线性系统的时域分析 第三章1

1、1. 1. 线性系统的时域线性系统的时域数学模型数学模型 2. 2. 线性系统的线性系统的数学模型数学模型 3. 3. 线性系统的结线性系统的结构图构图4.4.信号流图信号流图微分方程微分方程 非线性元件的线性化非线性元件的线性化 定义定义 性质性质 比例比例 惯性惯性 微分微分 积分积分 振荡振荡 延时延时 组成组成 结构图的等效变换和简结构图的等效变换和简化化 信号流图中的关键术语信号流图中的关键术语 基本性质基本性质 结构图结构图 信号流图信号流图 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 系统的数学模型系统的数学模型系统的校正、综合系统的校正、

2、综合系统分析系统分析t t域域s s域域域域系统性能指标系统性能指标稳、准、快稳、准、快一、典型信号一、典型信号二、二、 一阶系统时域分析一阶系统时域分析三、三、 二阶系统时域分析二阶系统时域分析四、四、 高阶系统时域分析高阶系统时域分析五、五、 线性系统的稳定性线性系统的稳定性六、六、 控制系统的稳定误差控制系统的稳定误差一、典型信号和时域性能指标一、典型信号和时域性能指标二、二、 一阶系统时域分析一阶系统时域分析三、三、 二阶系统时域分析二阶系统时域分析教学目的教学目的p理解一阶、二阶系统的时域分析理解一阶、二阶系统的时域分析p掌握系统性能指标的求法掌握系统性能指标的求法要求要求p认真听讲

3、、积极思考。认真听讲、积极思考。时间时间p2.5学时学时一、典型信号和时域性能指标一、典型信号和时域性能指标二、二、 一阶系统时域分析一阶系统时域分析三、三、 二阶系统时域分析二阶系统时域分析选取测试信号时必须考虑的原则：选取测试信号时必须考虑的原则：选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时的大部分实际情况。的大部分实际情况。选取外加输入信号的形式应尽可能简单，易于选取外加输入信号的形式应尽可能简单，易于在实验室获得，以便于数学分析和实验研究。在实验室获得，以便于数学分析和实验研究。应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输应选取那些能使系统工作在最不利情

4、况下的输入信号作为典型的测试信号。入信号作为典型的测试信号。单位阶跃函数0100)(tttrssR1)(At)(tro原函数原函数象函数象函数单位脉冲函数1)(sRAt)(tro00( )( )0ttr ttt 及单位抛物线函数31)(ssRt)(tro单位斜坡函数000)(ttttr21)(ssRt)( tro200( )02tr ttt 提示提示 ：上述几种典型响应有如下关系：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分时间响应

5、时间响应 稳态过程稳态过程( (稳态响应稳态响应) )动态过程（过渡过程、暂态响应）动态过程（过渡过程、暂态响应） 动态过程：系统在某典型输入信号作用下，其输动态过程：系统在某典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。1、基本概念、基本概念n由于实际的控制系统存在扰动，瞬态过程曲线形态可表由于实际的控制系统存在扰动，瞬态过程曲线形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。n瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称为系统的瞬态性能。称为系统的

6、瞬态性能。n瞬态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。瞬态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。 控制系统的动态过程控制系统的动态过程l 稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包含稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包含了输出响应的稳态性能。了输出响应的稳态性能。l 在工程上只讨论典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过在工程上只讨论典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了系统主要的瞬态性能指标。而程，在这段时间里，反映了系统主要的瞬态性能指标。而在这段时间之后，认为进入了稳态过程。在这段时间之后，认为进入了稳态过程。 稳态响应：稳态响应：当给定参考输入或外来

7、扰动加入系统当给定参考输入或外来扰动加入系统后后，当当t t趋于无穷大时，系统的输出量的表现方式。趋于无穷大时，系统的输出量的表现方式。n 控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标，控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标，由瞬态性能指标和稳态性能指标两部分组成。由瞬态性能指标和稳态性能指标两部分组成。n 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的因此只有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的瞬态和稳态性能才有意义。瞬态和稳态性能才有意义。n 在工程应用上，通常使用单位阶跃信号作为测在工程应用上，通常使用单位阶

8、跃信号作为测试信号，来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。试信号，来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。 上升时间上升时间tr: :(1)(1)响应曲线从零时刻出发响应曲线从零时刻出发首次到达首次到达稳态值稳态值所需时间。所需时间。峰值时间峰值时间tp: 响应曲线从零上响应曲线从零上升到升到第一个峰值第一个峰值所需时间。所需时间。调整时间调整时间ts: :响应曲线到达并响应曲线到达并保持在允许误差范围保持在允许误差范围 （稳态（稳态值的值的2%2%或或5%5%）内所需的）内所需的最短时间。最短时间。（二）动态响应的性能指标（二）动态响应的性能指标dt延迟时间延迟时间：输出响应第一次达到稳输出响应第一次

