求点到平面距离的基本方法

1、求点到平面距离的根本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个根本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种根本方法例 2005年福建高考题如图1,直二面角D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点，且BF 平面ACE .I 求证：AE 平面BCE ;n 求二面角B AC E的大小；川求点D到平面ACE的距离DBI、n解略，川解如下:一、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图2,Al , AM l，那么AM.AM为点A到平面 的距离.图2解：如图3,过

2、点A作AG EC ,连结DG,CG，那么平面ADG /平面BCE，平面BCE 平面ACE ,平面ADG 平面ACE ,作DH AG,垂足为H，贝U DH 平面ACE. DH是点D到平面ACE的距离.在 Rt ADG 中，DHAD DG 222 3AGJ63CB、平行线法如图4, A 1,1 / ,B为I上任意一点，AM , BN ，那么AM BN .点A到平面 的距离转化为平行于平面的直线I到平面 的距离，再转化为直线I上任意一点B到平面 的距离解：如图5,过点D作DM AE，连结CM，那么DM /平面ACE ,点D到平面ACE的距离转化为直线 DM到平面ACE的距离，再转化为点 M到平面AC

3、E的距离.作MN CE,垂足为N，平面CEM 平面ACE， MN 平面 ACE， MN是点M到平面ACE的距离.在 RtCEM 中，MN 先E2_3.DB三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离.如图6、AO7, l O, A,B l , AM ,BN ，假设t,那么 AM t BN .点 A 到平面BO的距离转化为求直线l上的点B到平面 的距离.解：如图8，BD与AC的交点为Q，即BD 平面ACE Q ,/ DQ BQ ,点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.平面BCE 平面ACE , BF 平面ACE , BF是点B到平面ACE的距离.在 Rt B

4、CE 中, BFBC BE 2 、 22_3CE 飞 3四、线面角法如图9, OP为平面 的一条斜线，A OP , OA l , OP与 所成的角为, A到平面 的距离为d，那么由斜线和平面所成的角的定义可知，有 d Isin .经过OP与 垂直的平面与 相交，交线与0P所成的锐角就是0P与 所成 的角，这里并不强求要作出A在 上的射影B，连结OB得.解：如图10BF 平面ACE，平面BDF 平面ACE，BQF为DQ与平面ACE所成的角为 ，那么点D到平面ACE的距离d DQ sin由(n )知二面角B AC E的正弦值为丄6，得sin 6 .33 D到平面ACE的距离d 2 .B图10五、二

5、面角法如图11,l ,、 所成二面角的大小为 ，A , AB l , AB a,点A到平面 的距离AO d，那么有d as in .也就是二面角的大小，而不强 求作出经过AB的二面角的平面角.解：女口图 12, 平面 ACD 平面 ACE AC , DQ 平面 ACD , DQ AC ,- 63设二面角D AC E的大小为 ，那么点D到平面ACE的距离d DQ sin .由(n )知二面角B AC E的正弦值为上6，得sin3 D到平面ACE的距离d 2 6六、体积法B解：如图13，过点E作EOAB交 AB 于点 0,0E1.二面角D AB E为直二面角, E0 丄平面 ABCD.设D到平面A

6、CE的距离为h，VdACE VE ACD，1 1 3S ACE h 3S ACD E.AE 平面BCE AE EC .1AD DC EOh AE EC2丄22-2 62273点D到平面ACE的距离为厶3BE图13七、向量法解：如图14,以线段AB的中点为原点O, 0E所在直线为x轴，AB所在O xyz，直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系AE 平面BCE，BE 平面BCE , AE BE，在Rt AEB中,AB 2,0为AB的中点， 0E 1, A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE (1,1,0), AC (0,2,2).设平面ACE的一个法向量为n (x, y,z)，AE nAC n0,即 x y o,0, 2y 2z 0.解得| |AD n|n|x,x.令x 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一个法向量.ADz AD 2 AD (0,0,2) ACE d |