对数学中考应用性问题的粗略探究总结

1、2012年中考数学复习策略策略一：关注数学本质，提高中考总复习效率数学本质是数学的灵魂,是数学教育追求的核心目标,是课程标准所倡导的“课程基本理念”中的重要内容,自然也是中考所重点考查的主要目标.传统数学考试注重对知识的单纯形式化记忆的考查,过分地着眼于形式和机械化的操作,使得我们的教学行为与思想观念上沉积了太多的铅华，这些偏离新程理念的教学方式很大程度上弱化了学生对数学本质的理解，且长期左右着学生数学学习的兴趣和潜能的发挥. 新课程以来的中考则更强调体现数学本质的考查,使学生既能熟练、准确地用形式化语言来表述数学内容并解决数学问题,又能做到对数学过程与本质的理解,已成为中考命题的重要课题.在

2、中考总复习中，关注数学本质是极为重要的问题，只是总复习的教学内容和采取的方法策略与平常的教学略有不同而已.总复习课同样需要有“数学味”，既使课堂深入数学本质，又精练高效。从这个角度提高数学中考复习课的效率不仅是个十分值得探讨的问题，而且显得更为重要而迫切。一、中考数学考查的本质内容 中考作为初中义务教育阶段的终结性考试,其本质上是“全面、准确地反映初中毕业生在学科学习方面所达到的水平；旨在全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。”因此，中考首先突出的是基础性，即重点考查初中数学教学内容中的基础与本质内容。初中数学主要由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块内容

3、组成（来自数学课程标准（修改稿），某种程度上，对于这些内容的本质认识左右着我们在中考复习中，能否正确把握中考命题方向，决定我们了应当选取哪些复习内容、精选讲解与训练哪些试题，甚至采取怎样的复习方法等。就中考试题而言，数学的本质首先体现在所考查的数学的核心概念和思想方法。新课下的历年中考试题大都围绕数与式的运算和化简、解方程与不等式、概率初步等内容展开，同时将归纳、演绎以及观察、试验、特殊化等数学思维方法，以及等价转化的思想、函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等作为数学本质的内容蕴含在试题中。二、对本质内容考查的试题例析 怎样的试题能突出了对数学本质内容的考查？以下从考查“双基”、考

4、查数学思想方法、考查核心知识与能力，及探索型等综合型试题三大类题型进行简要分析。 （一）、对 “双基”内容的考查例析题1、（2009 第1题）的绝对值是（ ）a b cd 题2、（2011 第2题）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人这个数据可以用科学记数法表示为（） a.4.456107人 b.4.456106人 c.4456104人 d.4.456103人 题3 、(2011 第4题)下列运算正确的是（ ）.a.a+b=ab b. a2a3=a5 c.a2+2abb2=(ab)2 d.3a2a=1题4 、(2010 第9题)因式分解：2a28 题5

5、、(2011 第17题)先化简，再求值，其中.从以上示例可看出，中考对“双基”的考查方式是基础与核心并重，其题型一般是客观题，及放在较前位置的解答题，形式与教材上的例习题一致。因此，我们提倡在“双基”复习时，要做到如下几点：（1）回归课本，加强“双基”教学，全面系统复习基础知识。这是对复习基本方式的一个基本定位，提倡的是关注中考试题60%左右的基础、常规题，以及中一些中档题、综合性试题的第一问，大约近20分的分值。要力求避免的是，丢开教材，依赖于一本资料。一般多数资料条理性强，突出中考考点，且能精选近年中考试题，用起来的确方便，但为减少篇幅，一般起点较高，所选试题多数偏重综合性，知识点的归纳极

