单片机原理与应用第一章第二章

1、第一章第一章 线性代数方程组（消元法）线性代数方程组（消元法） 历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性代数方程组（代数方程组（1-1）的问题）的问题mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1-1） 我们就从消元法解最简单的二元线性代数方程我们就从消元法解最简单的二元线性代数方程开始讨论这一应用非常广泛的课题，开始讨论这一应用非常广泛的课题，从而看出研从而看出研究矩阵的必然性究矩阵的必然性第一节第一节 解线性代数方程组的消元法解线性代数方程组的消元法 一、二元线性代数方程组一、二元线性代数方

2、程组 在平面直角坐标中，二元线性方程的图像在平面直角坐标中，二元线性方程的图像（坐标能满足方程的点集）是条直线。（坐标能满足方程的点集）是条直线。 例如方程例如方程xyyx28 82 即即在将他的两个解在将他的两个解 及及 在坐标平面上用点表在坐标平面上用点表图图 1-11-1示后，连线既得此方程的图像（图示后，连线既得此方程的图像（图1-11-1）。）。 04 80 事实上，此直线上任意一点的坐标正是该方事实上，此直线上任意一点的坐标正是该方程的一个解，程的一个解，反之，以方程的任意一个解作为坐反之，以方程的任意一个解作为坐标，也正是这直线上的一个点。标，也正是这直线上的一个点。 这样从几何

3、上也这样从几何上也看出一个二元线性方程有无限多解的事实。看出一个二元线性方程有无限多解的事实。 在实际问题中常要对同时出现的若干个线性在实际问题中常要对同时出现的若干个线性方程作为一个整体来考虑，方程作为一个整体来考虑，需求出满足所有方程需求出满足所有方程的未知数，这就是解线性代数方程组。的未知数，这就是解线性代数方程组。例如将例如将4323 yxyx（1-21-2）（1-31-3）这两个方程作为整体来讨论，就成一这两个方程作为整体来讨论，就成一线性方程组线性方程组（system of linear equation）, （1-21-2）是方程组的第）是方程组的第一个方程，而（一个方程，而（1

4、-31-3）是第）是第2 2个方程，个方程，对于线性方对于线性方程组，其重要的求解方法是消元法，程组，其重要的求解方法是消元法，即通过对方即通过对方程组做同解变形（或称等价运算或变形），使各程组做同解变形（或称等价运算或变形），使各个方程变成分别各含一个未知数（也称变量），个方程变成分别各含一个未知数（也称变量），并能求出其值，从而得到整个方程并能求出其值，从而得到整个方程“组组”的解，的解，这个解当然地应该也是由数组表示的。这个解当然地应该也是由数组表示的。方程组的方程组的等价变形等价变形有一下三类：有一下三类：1.1.交换组内任意两个方程的次序（编号）；交换组内任意两个方程的次序（编号）；

5、( (交换交换) )2.2.任意一方程乘一非零常数；（任意一方程乘一非零常数；（数乘数乘）3.3.任意一方程经数量倍（即在两端乘同一常数）任意一方程经数量倍（即在两端乘同一常数） 后加到另一方程去。（后加到另一方程去。（倍加倍加）例例1 1 试用方程组等价变形法，解方程组试用方程组等价变形法，解方程组（1-21-2）（1-31-3） 4323 yxyx 线性代数方程组的解有三种可能的情形：线性代数方程组的解有三种可能的情形：具有确定的解；无解；或者有无限多个解。具有确定的解；无解；或者有无限多个解。例例2 2 试用方程组等价变形，解方程组试用方程组等价变形，解方程组（1-31-3）（1-41-

6、4） 264432 yxyx例例3 3 试用方程组等价变形，解方程组试用方程组等价变形，解方程组（1-31-3）（1-51-5） 864432 yxyx 如图如图1-2(a)1-2(a)、(b)(b)、(c)(c)分别显示例分别显示例1 1、2 2、3 3三个二元线性方程组解的三种状况之几何意义：三个二元线性方程组解的三种状况之几何意义：2x- -3y= - -4yxox+y=3(a)(a)一对相交直线有一对相交直线有 唯一公共点唯一公共点2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 2(b)(b)一对平行直线无一对平行直线无 公共点公共点2x- -3y= - -4yxo-4x+6y= 8(

