2019年沈阳理工大学秦俭常微分大纲修改版.doc

1、常微分方程课程教学大纲课程代码： 090131018课程英文名称： Ordinary Differential Equations 课程总学时： 64 讲课： 64 实验： 0 上机： 0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间： 2010.7一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课， 通过本课程的学习， 可以使学生获得关于 常微分方程的基本理论知识， 掌握普通的线性微分方程的求解办法， 为对非线性微分方程的求解 打下一定的基础， 同时， 使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象， 或解决工 程技术问题 , 是进一步学习偏微分方程

2、、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分 方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和 代数运算的能力。（二）知识、能力及技能方面的基本要求1. 基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、 解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、 以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法； 求矩阵指数， 求解常系数线性微分方程组； 非线性微

3、分 方程的稳定性、 V 函数方法。2. 基本理论和方法： 掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、 解对初值的连续依赖定理等理论， 并能应用到具体的证明题中。 了解非线 性微分方程的基本理论， 会对稳定性等做出讨论。 培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力； 对微 分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。3. 基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。（三）实施说明 1教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教 学，培养学生思考问题、 分析问题和解决问题的能力； 引导和

4、鼓励学生通过实践和自学获取知识， 培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。2 教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以 确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。（四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数 2。（五）对习题课、实践环节的要求1. 至少两章安排一次习题课，总学时在 10 学时左右。2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合 的方式进行。 主讲教师通过批改学生的作业， 将作业情况反馈给学生， 要补充有一定难度和综合

5、度的练习题，以拓宽同学们的思路。（六）课程考核方式1 .考核方式：考试2 考核目标：在考核学生对常微分方程基本知识、基本原理掌握的基础上，重点考核学 生的运用适当解法的能力和对问题的分析能力。3 成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况 等）占15%期中成绩占15%期末考试成绩占 70%（七）参考书目常微分方程（第二版），王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，高等教育出版社，1983.常微分方程教程（第二版），丁同仁，李承治编，高等教育出版，1991.常微分方程（第二版），叶严谦编，高等教育出版社，1982.常微分方程，东北师范大学数学系编，高等教育出版社，198

6、2.二、中文摘要常微分方程是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。本课程通过对各种类型 的常微分方程理论和解法的研究，使学生掌握常微分方程基础知识、基本计算方法以及如何解决实际问题的能力。课程主要内容包括一阶及高阶线性常微分方程基本解法及理论、常微分方程组理论等。本课程将为后续课程的学习奠定重要的基础。三、课程学时分配表序号教学内容学时讲课实验上机1绪论221.1常微分方程模型、基本概念和发展历史222一阶微分方程的初等解法12122.1变量分离方程与变量变换222.2线性微分方程与常数变易法222.3恰当微分方程与积分因子442.4一阶隐式微分方程与参数表示222.5习题课223一阶微分

7、方程解的存在定理12123.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法443.2解的延拓223.3解对初值的连续性和可微性定理443.4习题课224高阶微分方程16164.1线性微分方程的一般理论444.2常系数线性微分方程的解法664.3高阶微分方程的降阶和幕级数解法444.4习题课225线性微分方程组16165.1存在唯一性定理225.2线性微分方程组的一般理论665.3常系数线性微分方程组665.4习题课226非线性微分方程和稳定性666.1稳定性226.2V函数方法226.3习题课22合计6464四、教学内容及基本要求第1部分绪论总学时（单位：学时）:2 讲课:2实验:0上机:0第1.1部分 常

8、微分方程模型、基本概念和发展历史（讲课 2学时） 具体内容：1）了解常微分方程典型模型；2 ）了解微分方程解的形式、方程的阶；理解微分方程线性与非线性区别；重 点：微分方程的阶难 点：线性微分方程与非线性微分方程的判断习 题：此部分应布置一次至少两道题的课后习题，内容可覆盖微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程的判断。第2部分一阶微分方程的初等解法总学时（单位：学时）:12 讲课:12 实验:0上机:0第2.1部分变量分离方程与变量变换（讲课 2学时） 具体内容：1）理解变量分离方程、 齐次微分方程和可化为变量分离方程的形式之间的转化关系；掌握此类微分方程的求通解方法。2 ）会用适当的变量