6、其精要，不可能再现基础知识的形成过程，面向的是城区的中等以上学生，不适应基础较弱、理解力较差、思维常跟不上，容易“断电”和有知识缺陷的学生。（2）精选精编试题，巧妙编排，以点带面，讲练结合。提倡按每节课内容知识形成的顺序，从最基本的小题出发，逐步变式，按知识网络一一牵出知识，融知识点的复习归纳与应用于一身。题量依学生基础的不同而略有增减，步步为营,层层递进，讲练结合,既再现知识的形成过程，又逐步加深对知识的理解，且形成知识网络，一举数得。 （二）、对数学思想方法的考查 （1）、数学思想方法考查举例题1（2010 第14题）如图所示，半圆ab平移到半圆cd的位置时所扫过的面积为_ 题2 （201

7、1 第14题）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 题3 （2011 第24）将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为m，与x轴的交点从左到右依次为a，b；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为n，与x轴交点从左到右依次为d，e；当b，d是线段ae的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点a，n，e，m为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；

8、若不存在，请说明理由.yxo备用图yxoc1c2 本例题1意在考查转化化归思想,题2重在考查函数思想,题4意在考查在规律探索中考查分类讨论与方程思想.这些试题构建问题简明、自然，涉及的知识都是主干核心知识，运算解决问题过程并不复杂，重在分析能力与数学思想方法的灵活应用。题3更是由已知简单的抛物线分别进行轴对称变换得到两个抛物线、再将两个抛物线分别向左右平移变换，入手易，层次分明，问题的形成自然。从新的角度考查了方程思想、分类讨论思想。在平移的动态变化中，通过设置问题：“当b，d是线段ae的三等分点时，求m的值”，产生出问题的多样性，有效地考查了分别讨论思想，学生在此处只有具备较好的数学素养，通

9、过画图数形结合地分析，较全面、严密的思维能力才能发现问题要从两种情况进行讨论求解。在求解的过程中，又要建立方程模型，这样同时考查了数形结合、分类讨论和方程思想，而且对于特殊四边形、勾股定理等空间与图形核心内容进行了有效考查。（2）、初中数学思想方法的要点数学思想方法是数学本质内容之一。初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等。转化的思想方法：就是人们将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简

10、、化难为易,化未知为已知等,它是解决问题的一种最基本的思想方法。数形结合的思想方法：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式,“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系,以形直观地表达数,以数精确地研究形。函数与方程的思想方法：是客观世界中事物运动变化,相互联系,相互制约的普遍规律在数学中的反映,它的本质是变量之间的对应。用变化的观点,把所研究的数量关系,用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。如果函数的形式是用解析式的方法表示出来的,那么就可以把函数解析式看作方程,通过解

11、方程和对方程的研究,使问题得到解决,这就是方程的思想。在初中数学教材中,其它的思想方法都是隐藏在数学知识里,没有单独提出来,而函数与方程的思想方法,其内容和名称形式一致,单独作为章节系统学习。 分类讨论的思想方法：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现。具体来说,实数的分类,方程的分类、三角形的分类,函数的分类等,都是分类思想的具体体现。（3）、复习建议、全面把握整个中考命题范围内

12、的有关数学思想方法的知识内容。如转化思想方法涉及的主要内容：代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,换元法解方程,解二元一次方程组时，经消元后转化为解一元一次方程，几何中添加辅助线等等,都体现出转化的思想方法。初中数学中涉及分类讨论的主要内容：代数中的含字母的式子的绝对值、方程的概念、分式方程的根、一元二次方程的根的情况、函数的定义、坐标系中点的位置的讨论等；几何中的图形之间位置的讨论（如点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系）、未明确对应关系或不提供图形的图形求解问题等。以及还有一些创新发生性的其他问题都有可能涉及分类讨论思想。、在相关内容复习时，选取典型例题穿插进行训练。如分类讨论思想方法

13、的训练,在数与式的内容中可选取如下试题:1、若分式的值为零，则x等于（ ）a.2 b.-2 c. d.02、在数轴上,若点m表示的数是1,点n表示的数是x,两点之间的距离是5,则x的值为 .3、（2010 云南红河）如果 与是同类项,则m与n的值为( )a.3和-2 b.-3和2 c.3和2 d.-3和-24、（2010江苏淮安）下面四个数中与最接近的数是( ) a2 b3 c4 d5实际上,在初中数学的各板块内容中,蕴含着丰富的数学思想方法问题,在一些知识的交汇处,也可创新设计出不少有关数学思想方法的应用的试题.对于这些试题,在复习中要分类穿插渗透在训练题中. (三)、探索题等综合型试题例析