7、c)(c)一对重合直线每一一对重合直线每一 点都是公共点点都是公共点图图 1-21-2二、高斯二、高斯- -若尔当消元法若尔当消元法 将未知数个数相等的多个线性方程看成一个将未知数个数相等的多个线性方程看成一个整体，称为整体，称为线性方程组线性方程组。 若一个方程组含有若一个方程组含有m个方程、个方程、n个未知数，个未知数，常简称为常简称为 m n方程组方程组。 m n方程组的解应是方程组的解应是n 维数组，将解数组各个分量依序代未知数时能维数组，将解数组各个分量依序代未知数时能使使 m 个方程全部成立。个方程全部成立。 回顾上一段，用三类等价运算解回顾上一段，用三类等价运算解2 22 2方程

8、组方程组的过程，这里是依照这样的目标进行的：的过程，这里是依照这样的目标进行的： 通过三类等价运算，先用第通过三类等价运算，先用第1个方程，将方个方程，将方程组第程组第1个未知数在各个方程中的系数变成只在个未知数在各个方程中的系数变成只在第第1个方程中成个方程中成1，其他方程中全为，其他方程中全为0； 再用第再用第2个个方程第方程第2个未知数在各个方程中的系数变成只在个未知数在各个方程中的系数变成只在第第2个方程中成个方程中成1，其他方程中全为，其他方程中全为0，如此等等。，如此等等。 由于整个过程只是通过方程组等价运算变各由于整个过程只是通过方程组等价运算变各个方程的系数，个方程的系数，为简

9、化计算，可省写未知数，用为简化计算，可省写未知数，用列表形式凸现其系数的变化过程。列表形式凸现其系数的变化过程。可将可将 的计算重现于下：的计算重现于下： 表表1给出的给出的 的原始方程组，的原始方程组，（row）是方程是方程 的系数，的系数，方程方程 的系数，的系数，方程右端的常数组成。方程右端的常数组成。r1 1是第是第1 1行行r2 2是第是第2 2行是行是而常数列（而常数列（column）由）由xy常数列常数列r1 1113r2 22-3-4表表1 1xy常数列常数列r1 1113r2 2 0-5-10表表2 2经等价运算经等价运算r1 1（-2-2）+ +r2 2，得，得经运算经运算

10、r2 2 （-1/5-1/5）得）得r1 1113r2 2012表表3 3经运算经运算r2 2 （-1-1）+ + r1 1 得得r1 1 101r2 2012表表4 4第第1 1个未知数个未知数 x 列的位置成列的位置成第第2 2个未知数个未知数 y 列的位置成列的位置成因原方程组与表四代表的方程组因原方程组与表四代表的方程组同解，同解，故这就是方程组的解，或者说此时常数列位置故这就是方程组的解，或者说此时常数列位置成为方程组的解成为方程组的解 21 这样求方程组解的方法称为这样求方程组解的方法称为消元法消元法(elimination)或一般称为或一般称为高斯高斯- -若尔当若尔当(Gaus

11、s-Jordan)消元法。消元法。 21yx 10 01 通过以上各例可看出通过以上各例可看出, 与与 22方程组一样，对方程组一样，对一般的一般的 mn 线性方程组，其解的情况也有三种：线性方程组，其解的情况也有三种：有有唯一唯一确定的确定的解解，有，有无限多个解无限多个解，或者，或者无解无解 , 三者三者必居其一。必居其一。 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211一、矩阵概念一、矩阵概念(2-1)(2-1)常用大写黑斜体字母常用大写黑斜体字母 如如A、B、C， 记之，记之，必要时也可以以下标来区别不同的矩阵，必要时也可以以下标来区别不同的矩阵，如如A1，A2， 1111nn

