第14章(复杂应力状态强度问题)

1、 中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第十四章第十四章 复杂应力状态强度问题复杂应力状态强度问题 14-1 14-1 引言引言 杆件轴向拉压时的强度条件为：杆件轴向拉压时的强度条件为：maxmax() NuFAn此时危险点的应力状此时危险点的应力状态为简单应力状态态为简单应力状态 此强度条件是建立在实验基础上的，因为极限应力是由此强度条件是建立在实验基础上的，因为极限应力是由实验

2、测定的。实验测定的。 usub 塑材塑材脆材脆材 当危险点为复杂应力状态时，也由实验来测定极限应力，当危险点为复杂应力状态时，也由实验来测定极限应力，在理论上可行，但实际不可操作。因为三个主应力有无数种在理论上可行，但实际不可操作。因为三个主应力有无数种数值组合或比例。数值组合或比例。材料失效的两种形式材料失效的两种形式 强度理论强度理论单向应力状态的试验结果单向应力状态的试验结果断裂失效断裂失效屈服失效屈服失效 关于材料破坏规律的假说。关于材料破坏规律的假说。一般假设材料不同应力一般假设材料不同应力状态下同种失效方式由同种因素引起的。状态下同种失效方式由同种因素引起的。 同种失效方式引起的因

3、素是相同的同种失效方式引起的因素是相同的 建立复杂应力状建立复杂应力状态下的强度条件态下的强度条件与危险点的应与危险点的应力状态无关力状态无关14-2 14-2 关于断裂失效的强度理论关于断裂失效的强度理论 一、最大拉应力理论（第一强度理论）一、最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂是材料发生断裂是最大拉应力最大拉应力引起，即最大拉应力达引起，即最大拉应力达到某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。到某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。 第一强度理论的断裂准则第一强度理论的断裂准则 单向应力状态单向应力状态 max1 最大拉应力最大拉应力( (引起失效的因素引起失效的因素) )的极限

4、值的极限值 tub 复杂应力状态复杂应力状态 max1 ( (材料断裂失效材料断裂失效) )( (材料断裂失效材料断裂失效) )tb tub第一强度理论的断裂准则第一强度理论的断裂准则 第一强度理论的强度条件第一强度理论的强度条件 1tb 1tbn 第一强度理论的的应用与局限第一强度理论的的应用与局限 应用：材料无裂纹脆性断裂失效形式（脆性材料应用：材料无裂纹脆性断裂失效形式（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多），如铸铁圆轴的扭转破坏。值或超过不多），如铸铁圆轴的扭转破坏。 局限：没考虑局限：没考虑2、3 对材料

5、破坏的影响，对无对材料破坏的影响，对无拉应力的应力状态无法应用。拉应力的应力状态无法应用。 二、最大拉应变理论（第二强度理论）二、最大拉应变理论（第二强度理论） 材料发生断裂是材料发生断裂是最大拉应变最大拉应变引起，即最大拉应变达到引起，即最大拉应变达到某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。某一与材料有关的极限值时材料就发生断裂。 第二强度理论的断裂准则第二强度理论的断裂准则 单向应力状态单向应力状态 最大拉应变最大拉应变( (引起失效的因素引起失效的因素) )的极限值的极限值 复杂应力状态复杂应力状态 ( (材料断裂失效材料断裂失效) )( (材料断裂失效材料断裂失效) ) tb maxt

6、bE tbuE 123max()E tbE 123()tb 第二强度理论的的应用与局限第二强度理论的的应用与局限第二强度理论的断裂准则第二强度理论的断裂准则 123()tb 第二强度理论的强度条件第二强度理论的强度条件 123()tbn 局限：与极少数的脆性材料在某些受力形式下局限：与极少数的脆性材料在某些受力形式下的实验结果不吻合。的实验结果不吻合。 应用：脆性材料的二向应力状态，且压应力很应用：脆性材料的二向应力状态，且压应力很大的情况。大的情况。一、最大切应力理论（第三强度理论）一、最大切应力理论（第三强度理论） 材料发生屈服是材料发生屈服是最大切应力最大切应力引起，即最大切应力达引起，

7、即最大切应力达到某一与材料有关的极限值时材料就发生屈服。到某一与材料有关的极限值时材料就发生屈服。 第三强度理论的屈服准则第三强度理论的屈服准则 单向应力状态单向应力状态 最大切应力最大切应力( (引起失效的因素引起失效的因素) )的极限值的极限值 复杂应力状态复杂应力状态 ( (材料屈服失效材料屈服失效) )( (材料屈服失效材料屈服失效) )s smax22 s2u 13max2 13ss2u 14-3 14-3 关于屈服失效的强度理论关于屈服失效的强度理论 第三强度理论的的应用与局限第三强度理论的的应用与局限第三强度理论的屈服准则第三强度理论的屈服准则 13s第三强度理论的强度条件第三强