14、（1）、探索性等综合试题考查举例 题1 、（2009 第23题） 问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与0相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线

15、段的影长；需要时可采用等式）.ghne156cmmeoe200cm图3ke题1图题2 、（2010 第23题）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2当伞收紧时，点p与点a重合；当伞慢慢撑开时，动点p由a向b移动；当点p到达b时，伞张得最开已知伞在撑开的过程中，总有pm=pn=cm=cn=60分米，ce=cf=18.0分米，bc=20分米设ap=x分米（1）求x的取值范围；（2）若cpn=60，求x的值；（3）设阳光直射时，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留） 题3 、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设bac=（090）.现把小棒依次摆放在两射线

16、之间，并使小棒两端分别落在射线ab，ac上.活动一： 如图甲所示，从点a1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （a1a2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)（2）设aa1=a1a2=a2a3=1.=_度；若记小棒a2n-1a2n的长度为an（n为正整数，如a1a2=a1，a3a4=a2，）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.a1a2abca3a4a5a6a1a2a3图甲 活动二：如图乙所示，从点a1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中a1a2为第一根小棒，且a1a2=aa1.数学思考：（3）若已经摆放了

17、3根小棒，则1 =_，2=_， 3=_；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.本例题1既是课题学习题，又是操作型试题，以三种有内在联系的测量问题为背景，有效地考查了投影、三角形相似和圆的性质，以及数据处理能力、动手操作能力和分析解决实际问题的能力，从题中似乎可感受到学校学习研究之风的浓厚和校园文化之美；题2直接取材于街头常见的遮阳伞，将其数学化，试题配以文字，同时展示原景与抽象后的几何图形，图文并茂，考查了心智操作中综合利用菱形、相似形，方程解决问题的能力，更为重要的是考查学生数学的应用意识，体会生活中的数学无所不在；情景题3的摆小棒中学生基本经历过中的游戏中，探索规律，体会

18、数学知识的形成过程，在层层深入的活动中不断深化数学思考，培养学生良好的数学应用意识和在玩中用数学，发展思维、体验数学有用、有趣、有意义。 (2)、复习建议 在复习中，如果只停留在知识形成网络，还远远不够，要想挑战优异的成绩，还在于提高综合利用知识分析解决问题的能力。因此，我们要做到选题抓住核心内容，从训练思维的有序性切入，逐步提升学生的思维水平，这是复习课的难点也是关键点。 由于初中生年龄特点及认知水平的限制，多数学生表现出思维的无序性，停留在就题论题的阶段，缺乏深入思考。因此，在选取综合性试题时，既有考虑试题突出核心内容与重要思想方法的考查，又要在讲解中把自己猜测、推理的心理活动揭示给学生，

19、又要给学生思考的空间和机会，以暴露学生的思维过程，这样才能逐步使学生的思考问题的方式变无序为有序，变偶然为必然，达到提高学生的逻辑思维水平和认知能力的目的，实现对知识的掌握深入本质，数学思想方法的运用的有质的飞跃。如探索性试题的复习中，以考查二次函数为主的探索性试题是必选的。二次函数是整个初中教学内容的核心，命题创新空间大，如果将代数与几何分别比作“长江”与黄河，那么二次函数就是它们奔腾交汇一起注入的大海，二次函数的特点使得初中学生的所有重要内容很容易联系在一起，成为学生能力水平得以展示的广阔天空与海洋。因各省市中考命题皆比较青睐，二次函数的探索性试题常用为压轴题。例4 （2011北京）在平面