12、nnaaaa在书写矩阵时，也有将在书写矩阵时，也有将 的的矩阵写作矩阵写作 012425893421A这个这个a21 = 15， a33 = 14 在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，一在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，一般就不特别指所涉及矩阵的维，般就不特别指所涉及矩阵的维，而在必要时常用而在必要时常用nmnmAA 或或表明表明 A 是是 m=n 的情形，此时称之为的情形，此时称之为或或。 从矩阵的形状看，遇到最多的是在从矩阵的形状看，遇到最多的是在 中中.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA 另外，只有一列（即另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即）或一行（即m

13、= 1）的矩阵也常碰到）的矩阵也常碰到. 只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为(也称为也称为). 如如 A = ( a11 a12 a1n ).12111maaaB如如 只有一列的矩阵称为只有一列的矩阵称为(也称为也称为). 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其上（或右）方，就称为上（或右）方，就称为上三角上三角形矩形矩阵阵（upper triangular matrix）, 有时用有时用 U 或或 R ( right ) 表示。表示。如：如： 00002130030704125U 是是 4 阶上三角阵。阶上三角阵。 值得注意的是，对角线下（或左）方的元

14、必为零，值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零， 而其他元可以是零也可以不是零。而其他元可以是零也可以不是零。 相反，非零元只出现在对角线及其下（或左）相反，非零元只出现在对角线及其下（或左）方的方阵为方的方阵为下三角下三角形矩形矩阵阵(lower triangular matrix)记作记作 L ( left ).如如 1513012001L是个是个 3 阶下三角阵阶下三角阵一般而言，对一般而言，对n阶矩阵阶矩阵A=aij，当且仅当，当且仅当 ij 且且aij =0时时A为上三角阵；为上三角阵；而当且仅当而当且仅当 i j 且且aij = 0 时时A为下三角阵；为下三角阵；矩矩阵（阵（d

15、iagonal matrix）,一个既是上三角又是下三角的矩阵称为一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角对角 亦即对角阵是非零元亦即对角阵是非零元只能在主对角线上出现的方阵只能在主对角线上出现的方阵.如如 4000300012D是个是个 3 阶的对角阵阶的对角阵.显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，故常将这对角阵记作故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) . 而而 diag (1 ,2 ,n ) 表示一组对角元分表示一组对角元分别为别为1 ,2 ,n的的 n 阶对角阵，阶对角阵，详细写出就是详细写出就是当然允许某些当然允许某些

16、 等于零。等于零。（2-42-4）ndiagd dd dd d),( nd dd dd d0000002121def量量 时称为时称为标量标量矩矩阵阵(scalar matrix) ,当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常 特别称特别称=1 的标量矩阵为的标量矩阵为单位单位矩矩阵阵, 或称或称幺幺矩矩阵阵(identity matrix),以以 I 或或 E 来记。来记。必要时在其下角标明阶数，必要时在其下角标明阶数， 如如 1000100013I（2-42-4 ） 在对许多实际问题作数学描述时，都要用到在对许多实际问题作数学描述时，都要用到矩阵的概念，矩

17、阵的概念，这里讨论几个简单的例子。这里讨论几个简单的例子。例例1 （通路矩阵）（通路矩阵） a 省两个城市省两个城市 a1 , a2 和和 b 省省 三个城市三个城市 b1, b2, b3 的交通联结情况如图的交通联结情况如图2-1所示，所示，每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路总数。总数。由该图提供的通路信息，可用矩阵形式由该图提供的通路信息，可用矩阵形式表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与利用这些信息。利用这些信息。a1a2b1b2b341322现有现有 220314Ca1a2b1b2b3通路矩阵通路矩

18、阵 C 的行表示的行表示 a 省的城市，省的城市， 列是列是 b 省的省的而而 cij 表示表示 ai 与与 bj 间的通路数。间的通路数。 工厂中常用管道联结各种设备，于是也可工厂中常用管道联结各种设备，于是也可用一矩阵表明各设备间的连通情况用一矩阵表明各设备间的连通情况.图图 2-12-1城市，城市，例例2 （价格矩阵）（价格矩阵） 四种食品（四种食品（food）在三家商店）在三家商店 （shop）中，单位量的售价可用以下矩阵给出：）中，单位量的售价可用以下矩阵给出： 191581819139152111717F1F2F3F4S1S2S3（2-52-5）这里的行表示商店，这里的行表示商店，

