利用导数证明不等式的常见题型与技巧

1、利用导数证明不等式的常见题型与技巧例题：已知函数 g(x) = xlnx，设 0 :a .；： b，证明:o . g (a)(b) 2()“ (b a) In 2 .2本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点， 因此，设辅助函数 时就把其中一个端点设为自变量， 范例中选用右端点， 读者不妨设为左端点试一试， 就能体 会到其中的奥妙了。技巧：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 解题技巧是构造辅助函数， 把不等式的证明转化 为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一

2、个可导函数是用导数证明不等式的关键。1利用题目所给函数证明【例1已知函数f (x) = In( x T)X，求证：当x占1时，恒有1.|n(x 1)岂xx +1【提示如果 f (a)是函数f (x)在区间上的最大(小)值，则有 f(x)岂f (a)(或 f(x)色f (a),那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、直接作差构造函数证明【例2 已知函数f(x)x2+l nx求证：在区间(1,+上，函数f (x)的图象在函数2g(x) =2x3的图象的下方；3【提示本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据

3、函数单调性的定义，证明要证的不 等式。读者也可以设 F (x) = f (x) - g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n,不等式山(1 .1)都成立.nn n【提示】我们知道，当 F(x)在a,b上单调递增，则 x a时，有F(x) . F(a) 如 果 f (a) = :(a)，要证明当 x a 时，f(x) (x),那么，只要令 F(x) = f (x) -(x),就可以利用F(x)的单调增性来推导. 也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F(x) 0即可.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y= f (x)在R上可导

4、且满足不等式 x f (x) - f (x)恒成立，且常数a, b满足 ab,求证：.a f (a) b f (b)【提示】由条件移项后xf (x) f(X)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)二xf (x)，求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf (x) f (x)，则移项后xf (x) - f (x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。【思维挑战】仁 设 a 丄0, f (x) = x -1 -1 n2 x 2aln x，求证：当 x 1 时，恒有 x In2 x - 2aln x 1,2、已知定义在正实数集上的函数f(x)=丄x2 +2ax, g(x) =3

5、a2 In x+b,其中a0，且b = 已知函数f(x)=+x)J，求证：对任意的正数 a、b ,恒有|n a_|nb1_b.1 +xa f (x)是定义在(0, + 8)上的非负可导函数，且满足 x(x) - f (x) W 0，对任意正数a、b,若a 0 构造函数F(a) F(b)即x f (x) + f (x) 0 , 从而F (x)在 R上为增函数。；a ba f (a) b f (b)1、提示：f (x) =1 -空上 ，当x 1 , a 一0时，不难证明 空仝：1x xx f (x)0，即f (x)在(0,=)内单调递增，故当 x 1时，f (x) f (1) = 0，当 x 1

6、时，恒有 x In2 x -2a In x 11 3a22、提示：设 F (x)二 g(x) - f (x)x2 2ax -3a2 In x - b 则 F (x) = x 2a -2 x= (x -a)(x 3a) (x . 0) . a 0，当 x 二 a时，F (x)二 0，x故F (x)在(0,a)上为减函数，在 (a, ：)上为增函数，于是函数F(x)在(0：)上的最小值是F(a)二f(a)-g(a) =0，故当x 0时，有 f (x) - g(x) -0，即 f (x) _ g(x)3、提示：函数f (x)的定义域为(-1,=)，f (x)1 11 x (1 x)2x(1 x)2当-1：x：0 时，f (x) : 0，即 f (x)在 x(-1,0)上为减函数当x 0时，f (x)0，即f (x)在(0,=)上为增函数因此在x二0时，f (x)取得极小值f (0) = 0，而且是最小值x1于是 f (x) _ f (0) =0,从而 In(1 X)，即 In(1x) _1 - -1 +x1 + x令1 x二旦 0,贝叮-二 1 - 于是In空一1-匕bx 1 ab aK因此 In a