20、直角坐标系xoy中，二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c（1）求点a的坐标；（2）当abc=45时，求m的值；（3）已知一次函数y=kx+b，点p（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点p垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点m，交二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象于n若只有当2n2时，点m位于点n的上方，求这个一次函数的解析式本题将二次函数与含字母的一元二次方程的解法，解直角三角形，方程组与不等式，数形结合与转化化归思想等内容综合在一起，在考查一次函数与二次函数的关系角度新，揭示了两种函数、及二次函数

21、与一元二次方程的本质联系。但在讲解此题时，可先复习怎样求一个二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式需要什么条件等，为解决问题进行铺垫，同时体现问题的局部与整体的关系，再引导学生对每一个条件进行发散思维，使学生学会审题，从而逐步提高学生思维的有序性和深刻性等。三、关注本质的复习方式从我国初中教材的变革来审视，在大纲或课标要求下的教材教学内容的选取、编排方式上做到了与时俱进，并保留并精选了作为教材核心的初等数学中蕴含的数学理性精神，且是最基本的、最具生长活力的堪称经典的内容。虽然在很多新授课中已丧失了按新程提倡的新的教学方式的机会，导致学生对数学的理解、数学各方面能力上存在不少缺陷和偏差，但在为

22、时不多的中考复习时间里尚有弥补的空间。关键的是，我们要在复习方式、方法上要适应中考要求，敢于创新。1、老师跳进题海,给学生减负. 做二十套以上近年中考题,近三年江西省中考试题一定要熟悉,找找感觉. 给学生布置作业之前要认真做每一题,并考虑哪几道题是保底基础作业,一般学生完成要多少时间.这样就可使布置的作业有针对性,能更好地抓落实,从而引入选择性的作业或对作业给出弹性的要求，不必求得统一。2、分题型强化训练解题速度和准确性。要有意识地训练学生解选择、填空题的方法，使学生快捷准确地作答，每一次训练均要计时，统计全对人数；解答题中的基本题也要做到漂亮快速。中考时解基础题的速度与准确性的训练就象体操比

23、赛，只有使基本动作干脆利落地做好，得高分，才能获得冲击高分的“决赛权”。3、讲练结合，注重互动。 不少内容的复习要注意复习教学方法的选择，得呈现方式的变化，绝不可一律采取老一套的先罗列知识，再讲解例题，最后学生训练，这样教学方法单一的“三板斧”式的复习教学方法。可以选取以题带点，即以小题带出知识点，先让学生练习，老师观察、了解学生的基础，突显复习的必要性与针对性。比如在专题复习中，特别要注意在选取典型例题的基础上，合理在课常上处理讲与练的关系。要达到讲一题，知一法，通一类。不要贪多，而重在精讲，在更具代表性的问题进行深入的探索研究，引导学生去辨析、质疑，理解把握问题的本质与规律，学生的能力才会

24、有真正提高。策略二：高度重视数学中考应用性问题的复习数学中考应用性问题是对初中数学中“能够运用所学知识解决简单的实际问题”的能力的考查，具体要求是学生应具有“能够解决社会生产和日常生活中的简单实际问题，解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学的意识；会从数学的角度发现和提出问题，并用数学思想方法加以探索、研究和解决；会将实际问题抽象为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题并拓宽自己的知识”数学中考应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：由现实情境（非数学），抽象概括出数学问题；进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关

25、键的一步“由非数学到数学”，就是将实际问题归属到对应的数学模型，是化归思想的典型表现；绝大多数情况下，或化归到函数模型，或化归到方程（不等式）模型，或化归到基本图形（特别是直角三角形）模型，或者是以上的综合，因此，可以这样说：解决数学应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力以解决实际问题为目标的数学应用题，是整个初中数学的一个重点和难点，随着新的数学教育理论的变化，数学应用题成为了近几年中考命题的热点，成为考察学生创新意识和实践能力的重要渠道首先，应用题的题量普遍增加，有一卷多道应用题的趋势(江西卷一般有12个小题,一个中档数学应用题；若包含统计、概率类试题，分值比约占2528)；其次