19、列为食品，列为食品，分量就是第分量就是第 2 种食品在种食品在 3 家商店中的家商店中的 3 个售价。个售价。例如第例如第 2 列列 3 个个在定义矩阵运算之前，先规定矩阵相等的含义。 这就是说两个行、列数分别相同且有同样位置的元全都对应相等的矩阵是相等的。 可以看出，引进矩阵记号可简化表达，用一个矩阵等式可表达很多个数量等式。 mnmnaaaaA1111 mnmndefaaaaA 1111 则例如 若 1086284A则 54314221A 302416624123A即 ijijdefijijbabaBA 975345321222654123 1046238812例如定义中蕴含了只有同维矩阵

20、才能相加的条件，故在认为记号“A + B ”有意义时，即已承认了与 B 是同维的事实.把矩阵 与 B之差 A BA +（-1）B式中当然认为是先进行数乘运算（-1）B 333101321222654123321222654123把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O则对任意一矩阵A，有A= A+O = O+A以及AA= A+ (1)A= O若用 A 表示 A 的加法逆，则A= (1)A 常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。 1350610k的形式，这样做将有利于理解解的“结构”利用线性运算可将上章 的解表示成显然 AT 是 n m 矩阵，例如10288641086284T例 2 （续） 若欲购买

21、第 i 种食品 xi 个单位， ( i=1，2，3，4) , 432143214321191581819139152111717xxxxxxxxxxxx 可表示成一个 3 维的总价向量 432143214321191581819139152111717xxxxxxxxxxxxx = x1, x2, x3, x4T ，则购买的食品量可表成向量同的商店购买而不同，所需的总价当然随着在不总价：故可算得 3 个不相同的由于总价应该是单价与购买量之积.这样，与需购向量的乘积. 4321432143214321191581819139152111717191581819139152111717xxxxxx

22、xxxxxxxxxx 从矩阵运算角度来看，这里是 34 矩阵与41 矩阵做“乘法”，结果是个 31 矩阵。自然可把这总价向量看作是单价矩阵考察了这两个例子后，现在正式定义矩阵乘法为元的 （2-7）nkjkikdefbaAB1nkkjikjibac1 AB 的 i j 元是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应位置元的乘积之和（简称为 A 第 i 行与 B 第 j 列之积）， msmjmisijisjnsnjnsjsjmnmminiincccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaa111111122211111212111211 称为确定矩阵乘积 AB 元的. nkkjikjibac

23、1借下式=（2-8）可帮助记忆怎样确定乘积 AB 之维的关系。列数与 B 的行数相等时，乘积 AB 有定义， 类似地，可规定A自右乘 B 的规则， 从 及（2-8）可见，当且仅当 A 的是 A 可自左乘 B 的。这就并得到A 可自右乘 B 的条件，即记号 BA 有意义的条件是 B 的列数与 A 的行数相等.nmA snB smC 例 6 设 635421 ,2143BA这时 A 左乘 B 不可能，因为 A 的列数是 2 而 B的行数是 3 , 两者不相等.然而 A 右乘 B(即 B 左乘 A) 却是可以的 , 2143635421BA 按 , A右乘 B 得到的 BA是个32矩阵2，因为 B

24、的列数与 A 的行数均为2415261785264316332544153422411231例 6 设 2211 ,0011BA2211 ,0033BAAB则根据 ， AB与 BA都是存在的，有 这里可以看到矩阵乘法的一个必须注意的特点：一般不满足交换律.亦即AB与BA可以不必相等，甚至这两者可以不必皆有意义，或未必有相同的维. 今后，特别Ak AA A k 个自乘若干次的情形，使用幂指数的记号是即合理又可带来便利的.若 k 是个正整数 ，定义（规定 A0 = I ）从这个定义可看出成立指数律：AkAl = Ak + l 但是对于两个同阶方阵 A, B 而言，(A+B)2与 A2+2AB+B2

