三元线性方程组的几何解法

1、三元线性方程组的几何解法任春丽，王金金(西安电子科技大学理学院数学系，陕西西安710071 )l3x 6y -3z=8(1) _x -2y z =3 二2(三个平面)：3线性方程组是线性代数中重要的内容，其 解的结构在线性代数课程中已通过向量及矩阵 理论讨论的非常清楚，但在教材中很少提及几何 意义.由于三元线性方程表示空间中的平面，因此，通过平面图形之间的位置关系求解线性方程 组，不仅形象、直观，而且为从三维空间抽象的 代数问题推广到 n维空间奠定了基础。文献2 用矩阵的秩判别了空间中平面、直线之间的位置 关系；相反的，本文利用空间中平面、直线之间的位置关系讨论了三元线性方程组解的情况，并举例

2、说明。1 两个方程的三元线性方程组设方程组(I ):Ax By CiZ = D -：!卄人.y 111(两个平面)A2x B2y C2z = D2 二2讨论：令:i=(Ai，Bi，Ci，Di) (i =1,2),n i=(A, Bi, Ci) (i =1,2)(1)若:宀，即二旦= _D!，则A2B2 C2D2二1与二2重合，方程组(I )有无穷多解；(2)若 nj/n?,冷-：迈，即=旦严D1 , A? B2C2D?则二1与二2平行但不重合，方程组(I )无解；若山/门2,则二1与二2相交，方程组(I)有无穷多解，其解为相交直线上的所有点。 例1 求解下列线性方程组 x 2yz=7j2x +

3、 y + z = 4解(1)因为-63=8,所以两个平-1-213面平行但不重合，故方程组无解；(2)因为 m 化=(1,2, _1) (2,1,1) = (3,1,5) = 0,所以两个平面相交于直线L,故方程组有无穷多解。又点(1,4,2)在L上，故直线L的参数方程1 x = 1 3t,I为：y = 4 t,即是方程组的通解。z = 2 5t.2 三个方程的三元线性方程组 设方程组(n )：Ax +By +Gz = D1Ax b y C2 z = D2Asx B3y C3Z = D3讨论：令 Ofi=(Ai,B,Ci,Di) (i =1,2,3),n(A,Bi,G) (i =1,2,3)。

4、(1)若i(i =123)中至少有两个平行，贝U至 少有两个平面重合，其解的讨论同第1 目;若ni(i = 1,2,3)中至少有两个平行，但相应的i .j (i = j)，则至少有两个平面平行但 不重合，方程组(n)无解；(3)若ni/ nj(i = j),则三个平面两两相交， 方程组(n)可能有解，也可能无解。进一步：求, = X0+mt,出二1与二2的交线L的参数式方程：y = y. nt,Z=z。. pt.如果L二3，但点(x0,y,z0)不在二3上，则方程组(n)无解；如果L/二3，且点(x0,y0,z0)在二3 上,则方程组(n)有无穷多解，其解为直线 上的所有点；如果 L/二3，贝

5、U L与二3相交，方 程组(n )有唯一解，即L与二3的交点。 - y = -1，例2求解线性方程组2x-z=0,J2x y z = 6.解显然n / nj,又兀!与兀2的交线L的方向 向量 5=552 =(1,1,0)2,0, 1)=(1,1,2)，x =2+t,点(2,3,4)在L上，所以L的方程：y =3弋|z = 4 2t.代入平面7：3得：t二-1，故方程组的解为(1,2,2)。/.x y z _ - 3,I例3设线性方程组x r，y z = -2,讨X y - ,；”z = -2.论：取何值时方程组无解，有无穷多解，有唯一解？解 显然=1时，三个平面 .(i =1,2,3)重合，方

6、程组有无穷多解；当，=1时,二曲=1,2,3)互不平行，故两 两相交。设二2与二3的交线为L ,则方向向量 s =(1, ,1) (1,1, ) =C T) 1,T,T)=0。若 L / ：，贝U S 0=0，即 2+ 2=0 , 解得 -2，彊-1(舍去)，这时方程组无解； 若 L/ :1，则2+ 2=0,得 二 一 2 , =1 , 这时方程组有唯一解。综上讨论：=2时，方程组无解； = -2 , =1时，方程组有唯一解；=1时，方程组有无穷多解。3 .四个方程的三元线性方程组设方程组(川):Ax By CiZ = D A2x By C2z = D2 :2y 22(四个平面)Aax B3y

7、 C3Z3 二3IA4x B4 y C4 z = D4 : 4讨论：令 i=(Ai,B,Ci,Di) (i =1,2,3,4),m=(A, Bi, G) (i =1,2,3,4).(1)若:曲=1,2,3,4)中至少有两个平行，则 至少有两个平面重合，其解的讨论同第1目或第2 目;若m(i =1,2,3,4)中至少有两个平行，但相应的G i / G j (式j )，则至少有两个平面平 行，方程组(川)无解；(3)若ni / nj(i = j),则四个平面两两相交。求出二1与二2的交线L，二3与二4的交线L2。进 一步讨论：如果L1/L2，但不重合，则方程组(川)无解； 如果L1 /L2，并且重合，则方程组(川)有无穷多 解，其解为直线上的所有点；如果L1 / L2，且两直线共面(即相交)，方程组(川)有唯一解， 否则，两直线异面(即不相交)，方程组(川)无 解。x +2y _ z = 7,2x + v + z = 7例4确定方程组解的j3x + 6y_3z = 8,2xyz 二 0个数。解 显然二1 /.二2,故相交于直线L1，方向向量 S1 = n 亚=(3,1,5)，并过点 M (1,5,4)；二34,故相交于直线L2 ,方向向量q =也汉也=,(3,1,5)。所以L1/L2,又点M 不在L2上，故方程组无解。通过文中的讨论及举例看到， 三元线性