26、，应用题的选材大为拓展：多数试题的取材不局限于工程、行程等老面孔，而纷纷取材于国情国策、环保生态、市场决策、统计核算、生产生活等内容，即充分展示了数学应用的广阔空间，又可体现数学的教育价值与文化价值下面是在复习中的几点建议：1、数学应用性问题中，文字阅读量大、取材和背景的多样化、图表交替呈现、专用名词术语的含义等，一直是困扰学生准确理解题意的关键因素！因而首先考生要加强应试心理的培养和调节，消除恐惧和厌恶心理！其次，要重视和有效地提高学生的阅读理解能力；要多让学生独立地“读题”和“审题”，学会提炼关键词，尝试有效地画出草图或写成某些数量关系，把实际问题经过“数学化”的过程，转化为用数学语言表达

27、的“数学问题”！再则，要引导学生理论联系实际，重视实习作业和课题学习等课外与实践活动的开展，适时地进行一些数学实验操作，广泛地接触社会生产和日常生活，保持对自然界和社会现象具有好奇心：用数学的眼光探寻新知，把数学与生活紧密联系起来擦亮自己的双眼，学会发现生活中的数学，并尝试着多用数学解决生活中的问题，体会认识来源于实践的道理2、解应用题首要的是阅读理解题意；建立等式式时两边必须是同类实际意义的量和相同单位意义的量；尤其是对利润、打折销售、增长率、图形的距离与度量等专用名词的理解和运用显得更为突出例1、一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再

28、打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是（ ）a.甲或乙或丙 b. 甲 c. 乙 d. 乙或丙图5-1 图5-2例2、如图5-1，一张折叠桌的圆形桌面可折叠成接近正方形的桌面，它的四个角是相等的一段圆弧，图中阴影部分的四个弓形被翻折到桌面的背面去若折叠后桌面相对两边的距离为74cm，弓形的底边长为68cm(1)求桌面被还原成圆形时桌面的面积；(2)如果将桌面重新设计，保持原来的直径不变，当折叠后的桌面恰好是一正方形，如图5-2；求这个正方形的面积（，保留一位小数）3、(1)人教社课标版教材(修订版)初中数学出现了不等式模型下的数学应用题，为数学应用又开辟了一块广阔天地；(2)列方程或不

29、等式（组）解应用题，有时要注意正整数解是实际问题的一个隐含条件；例3、杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，则每套售价至少定价是多少元？4、常用的基本图形的周长(弧长)、面积、体积等公式仍要熟记；有关几何问题的应用题，最难的不是计算，而主要是顺利的把自然语言翻译成几何语言，明确实际问题所转化成相关的几何图形及其数学意义例4

30、、（2011陕西t20）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙而形成的“圆锥形沙坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响；如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：图180cm60cmacb图2900cmefdd备用图oxyc2c1oxyxbaoyt9题图、先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；、甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于b处时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点a、看到坑底s点（甲同学的视线起点c与点a、点s三点共线），经测量：ab=1.2米，bc=1.6米根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高

31、）（取3.14，结果精确到0.1米）5、函数类的应用题，本质上是寻求一个量随另一个量的变化而变化的数量关系式，有时还融入方程与不等式的知识，关键是准确地写出表达各种变量的解析式（代数式及其取值范围），常常需要用到数形结合与分类讨论等数学思想方法例5、湖北恩施州的绿色产品香菇，远销日本和韩国等地上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的

32、销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润销售总金额收购成本各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？6、统计的思想方法是：就社会现实中某一随机现象，通过对数据的收集、整理与分析，得出其一般规律，为预测或决策作出正确合理的判断；为得出其一般规律，是选择从数据的集中程度，还是选择从数据波动或变化的趋势来分析与表述，一方面要与真实具体的情境相结合，另一方面要经常地关注一些社会现象的本质；统计的思想方法有助于我们破除“统计题就是计算题”的定势思维随机现象中，我们从事件发生的可能性大小区分了“必然事件”、“随机事件”与“不可能事件”，根据社会或自然现象的可能性大小，也可以为降低风险作出正确、合理的抉择，回归