2007年乐清中学自主招生考试数学试题卷.doc

1、2007 年乐清中学自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1全卷共三大题，满分120 分，考试时间为100 分钟。2全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷 的相应位置上。做在试题卷上无效。3请用钢笔或圆珠笔在答题卷 密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。4答题过程不准使用计算器。祝你成功 !一、选择题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1如果一直角三角形的三边为a、b、c，B=90 ，那么关于x 的方程 a(x2-1) 2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实

2、数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2如图，P1 、P2 、 P3 是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P1 A1O、 P2 A2 O、 P3 A3O ，设它们的面积分别是S1 、 S2 、 S3 ，则AS1S2S3BS2S1S3CS1S3S2DS1S2S3第 2 题3如图，以 BC 为直径，在半径为2 圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点 D ，连接CD ，则阴影部分的面积是A 1 B 2 C111 D222第 3 题xya32xy5a4由得 a 3, 则 m的取值范围是x y a mAm 3B m 3C m 3D m 35如图，矩形A

3、BCG（ ABBC）与矩形CDEF 全等，点B 、C、 D在同一条直线上，APE 的顶点 P 在线段 BD 上移动，使APE为直角的点P 的个数是A0B1C2D3第5题6已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0a3),A （x1， y1） B(x 2， y2 )是抛物线上两点，若x1x 2,且 x1+x 2=1 a,则A y1 y 2 Dy1 与 y2 的大小不能确定二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分把答案填写在题中横线上）7 二次函数 y ax2+(a b） xb 的图象如图所示，那么化简a22abb2| b | 的结果是 _ _.a第 7 题8 如图所示，在正方形ABCD

4、中， AO BD、 OE、 FG、 HI 都垂直于 AD， EF、 GH、 IJ 都垂直于 AO，若已知SAJI=1，则 S 正方形 ABCD=第 8 题9将一个棱长为 8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成 64 个同样大小的小正方体,其中所有恰有 2 面涂有颜色的小正方体表面积之和为10用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（ 1）第 4 个图案中有白色纸片张（ 2）第 n 个图案中有白色纸片张（ 3）从第 1 个图案到第100 个图案，总共有白色纸片张第10题O,36O,11. 如图所示 , 线段AB与 CD都是 O中的弦 , 其中108 ,ABa CDCDb

5、AB则 O的半径 R=第 12题12阅读下列证明过程：第11题已知，如图四边形ABCD 中， AB DC ，AC BD， AD BC，求证：四边形ABCD 是等腰梯形读后完成下列各小题(1) 证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：(2)作 DE AB 的目的是：(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是：(4) 判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是(5)若题设中没有AD BC，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗？为什么？答2007 年乐清中学自主招生考试数学标准答案一、选择题（本题共6 小题，每小题5 分，共30 分在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）题 号123456

6、答 案ADACCA二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分把答案填写在题中横线上）7 _ 1_8 256957610（ 1）13（2）3n+1（3） 1525011. a b或 ab12 (1) 没有错误(2)为了证明AD BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义(5)不一定，因为当AD BC 时，四边形ABCD 是矩形三、解答题 （本题共5 小题，共 60 分解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13. （本小题 10 分）某公园门票每张 10 元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，

7、还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。年票分 A、B、C 三类： A 类年票每张 120 元，持票者进人公园时无需再购买门票；B 类年票每张60 元，持票者进入公园时，需再购买门票，每次 2 元； C 类年票每张 40 元，持票者进入该公园时，需再购买门票，每次 3 元。（ 5 分）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80 元花在该公园的门票上，试通过计算，找出可使进人该公园的次数最多的购票方式；（ 5 分）求一年中进人该公园至少超过多少次时，购买A 类票比较合算。14（本小题12分）如图 1 所示，在正方形ABCD中， AB=1， A