8、度理论的强度条件 13sn 局限：没考虑局限：没考虑2 对材料的破坏影响，计算结对材料的破坏影响，计算结果偏于安全。果偏于安全。 应用：材料的屈服失效形式。应用：材料的屈服失效形式。二、畸变能理论（第四强度理论）二、畸变能理论（第四强度理论） 材料发生屈服是材料发生屈服是畸变能密度畸变能密度引起，即畸变能密度达到某引起，即畸变能密度达到某一与材料有关的极限值时材料发生屈服。一与材料有关的极限值时材料发生屈服。 第四强度理论的屈服准则第四强度理论的屈服准则 单向应力状态单向应力状态 最大畸变能密度最大畸变能密度( (引起失效的因素引起失效的因素) )的极限值的极限值 ( (材料屈服失效材料屈服失

9、效) )s 22ds1133EE2ds13E 最大畸变能密度最大畸变能密度( (引起失效的因素引起失效的因素) )的极限值的极限值 复杂应力状态复杂应力状态 ( (材料屈服失效材料屈服失效) )2ds13E 222d1223311()()() 6E 222122331s1()()() 22ds13E 第四强度理论的的应用与局限第四强度理论的的应用与局限第四强度理论的屈服准则第四强度理论的屈服准则 222122331s1()()() 2第四强度理论的强度条件第四强度理论的强度条件 2221223311()()() 2sn 应用：材料的屈服失效形式。应用：材料的屈服失效形式。 局限：与第三强度理论

10、相比更符合实际，但局限：与第三强度理论相比更符合实际，但公式过于复杂。公式过于复杂。 三、强度理论的应用三、强度理论的应用 1.1.各强度理论的适用范围各强度理论的适用范围 断裂失效断裂失效 屈服失效屈服失效 第一、二强度理论（脆性材料的单、二向应力状第一、二强度理论（脆性材料的单、二向应力状态，塑性材料的三向均匀拉应力状态）。态，塑性材料的三向均匀拉应力状态）。 第三、四强度度理论（塑性材料的单、二向应力第三、四强度度理论（塑性材料的单、二向应力状态，脆性材料的三向均匀压应力状态）。状态，脆性材料的三向均匀压应力状态）。 危险截面的确定危险截面的确定危险点的确定危险点的确定危险点应力状态危险

11、点应力状态根据失效形式选择合适的强度理论。根据失效形式选择合适的强度理论。 2.2.强度理论的统一强度理论的统一 ri r11 r2123() r313222r41223311()()() 2ri：第：第 i 强度理论对应的相当应力强度理论对应的相当应力 例：例：灰口铸铁构件危险点处的应力状态如图所，若铸铁的许灰口铸铁构件危险点处的应力状态如图所，若铸铁的许用拉应力用拉应力t=30MPa，试校核其强度。，试校核其强度。 10MPax 解：解：平面应力状态，可判断铸铁发生脆性断裂，采用第一平面应力状态，可判断铸铁发生脆性断裂，采用第一强度理论进行强度校核强度理论进行强度校核 20MPay 15M

12、Pax r11max2210201020()( 15)22 t26.2MPa 所以危险点的强度满足要求。所以危险点的强度满足要求。 22()22xyxyx 例：例：危险点的应力状态如图所示，其中危险点的应力状态如图所示，其中 = 116.7MPa ，= 46.7MPa 。材料为钢，许用正应力。材料为钢，许用正应力 = 160MPa ，试校核，试校核该点的强度是否安全。该点的强度是否安全。 解：解：平面应力状态，可判断钢发生塑性破坏，采用第三强平面应力状态，可判断钢发生塑性破坏，采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核度理论或第四强度理论进行强度校核 116.7MPax 0y 46.3MPax

13、 max22min()22xyxyx 22()22xxx 2222123()0()2222xxxxxx max22min()22xxx 22222r41223311()()() 32xx 所以无论采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核所以无论采用第三强度理论或第四强度理论进行强度校核，危险点的强度满足要求。，危险点的强度满足要求。 22r3134xx 22116.73 46.3141.6MPa 22116.74 46.3149.0MPa 例：例：试按强度理论确定塑性材料的许用切应力。试按强度理论确定塑性材料的许用切应力。 解：解：纯剪切应力状态的主应力纯剪切应力状态的主应力 第三强度理论的

