2018-2019学年2-21.3.2利用导数研究函数的极值(二)学案1

1、精品资源课堂导学三点剖析一、利用导数求最值【例1】 已知x、y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.思路分析：题中有两个变量x和y,首先应选择一个主变量，可利用换元法，然后再求导.解：由 x2-2x+4y 2=0,得(x-1) 2+4y2=1(x0,y0).设 x- 1=cos a ,y=1 sin a (0 a 兀)，22设 f( a )= sin2f ( a4=COsx y= sin a (1+cos a ).1 1a (1+cos a s=n sin a COS a ,2 2c +- cos2 纺sin2 a = (2cos2 a +cos-1)=(cos a +

2、1)(COs- *2222，,一，、1令 f ( a )=0,COs a -1 或 COs a 20 a 兀； a =，此时 x= ,y=324n/)=f(0)max=,8即当x= 3 ,y=2,3时,4(x y)3.3max.温馨提示在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免陷入困境.二、求最值的常见技巧【例2】(2005北京高考)已知函数f(x)=-x 3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解：(1)f (x-3x2+6x+9.令f (x)解彳# x3 ,所以函数f(x)的单调递

3、减区间为(-8-1), (3+00).(2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(2)f(-2).因为在(-1, 3)上f (x)0所以f(x)在-1, 2上单调递增，又由于 f(x)在-2, -1上单 调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2, 2上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2.故 f(x)=-x 3+3x2+9x-2.因此 f(-1)=1+3-9-2=7,即函数f(x)在区间-2, 2上的最小值为-7.温馨提示注意比较求函数的极值与最大值的不同三、综合应用【例3】 设函数f(x)是定义在-1

4、,0) U (0,1上的偶函数，当xC -1,0)时,f(x)=x 3-ax(aC R).当x e(0,1 ：时，求f(x)的解析式；(2)若a3,试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a,使得当xC(0,1时,f(x)有最大值1.解：(1) . x (0,1时，-xC -1,0),f(-x)=(-x) 3-a(-x)=ax-x 3.又 f(x)为偶函数,.1- f(-x)=f(x),即 f(x)=ax-x 3.(2)f (x)=2+a, . xC (0,1 ,，x2C (0,11.-3x23.i a3,，-3x2+a0,故 f(x)在(0,1 上为增函数.假设存在

5、a,使得当xC(0,1时,f(x)有最大值1. f (x)=3x2.3a令 f (x)=0, -3x +a=0,即 a0 时,x= 33a 3a又. xe(0,1 , /. x=且0,f(x)为增函数.当 xC (-2,2)时,f (x)0,f(x)为减函数.，当xC -1,1时,f(x)为减函数.3 .f(x)min=f(1)=-5,f(x) max 二f(变式提升11 _ 269 3)- 27求y=|3x-x3|在-2,2上的最大值及最小值.解：f(x)=y=|3x-x 3|=|x| |3-x2|满足 f(-x)=f(x)为偶函数，只需考查其在0,2上的最大值或最小值.又 f(x)=|3x

6、-x 3|=3x -x3,0Mx 三.3x3 -3x, . 3 ： x , 2.3x - x3,0 x 3故 f (x尸 J3(x2 -1), 3 x 2, 不存在,x = V3.令 f (x)=0, x=1. f(0)=0,f(2)=2,f(.3)=0,f=2, .f(x)在-2,2上的最大值为2,最小值为0.类题演练2求函数y=5-36x+3x 2+4x3在区间-2,2上的最大值与最小值.解:y -36+6x+12x 2=6(2x 2+x-6).3令 y =0先得 Xi=-2,x2=一.2因为 f(-2)=57,f( 3)=-28 3 ,f(2)=-23,24所以函数的最大值为57,最小彳

7、1为-28 34变式提升2求函数f(x)=x 3-3x2+6x-2在区间-1,1上的最值.解:f (x)=3x6x+6=3(x 2-2x+2),因为f(您-1,1内恒大于0,所以f(x)在-1,1上是增函数，故当x=-1时,f(x)取得最小值-12，当x=1时,f(x)取得最大值2.即f(x)的最大值为2,最小值为-12.类题演练3:当xC (1,2时，函数f(x)= 2 x 恒大于正数a,试求函数y=lg(a2-a+3)的最小值.x . x (2x -1) - x(2x -1)解：y =()=-5-2x -1(2x -1)2x 1 2x_2(2x-1)1_2(2x-1)当 xC (1,2时,y 0,f(x)在(1,2上单调递减，于是 f(x)min=f(2)=-.3由题意知a的取值范围是a-.3y=lg(a -a+3)=lg (a- ) +1，故当 a= 时,ymin = lg.2424变式提升3如图,在二次函数f(x)=4x-x 2的图象与x轴所围成的图形中，有一矩形ABCD,求这个矩形 ABCD的最大面积.解:设点 B 的坐标为(x,0)(