(重点班)高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第3节空间点直线平面的位置关系课时训练理

1、第3节空间点、直线、平面的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号平面的根本性质1,10,12,14点、线、面的位置关系2,3,7,12异面直线所成的角4,5,6,8,9,11,13根底对点练(时间:30分钟)1. 设A,B,C,D是空间中四个不同的点，以下命题中，不正确的选项是(C )(A) 假设AC与BD共面,那么AD与BC共面(B) 假设AC与BD是异面直线,那么AD与BC是异面直线(C) 假设 AB=AC,DB=DC那么 AD=BC(D) 假设 AB=AC,DB=DC那么 AD丄 BC解析：假设AB=AC,DB=DC,A不一定等于 BC,C不正确.2. (2021黑龙江大庆高三月考)以下

2、说法正确的选项是(D )(A) 假设a? a ,b? 3 ,那么a与b是异面直线(B) 假设a与b异面,b与c异面,那么a与c异面(C) 假设a,b不同在平面a内，那么a与b异面(D) 假设a,b不同在任何一个平面内，那么a与b异面解析：由异面直线的定义可知选D.3. 设m,n是空间两条直线,a , 3是空间两个平面，那么以下选项中不正确的选项是 (C )(A) 当n丄a时，“ n丄3是“ a/3 的充要条件(B) 当m? a时，“ 0丄3是“ a丄3 的充分不必要条件(C) 当m? a时，“n /a是m/ n 的必要不充分条件(D) 当m? a时，“n丄a是mn的充分不必要条件解析:C中，当

3、m? a时，假设n /a ,那么直线m,n可能平行，可能异面；假设m/ n,那么n /a或n? a ,所以“ n /a是“ m/ n的既不充分也不必要条件4. (2021陕西质量检测)在正四棱柱 ABCDA B C D中,AB=1,AA =2,那么AC与BC所成角 的余弦值为(C )解析：由题意知，/ AC B即为 AC与BC所成的角，连接AB,在Rt AB C中,AC =,B C =1,故 cos / AC B =.5. 正方体ABCD/BQDi中，点P在线段AD上运动，那么异面直线 CP与BA所成的角B的取值范 围是(D )(A) 0 0 (B) 0 0W(C) 0 W0W(D) 0解析：

4、当P在D处时,CP与BA所成角为0； 当P在A处时,CP与BA所成角为,所以00 .应选D.6. (2021济南一模)在正四棱椎VABCD ,底面正方形ABCD勺边长为1,侧棱长为2,那么异面直 线VA与BD所成的角的大小为.解析：如图，设ACA BC=D连接VO,因为四棱锥 VABCD1正四棱锥,所以VCL平面ABCD故 BDL V0又四边形 ABCD是正方形,所以BDL AC,所以BD丄平面VAC所以BDL VA, 即异面直线VA与BD所成角的大小为答案：7. 如下图,正方体ABCDABiCiD中,M,N分别为棱CD,CQ的中点，有以下四个结论： 直线AM与 CC是相交直线； 直线AM与

5、BN是平行直线； 直线BN与 MB是异面直线； 直线MN与AC所成的角为60 .其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论序号都填上).解析：由题图可知 AM与CG是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB为异面直线.因为DC / MN所以直线MN与 AC所成的角就是 DC与AC所成的角，且此角为60 .答案：8. (2021揭阳模拟)如下图，在正三棱柱 ABCABCi中,D是AC的中点,AAi : AB=k何：1,那么异面直线AB与BD所成的角为 .解析:如图,取AG的中点Di,连接B1D1,因为D是AC的中点，所以BD/ BD,所以/ ABD即为异面直线 AB与BD所成的角.连接AD,设