14、强度条件第三强度理论的强度条件 第四强度理论的强度条件第四强度理论的强度条件剪切强度条件剪切强度条件 按第三强度理论确定塑性材料的许用切应力按第三强度理论确定塑性材料的许用切应力 按第四强度理论确定塑性材料的许用切应力按第四强度理论确定塑性材料的许用切应力 1 20 3 r3132 222r41223311()()() 32 0.5 30.6 2 3 例：例：图示钢梁，承受载荷图示钢梁，承受载荷F = 210kN，许用应力为，许用应力为=160MPa ，截面高度，截面高度h = 250mm ，宽度，宽度b = 113mm ，腹板与翼缘的厚度分别，腹板与翼缘的厚度分别为为t =10mm ， =

15、13mm ，截面的惯性矩，截面的惯性矩Iz = 5.2510-5m4，试按第，试按第三强度理论校核梁的强度。三强度理论校核梁的强度。 最大弯曲正应力强度校核最大弯曲正应力强度校核 max56kN mMSmax140kNF 解：解：计算支座约束力，作剪力图、弯矩图计算支座约束力，作剪力图、弯矩图 3maxmax556100.25133.3MPa25.2510zMW 最大弯曲切应力强度校核最大弯曲切应力强度校核 根据第三强度理论根据第三强度理论 0.580MPa22Smaxmax()(2 ) 8zFbhbthI t35140 108 5.25 100.01 63.1MPa 220.113 0.25

16、(0.1130.01) (0.252 0.013) 0.580MPa 腹板与翼缘交界处强度校核腹板与翼缘交界处强度校核 危险点在载荷作用右边截面危险点在载荷作用右边截面( (C右右截面截面）腹板与翼缘交界处（）腹板与翼缘交界处（a点点） 3556 10(0.1250.013)119.5MPa5.25 10azM yI 22max(2 ) 8SazFbhhI t3225140 100.1130.25(0.252 0.013) 46.4MPa8 5.25 100.01 119.5MPax 2222r34119.53 46.4151.3MPaxx所以梁的强度满足要求。所以梁的强度满足要求。 0y 4

17、6.4MPax 119.5MPaa 46.4MPaa 作点的应力状态图作点的应力状态图 14-4 14-4 弯扭组合与弯拉（压）弯扭组合与弯拉（压）扭组合扭组合 一、弯扭组合一、弯扭组合 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 横向力横向力 SyFyMMyzyzMzMyII SzFzM力偶矩力偶矩 TPTI 不考虑不考虑危险截面为危险截面为A截面截面 yMMyzyzMzMyII zMTPTI 2.2.强度条件强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面A上

18、危险点上危险点D1 1的应力状态，求得的应力状态，求得 2211(4)220 2231(4)2 22r34 22r43 在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值度条件的相当应力有最大值 MMW TPTW 3(32dW 3P)16dW 按第三强度理论，强度条件按第三强度理论，强度条件 22r3MT4 22r3MTW 按第四强度理论，强度条件按第四强度理论，强度条件 22r4MT3 22r40.75MTW 危险截面的判定：危险截面的判定：22max()MT 22max(0.75)MT 22maxr3()MTW 22maxr

19、4(0.75)MTW 强度条件：强度条件：或或的截面的截面 例：例：图所示传动轴图所示传动轴AB 由电动机带动。已知电动机通过联由电动机带动。已知电动机通过联轴器作用在截面轴器作用在截面A 上的扭力偶矩为上的扭力偶矩为M1 = 1kNm ，皮带紧边与，皮带紧边与松边的张力分别为松边的张力分别为FN 与与 ，且，且 ，轴承，轴承C 、B 间的距间的距离离l = 200mm ，皮带轮的直径，皮带轮的直径D = 300mm ，轴用钢制成，许用，轴用钢制成，许用应力应力 = 160MPa 。试按第四强度理论确定轴。试按第四强度理论确定轴 AB 的直径。的直径。 NF NN2FF 解：解： 确定计算简图

20、确定计算简图 以轴为研究对象，建立平衡方程以轴为研究对象，建立平衡方程 ()0:xMF NN1022F DF DM ()0:xMF NN1022F DF DM 解得：解得： NN2FF N6.67kNF 将力将力 与与 向向AB 轴简化轴简化NFNF NN20.01kNFFF NN21kN m22F DF DM 作用在截面作用在截面E 上的横向力上的横向力作用在截面作用在截面E 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 T 图（扭转）图（扭转） M 图（铅垂平面内的弯曲）图（铅垂平面内的弯曲） 1kN mT max20.010.21kN m22M由内力图及强度公式

