）的单调减区间为；单调增区间为；（）详见解析.【解析】试题分析：（）求导得，因为，所以的解集为，即单调递增区间；的解集为，即单调递减区间；（）函数，令，得，显然是一个零点，记，求导得，易知时递减；时递增，故的最小值，又，故，即，所以函数的零点个数1个.试题解析：（）解：因为，所以 令，得当变化时，和的变化情况如下：故的单调减区间为；单调增区间为19.（本小题满分14分）已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.（）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；（）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.20.（本小题满分13分）设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（）若，求；（）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.（）证明：（）的充分必要条件为.【