8、C 是以点 B 为圆心。 AB 长为半径的圆的一段弧，点 E 是边 AD上的任意一点（点 E 与点 A、 D不重合），过 E 作 AC所在圆的切线，交边 DC于点 F，G为切点。（ 4 分）当 DEF 45 时，求证点G为线段 EF 的中点； （ 4 分）设 AE=x， FC=y ，求 y 关于 x 的函数解析式；并写出函数的定义域；（ 4 分） 图 2 所示，将 DEF沿直线 EF翻折后得1511是否 DEF，当 EF=6时，讨论 ADD 与 EDF相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。图 1图 2解：15（本小题 12 分）二次函数 y ax2bx c 的

9、图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（ 1， 0）和点 B（ 0， l ）。（ 1）（ 4 分）请判断实数 a 的取值范围，并说明理由；（ 2）（4 分）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C，当 AMC面积等为 ABC面积的 5 倍时，求 a 的值。4（ 3）（ 4 分）是否存在实数 a，使得 ABC为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由。（ 3）由 1 a 0，设 ABC为直角，由AC 2AB 2BC 2 ，得(11)2 2 (1 12)aa解得a1，不合题意所以不存在。16 （本小题12 分）如图所示， a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，

10、在a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点B， C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处。某时刻，监测点 B 收到发自静止目标P 的一个声波， 8s 后监测点 A ，20 s 后监测点 C 相继收到这一信号。在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s。（ 1）（ 6 分）设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B,C 到 P 的距离，并求 x 值；（ 2）（ 6 分）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离（结果精确到0.01 km ）。解：依题意， PA PB=1. 5 8=12 (km) ， PCPB=1.5 20=30（ km ）因此 P

11、B （ x 一 12） km，PC=（ 18 x） km.在 PAB 中， AB= 20 km ，PA2AB 2PB 2x220 2( x12)23x 32cos PAB2PA AB2x 205x72 x同理，在 PAC 中， cos PAC3x由于 cosPABcosPAC即 3x 32 72x解得 x 132（ km）5x3x7(2) 作 PDa,垂足为 D. 在 Rt PDA 中，3x32313232PD =PAcosAPD=PAcos PAB =717.71（ km）x55x答：静止目标P 到海防警戒线 a 的距离约为 17. 71 km.17 (本小题 14 分 )已知 AB 是半圆

12、 O 的直径，点C 在 BA 的延长线上运动（点C 与点 A 不重合），以 OC 为直径的半圆M 与半圆 O 交于点 D ， DCB 的平分线与半圆M 交于点 E。（ 1）（ 4 分）求证： CD 是半圆 O 的切线（图 1）；（ 2）（ 5 分）作 EF AB 于点 F（图 2），猜想 EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（ 3）（ 5 分）在上述条件下，过点 E 作 CB 的平行线交 CD 于点 N，当 NA 与半圆 O 相切时（图 3），求 EOC 的正切值。图 1图 2图 3（1）证明：如图1，连结 OD，则 OD 为半圆 O 的半径 OC 为半圆 M 的直径 CDO=90

13、CD 是半圆 O 的切线。（ 2）猜想： EF1OA。图2证法一： 如图，连结 OD、OE，延长 OE 交 CD 于点 K ，作 EG CD 于点 G，则 EG/OD 。 CE 平分 DCB OCE= KCE EF ABEG=EF OC 是半圆 M 的直径， E 为半圆 M 上的一点 CEO= CEK=90 CE 为公共边 COE CKE OE=KE EG/ODDG=GK EFEG1OD 1OA22证法二： 如图，以OC 为直径作 M ，延长 EF 交 M 于点 P，连结 OD。 EF COEF PF1 EP， EO PO2 CE 平分 DCB DCE= ECODEOEODEP11 OD=EP EFODOA22证法三： 如图，连结OD、 ME ， OD、 ME 相交于点H CE 平分 DCB DEOE MEOD，OH1 OD2 EF CO MFE= MHO=90 EMF= OMH ，ME=MO MEF MOH11 EF=OH EFODOA22（ 3）解：如图3，延长 OE 交 CD 于点 K设 OF=x，EF=y ，则 OA=2y NE/CB ， E