21、可判断危险截面在由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处处 1kN mT max20.010.21kN m22M由内力图及强度公式可判断危险截面在由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处处 确定确定AB 轴的直径轴的直径 2222r430.75320.75MTMTWd 0.0438m 所以所以AB 轴的直径轴的直径d = 44mm 。 223320.75MTd 32323632 (1.0 10 )0.75 (1.0 10 )160 10 例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径上作用有径向力向力Fy = 3.64kN，切向力，切向力Fz = 1

22、0.0kN，在齿轮，在齿轮2 上作用有径向上作用有径向力力 ，切向力，切向力 。若轴的直径。若轴的直径d = 52mm ，直径直径D1 = 200mm ，D2 = 400mm ，许用应力，许用应力 = 100MPa ，按第四强度理论校核轴的强度。按第四强度理论校核轴的强度。 1.82kNzF 5.0kNyF （左视图）（左视图） 将力将力 向轴简化向轴简化zF作用在截面作用在截面A 上上xz 平面内的横向力平面内的横向力作用在截面作用在截面A 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 解：解： 确定计算简图，计算轴承约束力确定计算简图，计算轴承约束力 10.0kNzF 111kN m2zF DM Fy滑移

23、滑移 将力将力 向轴简化向轴简化yF 作用在截面作用在截面C 上上xy 平面内的横向力平面内的横向力作用在截面作用在截面C 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 5.0kNyF 221kN m2yF DM 滑移滑移zF以轴为研究对象，建立平衡方程以轴为研究对象，建立平衡方程 ()0:zMF D0.10.30.60yyyFFF ()0:yMF D0.10.30.60zzzFFF 解得：解得： D1.893kNyF D0.757kNzF T 图（扭转）图（扭转） Mz 图（图（xy 平面内的弯曲）平面内的弯曲） My 图（图（xz 平面内的弯曲）平面内的弯曲） 1kN mT A0yM B10 0.11.0

24、kN myMC0.757 0.30.227kN myMD0yM A0zM B3.64 0.10.364kN mzM C1.893 0.30.568kN mzMD0zM 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 强度校核强度校核 由内力图及强度公式可判由内力图及强度公式可判断危险截面在断危险截面在B 处处 22BBr4222BBB0.75()0.75yzMTWMMTW 22626332(0.3641.0 ) 100.75 1.0100.052 99.4MPa 所以轴的强度满足要求。所以轴的强度满足要求。 二、弯拉（压）扭组合二、弯拉（压）扭组合 横向力横向力 SyFyM（对实心截面引起切应力很小

25、，忽略）（对实心截面引起切应力很小，忽略） MyzyzMzMyII SzFzM力偶矩力偶矩 TPTI 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 轴向力轴向力 NFNNFA 危险截面为危险截面为A截面截面 2.2.强度条件强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面A上危险点上危险点D1 1的应力状态，求得的应力状态，求得 2211(4)220 2231(4)2 22r34 22r43 在圆轴表面处一点正应力和切应力同时有最大值，强在圆轴表面处一点正应力和切应

26、力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值度条件的相当应力有最大值 MMW TPTW 按第三强度理论，强度条件按第三强度理论，强度条件 按第四强度理论，强度条件按第四强度理论，强度条件 NNFA 22r34 22r43 22r3NMT()4 22r4NMT()3 例：例：水平折杆结构受力如图所示，钢制圆杆的横截面面积水平折杆结构受力如图所示，钢制圆杆的横截面面积A = 8510-4m2，抗扭截面系数，抗扭截面系数WP = 20010-6m3，抗弯截面系数，抗弯截面系数Wz = 10010-6m3，钢材的许用应力，钢材的许用应力 = 140MPa ，试按第三强度理论，试按第三强度理论对对AB段进

27、行强度校核。段进行强度校核。 解：解： 确定计算简图确定计算简图 将力将力F1 平移至平移至B 端，附加一个力偶端，附加一个力偶 M1 = 80.5 = 4kNm将力将力F2 平移至平移至B 端，附加一个力偶端，附加一个力偶 M2 = 200.5 = 10kNm 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 FN 图（轴向拉伸）图（轴向拉伸） T 图（扭转）图（扭转） Mz 图（图（xy 平面内的弯曲）平面内的弯曲） My 图（图（xz 平面内的弯曲）平面内的弯曲） N20kNF 4kN mT 10kN myM max8kN mzM 强度校核强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端端2m 处，计算危处，计算危险点在横截面的应力值险点在横截面的应力值 22NyzMMFAW 36P4 1020MPa200 10TW 2222r34130.414 20136.4MPaxx 所以所以AB 段强度满足要求。段强度满足要求。 130.41MPa 3232346(10 10 )(8 10 )20 10