25、 当且仅当 A、B 可交换相乘时才相等。在一个方阵由于矩阵乘法是满足结合律的， （线性代数方程组）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （2-12）系数构成的 mn 矩阵 A = , 称为系数矩阵,n 维的未知数向量 x = 以及m维的自由项（或右端项） b = ,利用矩阵乘法及矩阵相等的规定，线性代数方程组对此方程组，引进由方程组 的Ax = b( 2-12)可被表示成等价的矩阵形式：Tmbbb 21Tnxxx 21 在数学运算中，数在数学运算中，数 b 除以非零数除以非零数 a 的运算的运算可用乘法表出为可用乘法表出为aba

26、b1其中非零数的其中非零数的“倒数倒数”（乘法逆）（乘法逆） 可用可用式式111aaaa定义。定义。受此启发，对方阵的情形，就从讨论类受此启发，对方阵的情形，就从讨论类似的等式出发，建立可逆矩阵的概念。似的等式出发，建立可逆矩阵的概念。a1的做法，姑且称之为单位阵技巧，的做法，姑且称之为单位阵技巧， 在证明过程中巧用在证明过程中巧用 及及阵等式中常用的一种技巧阵等式中常用的一种技巧.这是在证明矩这是在证明矩而称不存在逆阵的方阵为而称不存在逆阵的方阵为退化退化矩矩阵阵或或奇异奇异矩矩阵阵.这样，根据定义可容易地推知，这样，根据定义可容易地推知，单位阵必为单位阵必为可逆阵，且其逆阵即为自身可逆阵，

27、且其逆阵即为自身 由于可逆矩阵由于可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一确定的，的逆矩阵是唯一确定的，故可用确定的符号记之为故可用确定的符号记之为 A-1 ，有，有(2-13 ) 试证对角阵试证对角阵是可逆矩阵，并求出是可逆矩阵，并求出 100040002A 利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程组的解组的解 . 事实上事实上 , 对对 nn （即（即 n个个n 元）线性代元）线性代数方程组数方程组Ax = b当当 A 是可逆矩阵时，可表出其解为是可逆矩阵时，可表出其解为 x = b ，这是因为由这是因为由 A 为可逆阵，可知为可逆阵，可知 同时同时左左乘方程的两边

28、，乘方程的两边， Ax = b即即 x = b 可得可得可逆矩阵有以下两定理表示的性质可逆矩阵有以下两定理表示的性质 )0.(1)(11 kAkkA （2- -14）一个给定的矩阵一个给定的矩阵 A，可在行间做水平，可在行间做水平虚虚线，线，或（及）在列间作铅垂或（及）在列间作铅垂虚虚线，线，把矩阵划分成一把矩阵划分成一些块，称为对矩阵些块，称为对矩阵 A 的的. 例如下面（例如下面（2- -17）中的）中的 35 矩阵，被所示矩阵，被所示的虚线分成了四块：的虚线分成了四块： 对一种特定的分块方式，为指明其各元块的对一种特定的分块方式，为指明其各元块的维，维， 可如上式右端那样标示，可如上式右

29、端那样标示，的矩阵等等的矩阵等等. 将矩阵适当地分块是种技术，将矩阵适当地分块是种技术，这样做，有时这样做，有时411750341253201A3221（2- -17）22211211AAAA得以看出得以看出 A11 是是238100000420000005000000214000743000621A适当分块后，可被看成是个适当分块后，可被看成是个“对角阵对角阵”可利于凸现出蕴含的某种简单结构，可利于凸现出蕴含的某种简单结构，如对如对从而有可能从而有可能利用已知的性质，简化运算与讨论利用已知的性质，简化运算与讨论.其中其中21474362111A 522A8104233A称形如（称形如（2-1

30、8）的分块矩阵为）的分块矩阵为或或.332211AOOOAOOOAA（2- -18）对矩阵按列分块，是一种技术也是一种看法对矩阵按列分块，是一种技术也是一种看法,有了这种技术使线性代数方程、矩阵、向量有了这种技术使线性代数方程、矩阵、向量空空间间三者将交织在一起互动地发展，三者将交织在一起互动地发展，这对理解或解释这对理解或解释线性代数的有关概念和问题常是有帮助的线性代数的有关概念和问题常是有帮助的.若在矩阵的列间引入虚线按列分块，如若在矩阵的列间引入虚线按列分块，如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.21naaa其中其中 aj 是是 A 的第的第 j 列，列， .这样这

