数学建模与创新思维训练

1、数学建模与创新思维训练数学建模与创新思维训练 吴孟达吴孟达2016.7.262016.7.26全国数学建模竞赛培训与应用研究研讨会全国数学建模竞赛培训与应用研究研讨会- -上海上海1/39l 数学建模是什么？数学建模是什么？l 数学建模特征数学建模特征l 数学建模活动的功能数学建模活动的功能l 数学建模与创新思维训练数学建模与创新思维训练l 关于数学建模创新性的几个误区关于数学建模创新性的几个误区l 两个数学建模创新案例两个数学建模创新案例 目目 录录2/39 数学建模是什么？l 数学建模是一座数学建模是一座“桥梁桥梁” 连接连接现实世界和想象世界，但不完全属于任现实世界和想象世界，但不完全属

2、于任 一个世界。一个世界。l 数学建模是一个数学建模是一个“平台平台” 由由“知道知道”到到“会用会用”的科研实践平台的科研实践平台 由由“知知”到到“识识”的催化平台的催化平台 l 数学建模是一种数学建模是一种“量化思考模式量化思考模式” 智识：智识：有价值导有价值导向和问题意识的向和问题意识的思考能力思考能力3/39 数学建模三大特征l 面向问题面向问题的数学教学的数学教学l 多学科知识交叉应用多学科知识交叉应用l 以学生实践为主以学生实践为主4/39 数学建模活动四项功能l 加强实践，重新理解知识；加强实践，重新理解知识；l 建立关联，完善知识结构；建立关联，完善知识结构；l 多元思考多

3、元思考，激励发散思维；，激励发散思维；l 团队协作，提升全面素质团队协作，提升全面素质5/39 从四个方面从四个方面谈谈谈谈关于数学关于数学建模建模中的创新思维训练中的创新思维训练。 1. 1. 直觉直觉透视现象本质的洞察力透视现象本质的洞察力 2. 求同求同知识结构的完善知识结构的完善 3. 3. 求异求异批判精神与批判精神与深度思考习惯的深度思考习惯的养成养成 4. 4. 本源本源从问题实际中发掘创新点从问题实际中发掘创新点 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练6/39 1. 1. 直觉直觉透视现象本质的洞察力透视现象本质的洞察力 创新离不开创新离不开直觉。直觉。 培养更培养更

4、精准、更深刻的精准、更深刻的“第一感觉第一感觉”。 感性直觉经磨砺上升为理性直觉。感性直觉经磨砺上升为理性直觉。 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练7/39 乙方获胜条件：乙方获胜条件： k k 0 0等价于等价于平方律模型平方律模型200 xxyyyr pbxar p案例案例1. Lanchester 1. Lanchester 作战模型作战模型 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练8/39 案例案例 2. 2. 车速越快，车流量越大吗？车速越快，车流量越大吗？ 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练 车辆安全距离实验数据车辆安全距离实验数据 速度单位：英

5、里速度单位：英里/ /小时小时 距离单位：英尺距离单位：英尺 车流量车流量 = = 车流密度车流密度车辆速度车辆速度 结论：结论： 速度速度2020252530303535404045455050距离距离4242565673.573.591.591.5116116142.5142.5173173速度速度555560606565707075758080距离距离209.5209.5248248292.5292.534334340140146446426.89(/)43.27()vmilehkm/h9/39 2. 求同求同知识结构的完善知识结构的完善 求同思维，是创新思维的一种方式。求同思维，是创新

6、思维的一种方式。 人们的知识人们的知识结构结构是否完善不应只包括掌握知识数是否完善不应只包括掌握知识数量的多少，还应包括应用这些知识的量的多少，还应包括应用这些知识的“软件软件”能力能力。数数学建模教学应更多地关注学习者这种关于知识的学建模教学应更多地关注学习者这种关于知识的“应用应用软件软件”的形成与强化。也就是说，我们在的形成与强化。也就是说，我们在教学教学中应有意中应有意识地识地将将注意力放在注意力放在“联系联系”二字上。二字上。 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练概括地说，概括地说， 完善的知识结构完善的知识结构 = =“知识知识+ +联系联系”10/39 关联主义关联主