9、达到稳态值的态值的50%50%所需的时间。所需的时间。最大超调量最大超调量 M Mp p：响应响应曲线的最大峰值与终值曲线的最大峰值与终值之差与终值之比。通常之差与终值之比。通常用百分数表示：用百分数表示：%100)()()(cctcMpp振荡次数N N： 在调节时间内，在调节时间内，c(c(t t) )偏离偏离 的振荡次数。或的振荡次数。或在在0tt0tts s时间内，单位阶跃响应穿越其稳态值次数的时间内，单位阶跃响应穿越其稳态值次数的一半，定义为振荡次数。一半，定义为振荡次数。)(c动态过程的快慢、快速性指标动态过程的快慢、快速性指标MpMp和和N N反应振荡性能反应振荡性能单调变化的响应

10、单调变化的响应单调变化响应曲线如图所示：单调变化响应曲线如图所示：没有超调量没有超调量调整时间调整时间ts：定义同上：定义同上上升时间上升时间tr：由稳态值的由稳态值的10%上升到上升到90%所需的时间。所需的时间。y)(y2)(yttstd)(05. 0y)(02. 0y或或tr2、稳态响应的性能指标、稳态响应的性能指标稳态误差：稳态误差：是指稳定的系统，当给定参考输入是指稳定的系统，当给定参考输入或外来扰动加入系统后，经过足够长的时间，或外来扰动加入系统后，经过足够长的时间，系统稳态响应的实际值和期望值之间的差值。系统稳态响应的实际值和期望值之间的差值。)(lim)(lim0ssEtees

11、tss式中式中：e(t)=e(t)=给定输入值给定输入值- -实际输出值（单位反馈）；实际输出值（单位反馈）；E(s)E(s)是系统的误差。是系统的误差。一、典型信号一、典型信号二、二、 一阶系统时域分析一阶系统时域分析三、三、 二阶系统时域分析二阶系统时域分析其闭环传递函数为：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间常数越小。KT1 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其传递函数由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其传递函数是是s的一次有理分式。的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：一阶系统的微分方程为：)(sY-sK)(sE)(s

12、R典型的一阶系统的结构图如图所示。)()()(trtydttdyT单位脉冲信号单位脉冲信号r(t)=(t)r(t)=(t)，其拉氏变换为，其拉氏变换为R(s)=1R(s)=1，则系统，则系统的输出为的输出为: :TsTTsTssRsY/1/1111)()(上式的拉氏反变换称为一阶系统的上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应 ：01)(teTtyTt，一阶系统的单位脉冲响应曲线一阶系统的单位脉冲响应曲线 ：为单调下降的指数曲线，时间常为单调下降的指数曲线，时间常数数T T越大，响应曲线下降越慢，越大，响应曲线下降越慢，表明系统受到脉冲输入信号后，表明系统受到脉冲输入信号后，恢复到

13、初始状态的时间越长。单恢复到初始状态的时间越长。单位脉冲响应的终值均为零。位脉冲响应的终值均为零。 t=0t=0时，单位脉冲响应的时，单位脉冲响应的变化率为变化率为 , ,幅值为幅值为 。 响应时间为（）响应时间为（）T21TT1一阶系统单位脉冲响应曲线一阶系统单位脉冲响应曲线1( )0tTg tetT，1( )R ss11( )(1)1TC ss TssTs( )( )10tTc ty tet ，一阶系统单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应曲线（）在（）在t=0t=0处，曲线的斜率为。处，曲线的斜率为。（）（）t=Tt=T时，曲线上升到稳态值时，曲线上升到稳态值的的63.2%63.2%。（）

14、（）t=3Tt=3T时，输出达稳态值的时，输出达稳态值的95%95%， 。可见一阶系统的时间常数可见一阶系统的时间常数T T反映反映了系统的响应速度，响应了系统的响应速度，响应快。快。1%984时，TT1T当系统的输出达到稳态值的当系统的输出达到稳态值的95%95%或或98%98%时，我时，我们认为系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称们认为系统已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为。(3 4)T一阶系统单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应曲线( )1tTh te22221( ),111( ),11( )(1)0ttT

15、TR ssTTC sTssssTsc ttTTetTet，输入与输出的误差为输入与输出的误差为( )( )( )(1),0tTe tr tc tTet当时，tTte)(一阶系统单位斜坡响应曲线一阶系统单位斜坡响应曲线 减少时间常数减少时间常数T T不仅可以不仅可以加快瞬态响加快瞬态响应应的速度，还可减少系统跟踪斜坡的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。信号的稳态误差。 调整时间（从到增长到其终调整时间（从到增长到其终值的值的95%95%所经历的时间）所经历的时间） 3stT33221( ),11( )11( )(1)02tTR ssC sTssc ttTtTet，输入与输出的误差为输入与