31、样 A 被看作是以向量为元的行向量，被看作是以向量为元的行向量，有时也要用到按列分块有时也要用到按列分块.Tmjjjjaaaa 21mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211maaa21 其中带上标的小写黑体字母表示行向量，其中带上标的小写黑体字母表示行向量， a i 是是 A 的第的第 i 行，行， .21iniiaaaai如如 对给定的对给定的 m n 矩阵矩阵 A，取其，取其 r 行行 ( 1 r m ) s 列列 ( 1 s n ) ,则位于交叉位置的个则位于交叉位置的个 rs个元可按照原来的相对位置构成一个个元可按照原来的相对位置构成一个r s 矩阵，矩阵，称这样的矩阵

32、为称这样的矩阵为 A 的的.例如例如4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA若取其第若取其第2、4行及第行及第2、3、5 列可得列可得 2 3 子矩阵子矩阵 .454342252322aaaaaaS 一个矩阵可以有很多子矩阵，一个矩阵可以有很多子矩阵，得到的每个块都可看作是所给矩阵的一个子矩阵得到的每个块都可看作是所给矩阵的一个子矩阵.在分块技术中在分块技术中而且每个矩阵也可看作是自身的一个特殊的子矩阵而且每个矩阵也可看作是自身的一个特殊的子矩阵 矩阵的初等变换起源于解线性方程组的3类同解变形. 利用初等变换将矩

33、阵 A 化成形状“简单”的的矩阵 B ，以通过 B 探讨或解决与 A 有关的问题或某些性质是讨论矩阵问题的常用方法.( )1101111011ijijCR第 i 行第 j 行1111)()(iiCR第 i 行11( )( )11ijjiR kCkk第 i 行第 j 行 m n m n )()( , )1()( , 111kRkRRRRRijijiiijij)()( , )1()( , 111kCkCCCRCijijiiijij (2-19)(2-19) 利用初等变换可容易证得下面的定理 m n m n OOOIrm n OOOICCACRRRrls2112 (2-21)m n 是等价 ( 或相

34、抵 ) 矩阵 (equivalent matrix)OOOINr若记 中的 m n 矩阵为NOOOICCACRRRrls2112其其 中中其其 中中r r 是是 个个 随随是是 个个 随随A A 而而 定定 的的 不不 超超 过过而而 定定 的的 不不 超超 过过m in ( m in ( m m , , n n ) ) 的的 非非的的 非非负负 整整 数数 ，负负 整整 数数 ， 并并 约约 定定 当当并并 约约 定定 当当r r = 0 = 0 时时 ，时时 ， I I0 0为为 零零 矩矩 阵阵为为 零零 矩矩 阵阵 . .(2 - - 2 1 )定定 理理定定 理理 1 01 0对对

35、任任 一一对对 任任 一一m n 矩矩 阵阵矩矩 阵阵A A, , 必必 可可 经经 过过 有有 限限 次次 初初必必 可可 经经 过过 有有 限限 次次 初初等等 变变 换换 ， 化化 成成 如如 下下 形形 式式 的的等等 变变 换换 ， 化化 成成 如如 下下 形形 式式 的的m n 矩矩 阵阵 ：矩矩 阵阵 ：OOOIr亦亦 即即 ， 对对 任任 一一亦亦 即即 ， 对对 任任 一一m n 矩矩 阵阵矩矩 阵阵A A 必必 可可 找找 到到 初初 等等 阵阵必必 可可 找找 到到 初初 等等 阵阵R R1 1, , R R2 2, , , , R Rs s及及及及 C C1 1, , C C2 2, , , , C Cl l， 使使使使称 N 为 A 的等价标准形，则 说明每个定定理理定定理理1 01 0对对任任一一对对任任一一m n矩矩阵阵矩矩阵阵A A, , 必