7、义 (connectivism) (connectivism) 将学习看作创建连将学习看作创建连接和构建网络的过程。知识可被视为培养和遍接和构建网络的过程。知识可被视为培养和遍历这些连接的能力，并能及时获得专业信息。历这些连接的能力，并能及时获得专业信息。 “ “最小二乘法最小二乘法”与与“擦黑板擦黑板” 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练11/39 “ “一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间的类似；如果他能判明论证之间的类似，他就是一个优的类似；如果他能判明论证之间的类似，他就是一个优秀数学家；要是他意识到理论之间的类似他就成为杰

8、出秀数学家；要是他意识到理论之间的类似他就成为杰出的数学家。的数学家。” 巴拿赫巴拿赫 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练12/39 最高最高响应比优先（响应比优先（HRRNHRRN）调度）调度策略。策略。+=等待时间 服务时间优先级服务时间效率与公平兼顾效率与公平兼顾案例案例3. 3. 眼科病床的合理安眼科病床的合理安排排 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练13/39 3. 3. 求异求异批判精神与批判精神与深度思考习惯的养成深度思考习惯的养成 批判精神以及深度思考能力的弱化现象。批判精神以及深度思考能力的弱化现象。 案例案例4 4. . 行走步长问题行走步长问题

9、脚的运动速度脚的运动速度 vlv？2v？ 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练14/39 4. 4. 本源本源从问题实际中发掘创新点从问题实际中发掘创新点 问题问题方法方法 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练案例案例5. 5. 锁具装箱锁具装箱- -抱怨度度量抱怨度度量中国学生中国学生美国学生美国学生15/39 案例案例6 6： College Coaching Legends 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练O奖奖主要方法主要方法国内国内1灰色相关分析，模糊评价，灰色相关分析，模糊评价，AHP国内国内2灰色相关分析，模糊评价，滑动平均，灰色相关分析，

10、模糊评价，滑动平均，Shannon熵熵国内国内3谷歌趋势统计，线性拟合，谷歌趋势统计，线性拟合，AHP+最大熵模型，灰色相关分析最大熵模型，灰色相关分析国内国内4AHP，模糊综合评价，模糊综合评价，熵方法熵方法，线性加权模型线性加权模型，聚合模型聚合模型国内国内5双层评价设计，简单模型双层评价设计，简单模型+AHP-模糊综合评价模糊综合评价模型模型国内国内6PCA，聚类分析，相似性评价模型聚类分析，相似性评价模型306801.考虑对手权重的队伍能力计算（借鉴考虑对手权重的队伍能力计算（借鉴PR）；2. 队伍能力队伍能力 = 队员能力队员能力教练能力（教练能力（深入深入）；3. 比分出现概率比分

11、出现概率：极大似然法思想应用极大似然法思想应用（得当）（得当）16/39 案例案例7 7： Are we heading towards a thirsty planet? Gray47%AHP30%MLR16%PCA16%Fuzzy13%Verhulst9%BP8.5%Entropy7%ARIMA7%Markov3%GA or SA3% 美国优秀论文方法统计：美国优秀论文方法统计： 52831 52831：MLR MLR 52849 52849：微分方程组：微分方程组 52494 52494：LogisticLogistic 43443 43443：水足迹：水足迹 ，常规预测常规预测，印度，

12、农作物，印度，农作物 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练17/394344343443：常规预测常规预测 工业、农业、生活用水预测工业、农业、生活用水预测 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练18/39 案例案例7 7： Are we heading towards a thirsty planet? Gray47%AHP30%MLR16%PCA16%Fuzzy13%Verhulst9%BP8.5%Entropy7%ARIMA7%Markov3%GA or SA3% 美国优秀论文方法统计：美国优秀论文方法统计： 52831 52831：MLR MLR 52849 52