16、输出的误差为2( )( )( )(1),0tTe tr tc tTtTet当时，t( )e t一阶系统不能实现对加速度函数的跟踪。一阶系统不能实现对加速度函数的跟踪。输入信号输入信号输出响应输出响应传递传递 函数函数典典型型信信号号1 11(t)1(t)t t)(t1(0)tTetT1S10tTet21s0tTtTT et221t31S221(1)02tTtTtTet11TS 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应系统对输入信号积分的响应，

17、就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。的积分；积分常数由零初始条件确定。各行之间各行之间有什么联有什么联系系例例1：已知一阶系统的方块图如图所示。试求该系统单位阶已知一阶系统的方块图如图所示。试求该系统单位阶跃响应的调整时间跃响应的调整时间ts；若要求；若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。秒，求此时的反馈系数。)(sC-s100)(sR0.1解：解：由系统方块图求出闭环传递函数：由系统方块图求出闭环传递函数：11 . 010101001 . 01001100)()()(sssssRsYs由闭环传递函数知时间常数由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒秒所以：所以：ts=3T

18、=0.3秒秒（D=5）若要求若要求t ts s0.10.1秒，求此时的反馈系数。秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为可设反馈系数为k k101. 011001100)()()(skkksssRsYs当当 ，则则 ，即，即 时时ts0.1秒秒kT01. 01 . 003. 03kTts3 . 0k)(sC- -s100)(sRk由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为求求(1).单位脉冲响应；单位脉冲响应；(2).闭环传递函数；闭环传递函数；(3).开环传递函数。开环

19、传递函数。ateth1)(ataethtk)()() 1 (asatkLs)()()2(解：解：)(1)()()3(sGsGs)()()()(sGsGss)()(1)( sGsssaaasaasaasasssG1)(1)()(一、典型信号一、典型信号二、二、 一阶系统时域分析一阶系统时域分析三、三、 二阶系统时域分析二阶系统时域分析开环传递函数为开环传递函数为: :sssGnn2)(22闭环传递函数为闭环传递函数为: :2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sY- -典型结构的二阶系统如右图所示：典型结构的二阶系统如右图所示：典型二阶系统的微分方程典型二阶系统的

20、微分方程 ：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT， 称为典型二阶系统的传递函数，称为典型二阶系统的传递函数， 称为称为阻尼系数阻尼系数， 称称为为无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率或或自然频率。自然频率。)(sn0222nnss系统的特征方程系统的特征方程2211nn、jP12nP 、1221nn、Pn、jP21 无阻尼无阻尼：=0欠阻尼欠阻尼：0 1 图3 - 9 二阶系统极点分布左半平面 00 1 = 1两个相等根jn = 0d= njn = 0 j右半平面 1两个不等根0系统极点与参量间的关系图系统极点与参量间的关系图无阻尼：无阻尼： =0=0欠阻尼：欠阻尼：0 0 111当

21、输入为当输入为单位阶跃单位阶跃函数时函数时， ，有有： ssR1)(ssssssYnnn121)()(222222221)()(nnnssssssY0cos1)(tttyn当当 时，极点为：时，极点为：0njp2, 1输出：频率输出：频率n做等幅振荡的曲线，做等幅振荡的曲线， n n：无阻尼振荡频率：无阻尼振荡频率121)()(22211sssLssLtynnn2222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss 当当 时，时，系统极点为系统极点为：1022, 11n

22、njp 称为阻尼振荡频率称为阻尼振荡频率。 21nd0,)1sin(1)1cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn22, 11nnjpn 在欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应衰减振荡的形式，其振荡频率为阻尼振荡率d，其幅值随和n而发生变化。)1 (1)(tetyntn222222)(11)(21)(nnnnnnnnsssssssssY阶跃响应函数为

23、：阶跃响应函数为：当 时，极点为：1np2, 1 临界阻尼二阶系统临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为按的单位阶跃响应为按指数规律单调上升的指数规律单调上升的过程。过程。 1当 时，极点为：122, 1nnp即特征方程为：即特征方程为：)1()1(22222nnnnssss)1()1()()(222nnnsssRsYssssYnnn1)1()1()(222)1()1(1211)(2)1(2)1(222ttnneety过阻尼二阶系统的单位阶跃响应还可以写为过阻尼二阶系统的单位阶跃响应还可以写为 ： 0)(121)(21221tpepetytptpn，122, 1nnp其中其中 ： n过阻尼二阶系统的