9、变换求解微分方程。第2.2部分 线性微分方程与常数变易法（讲课 2学时） 具体内容：1）理解常数变易法；掌握线性微分方程求通解方法。2）掌握n阶伯努利微分方程求通解方法。第2.3部分 恰当微分方程与积分因子（讲课 4学时） 具体内容：1 ）理解恰当微分方程成立的条件、积分因子概念；2）掌握恰当微分方程求解方法3）利用积分因子求解非恰当微分方程4）会做关于积分因子的证明问题。第2.4部分一阶隐式微分方程与参数表示（讲课 2学时） 具体内容：1 ）理解四种隐式方程形式，掌握四种隐式方程求解方法及相互关系。重点： 常数变易法、一阶隐式方程求解。难 点： 非恰当微分方程的积分因子解法。习 题： 此部分

10、应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容覆盖各类微分方程。第 2.5 部分 习题课（讲课 2 学时）具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。第 3 部分 一阶微分方程解的存在定理 总学时 （单位：学时 ）:12 讲课 :12 实验 :0 上机:0第 3.1 部分 解的存在唯一性定理与逐步逼近法（讲课 4 学时） 具体内容：1） 理解利普希茨条件、解的存在唯一性定理；2） 掌握构造皮卡序列的方法。第 3.2 部分 解的延拓（讲课 2 学时）具体内容：1） 理解解的延拓的几何意义、延拓区间；2） 掌握初值问题解的存在区间求法。第 3.3 部分 解对

11、初值的连续性和可微性定理（讲课 4 学时） 具体内容：1） 理解解对初值的连续性和可微性定理；2） 掌握关于初值的偏导在确定点处的表达式求法。第 3.4 部分 习题课（讲课 2 学时）具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。重 点： 解对初值的连续性和可微性定理证明。难 点： 关于初值的偏导表达式应用。习 题：此部分应布置至少一次至少两道题的课后习题， 内容覆盖对称性定理、 对初值的偏导计算等。第 4 部分 高阶微分方程 总学时 （单位：学时 ）:16 讲课 :16 实验 :0 上机:0 第 4.1 部分 线性微分方程的一般理论（讲课 4 学时

12、） 具体内容：1） 理解函数线性相关性与朗斯基行列式的关系、n阶齐次线性微分方程通解的结构、n阶非齐次线性微分方程的常数变易法；2） 掌握相关性的证明题、给定基本解组会求n阶非齐次线性微分方程的通解。第 4.2 部分 常系数线性微分方程的解法（讲课6学时）具体内容：1）理解复值函数与复值解、欧拉待定指数函数法、比较系数法、拉普拉斯变换法；2）掌握齐次方程、欧拉方程、非齐次方程的通解求法。第 4.3 部分 高阶微分方程的降阶和幂级数解法线性微分方程的一般理论（讲课4 学时）具体内容：1） 理解特殊方程降幂方法、幂级数解法；2） 掌握特殊方程降幂求解过程、二阶线性微分方程的幂级数解法。 .第 4.

13、4 部分 习题课（讲课 2 学时）具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。重 点：欧拉待定指数函数法。难 点：比较系数法。习 题： 此部分应布置至少三次至少十道题的课后习题，内容覆盖证明题，求通解问题等。第 5 部 线性微分方程组 总学时 （单位：学时 ）:16 讲课 :16 实验 :0 上机:0第 5.1 部分 存在唯一性定理（讲课 2 学时） 具体内容： 1）掌握存在唯一性定理，理解存在唯一性定理证明过程。第 5.2 部分线性微分方程组的一般理论（讲课 6 学时） 具体内容：1）理解线性微分方程组的矩阵表示；掌握n 阶线性微分方程的初值问题

14、与矩阵表示的方程组间的相互转化。2）理解方程组的相关性与向量函数的朗斯基行列式的关系、基解矩阵相关定理；3）掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法应用。第 5.3 部分 常系数线性微分方程组（讲课 6 学时）具体内容： 1）理解矩阵指数性质；掌握基解矩阵计算公式。 2）掌握系数矩阵的特征根法应用及与矩阵指数的关系。第 5.4 部分 习题课（讲课 2 学时）具体内容： 1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。 2）课后题及各类题型讲解。重 点： 非齐次线性微分方程组求通解。难 点： 基解矩阵与矩阵指数的关系。习 题：求通此部分应布置至少两次至少六道题的课后习题， 内容覆盖相关性证明题， 求基解矩阵、 解问题等。第 6 部分 非线性微分方程和稳定性 总学时 （单位：学时 ）:6 讲课:6 实验 :0 上机 :0第 6.1 部分 稳定性（讲课 2 学时）具体内容：1）理解李雅普诺夫稳定性、零解稳定性定理；2）掌握非线性微分方程零