6、 AB=a,那么 AA=. a,所以 AB= a,BiD=a.所以,在 ABD中，由余弦定理得cos / ABD=AB + Wjfij - AP AR 严所以/ ABD=60 .答案：60 9. A是厶BCD所在平面外的一点，E,F分别是BC,AD的中点.(1) 求证:直线EF与BD是异面直线;(2) 假设AC丄BD,AC=BD求EF与BD所成的角.(1)证明：假设EF与BD不是异面直线,那么EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面, 所以A,B,C,D在同一平面内，这与A是厶BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异 面直线解：取CD的中点G,连接EG,FG,那么EG/

7、BD,所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在 Rt EGF中，由 EG=FG=AC求得/ FEG=45 ,即异面直线EF与BD所成的角为45 .能力提升练(时间:15分钟)10. (2021四川雅安诊断)以下说法错误的选项是(D )(A) 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B) 过直线外一点有且只有一个平面与直线垂直(C) 如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D) 如果两条直线和一个平面所成的角相等 ，那么这两条直线一定平行解析:选项A,B,C均正确，故排除.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D

8、错误.应选D.11. (2021云南师大附中适应性考试 )三棱柱ABCABC中,AAi与AC,AB所成的角均为 60 , /BAC=90 ,且AB=AC=AA那么AB与AG所成角的正弦值为 (D )比 (A)1(B) (C)3(D) 3解析：如下图,把三棱柱补成四棱柱 ABDCBiDG,连接BD,那么BD/ AC,那么/ ABD就是异面 直线 AiB与 AG所成的角,设 AB=a,在厶ABD中,AiB=a,BDi= a,AiD汽乍a,所以 sin /A BD=；AB1 2.(20 1 5台州一模)以下四个命题中： 不共面的四点中，任意三点不共线； 假设点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面

9、，那么点A,B,C,D,E 共面； 假设直线a,b共面,直线a,c共面,那么直线b,c共面； 依次首尾相连的四条线段必共面.正确命题的个数是(B )(A)0(B)1(C)2(D)3解析:显然是正确的，可用反证法证明假设A,B,C三点共线,那么A,B,C,D,E五点不一定共面 如图，显然b,c异面,故不正确.空间四边形中四条线段不共面，故只有正确.13. 四棱锥 PABCD ,PA丄平面 ABCD,ABC为正方形，AB=PA=2,M,N分别为PA,PB的中点，那么MD 与AN所成角的余弦值为.解析：取CD的中点E,连接AE,NE,MN,易得MN DE,于是可得MD/ NE贝ANE为异面直线 AN

10、 与MD所成的角，在厶ANE中，AE= ,NE=MD=,AN=PB=,AN2 + NE2 - AE2cos / ANE= 2 x 孙 x A f：2 15-5= -10=答案：14. 正方体 ABCDAGD中,E,F分别为 DCi,CiB的中点，AC n BD=P,ACiQ EF=Q求证:(1)D,B,E,F 四点共面；假设AiC交平面DBFE于 R点，那么P,Q,R三点共线.证明：(1)如下图，因为EF是厶DiBiCi的中位线,所以 EF/ BiD.在正方体AC中,BiDi/ BD,所以 EF/ BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.在正方体 ABCD/BiCiD中，设

11、平面 AACC确定的平面为a , 又设平面BDEF为B .因为Q AiCi,所以Qa .又Q EF,所以.那么Q是a与B的公共点，同理,P点也是a与B的公共点.所以 aQB =PQ.又 AiCnp =R,所以 R AC,Ra 且 Rp .那么 R PQ,故P,Q,R三点共线.精彩5分钟i. 如下图，在正方体 ABCD/BiGD中,M,N分别是 BG,CDi的中点，那么以下判断正确的 是.(填所有正确结论的序号)aa MN与CG垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与AiBi平行.解题关键：连接BiC,那么点M是BiC的中点，根据三角形的中位线，证明MIN/ BiD. 解析：连接BC,BiD,那么点M是BiC的中点,MN是厶BiCD的中位线，所以 MIN/ BiD,因为 CGL BiD,AC丄 Bi D ,BD / BD ,所以MN丄CC,MN丄AC,MN/ BD,故正确.又因为Ai B与B D相交，所以MN与Ai B不平行，因此错误.答案：2.