24、单位阶跃响应由两个衰减的指过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个衰减的指数项组成。数项组成。n过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是非振荡的过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是非振荡的单调上升曲线。单调上升曲线。 可以看出：随着可以看出：随着 的增加，的增加，y(t)y(t)将从无衰减的周期运动变为有将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当衰减的正弦运动，当 时时y(t)y(t)呈现单调上升运动呈现单调上升运动( (无振荡无振荡) )。可见可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。1性能指标性能指标上升时间上升时间峰值时间峰值时间最大超调量最大超调量调整时

25、间调整时间1.1. 二阶系统的瞬态性能指标二阶系统的瞬态性能指标欠阻尼欠阻尼l上升时间上升时间tr1)sin(11)(2rdtrtetcn0)sin(rdtd rt21211rntgt一定时，一定时，n越大，越大，tr越小；越小；)sin(11)(2tetcdtn(t0)21nd211tg1.1. 二阶系统的瞬态性能指标二阶系统的瞬态性能指标欠阻尼欠阻尼l峰值时间峰值时间tp0|)(pttdttdc.2 , 0pdtdpt)sin(11)(2tetcdtn21pntsin()cos()0nntndtddetettgttgndpd21)( 一定时，一定时，n越大，越大，tp越越小；小；n一定时，

26、一定时， 越大，越大，tp越大。越大。l最大超调量最大超调量Mp：%100%100)()()(21ecctcMpp仅与阻尼比仅与阻尼比有关。有关。越大，越大，Mp 越小，系统的平稳越小，系统的平稳性越好。性越好。 = 0.4-0.8 Mp = 25.4%-1.5%。)sin(111)(2pdtptethpnl调整时间调整时间ts)sin(11)(2tetcdtn包络线211tne)02.0(05.0112或tnennsnnstt4)1ln(2141%)2 (3)1ln(2131%)5 (22近似与成反比。近似与成反比。01stn在在n 调整时间与系统特征根的实部数值成反比。系统调整时间与系统特

27、征根的实部数值成反比。系统特征根距虚轴的距离越远，系统的调整时间越短。特征根距虚轴的距离越远，系统的调整时间越短。 n 由于阻尼系数由于阻尼系数的选取主要是根据对系统超调量的选取主要是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频率率n n决定。决定。n 若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率n n值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。 52当当,3,4nnst22, 11nnjp（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂（）根据值的大

28、小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性。态特性。a.a. ，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时间较长，系统反应迟缓。但调整时间较长，系统反应迟缓。b.b. ，响应为单调曲线，调整时间比的情况短。，响应为单调曲线，调整时间比的情况短。c.c. ，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。d.d.一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但不能过小，否则大，长，为了限制超调量，应不能过小，否则大，长，为了限制超调量，应在在0.40.40.80.8之间，这时超调量将在之间，这时超调量将在2

29、5%-2.5%25%-2.5%之间。之间。 101110pMst 一般选一般选=0.707,=0.707,为最佳阻尼比为最佳阻尼比, ,此时不但此时不但调整时间调整时间t ts s为最小为最小, ,而且超调量也不大而且超调量也不大。例例1：已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知单位反馈系统的开环传递函数为)2(4)(sssG确定系统的和，并求最大超调量和调整确定系统的和，并求最大超调量和调整时间时间npMst解：因为解：因为可得可得steMsssssGnspnnnn33%)5(%3.16%1005.02224)2(4)2()(212，R(s)C(s)-2s10例例2 2 试分析：试分析：1 1

30、）该系统能否正常工作？）该系统能否正常工作？ 2 2）若要求）若要求 =0.707=0.707，系统应作如何改进？，系统应作如何改进？10s10)s(R)s(C2 =0 =0 无阻尼无阻尼等幅不衰减振荡等幅不衰减振荡 工作不正常工作不正常如何判如何判断断R(s)C(s)-2s10-s10s10s10)s(R)s(C2707. 010n102n) s (444. 0102n例例3 3： 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。定系统的传递函数。 )(th0t13 .11.0解：解： 根据题意 %30%0.1pt21%100%3

31、0%e0.3610.1pdt34.136.6nd22221340( )226.41340nnnsssss例例4 4 图示系统，要求单位阶跃响应无超调，调图示系统，要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于节时间不大于1 1秒，求开环增益秒，求开环增益K K。 ) 11 . 0 (ssKR(s)E(s)C(s)-解：解： 根据题意，应选择根据题意，应选择 =1=1，系统的开环传，系统的开环传递函数为递函数为： 2( )(0.11)(2)nnKG ssss s10.122nnKT52.5nK 例例5 5 有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中有一位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4K=4，T=1T=1。试求：试求： (1) (1) 该系统的无阻尼振荡频率该系统的无阻尼振荡频率 n；(2)(2)系统的阻尼系数系统的阻尼系数 ；(3)(3)系统超调量系统超调量 %和调整时间和调整时间t ts s；（；（4 4）如果要求）如果要求 0.707，在不在不改变时间常数改变时间常数T T的情况下，应怎样改变系统开环放大系数的情