13、849：微分方程组：微分方程组 52494 52494：LogisticLogistic 43443 43443：水足迹：水足迹 ，常规预测常规预测，印度，农作物，印度，农作物 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练19/39 结论：结论：l 贴标签式的建模思路不符合创新思维的规律，有害贴标签式的建模思路不符合创新思维的规律，有害于创新思维习惯的养成，应予以摒弃。于创新思维习惯的养成，应予以摒弃。l 上述现象的发生，数模教师应反思自己的责任。上述现象的发生，数模教师应反思自己的责任。l 由问题出发，充分发掘问题内涵，按照问题中蕴含由问题出发，充分发掘问题内涵，按照问题中蕴含的内生动力

14、，寻求建立合适模型，此种训练有利于的内生动力，寻求建立合适模型，此种训练有利于创新思维模式的形成，应得到鼓励。创新思维模式的形成，应得到鼓励。 数学建模中的创新数学建模中的创新思维训练思维训练20/39 好好创意、好想法应当既创意、好想法应当既在意料之外在意料之外，又又在在情理情理之中。之中。 新颖新颖性（独特性）与合理性皆备。性（独特性）与合理性皆备。 关于数学建模中创新性的几个误区关于数学建模中创新性的几个误区21/39误区一误区一：数学用得越高深，越有创造性。：数学用得越高深，越有创造性。 解决问题解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的是第一原则，最合适的方法是最好的方法。方法。误区二

15、误区二：创造性主要体现在建模与求解上。：创造性主要体现在建模与求解上。 创造性创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现以有多种表现形式。形式。 关于数学建模中创新性的几个误区关于数学建模中创新性的几个误区22/39误区三误区三：好创意来自于灵感，可遇不可求：好创意来自于灵感，可遇不可求。 好好创意来自于对数学方法的掌握程度与对创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻问题理解的透彻程度。程度。从实际出发往往是创新的源泉。从实际出发往往是创新的源泉。 关于数学建模中创新性的几个误区关于数学建模中创新性的几个误区23/39案例一：案例一：锁具锁具

16、装箱（装箱（94-B94-B某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5 5个槽，个槽，每个槽的高度从每个槽的高度从1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6这这6 6个数中任取一数。个数中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对由于工艺及其它原因，制造锁具时对5 5个槽的高度还有两个槽的高度还有两个限制：至少有个限制：至少有3 3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为为5 5。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中从顾客的利益出发，自然

17、希望在每批锁具中“一把钥一把钥匙开一把锁匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5 5个槽的高度中有个槽的高度中有4 4个相同，另一个槽的高度差为个相同，另一个槽的高度差为1 1，则可，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。能互开；在其他情况下，不可能互开。24/39 原来原来，销售部门在一批锁具中随意地取每，销售部门在一批锁具中随意地取每6060个装一箱出售。团个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互体顾客往往购买几

18、箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，开的情形。现聘你为顾问，回答以下问题回答以下问题：（1 1）每一批锁具有多少个，装多少箱。）每一批锁具有多少个，装多少箱。（2 2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。抱怨。（3 3）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。证一定不会出现互开的情形。（4 4）按照原来的装箱

19、办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 25/39锁具装箱锁具装箱抱怨度度量抱怨度度量 顾客顾客的抱怨程度一方面取决于购买的总数量，另一方面取决的抱怨程度一方面取决于购买的总数量，另一方面取决于检验的结果，并且从心理学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。于检验的结果，并且从心理学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。 检验检验方法：从购买的方法：从购买的T箱中取出箱中取出t箱，再从这箱，再从这t箱中每箱各取箱中每箱各取m把，把，对取出的对取出的tm把锁具作完全互开试验

20、。把锁具作完全互开试验。 定义抱怨函数为：定义抱怨函数为： 21(,)nKnKC TeT其中，其中，K1 ： 表示购买箱数在整个抱怨程度中所占的比重；表示购买箱数在整个抱怨程度中所占的比重； K2 ： 表示检验结果在整个抱怨程度中所占的比重；表示检验结果在整个抱怨程度中所占的比重； n ： 顾客顾客检验到有检验到有n次互开的比率次互开的比率21 0 0 %ntmnC26/39对购买一箱，对购买一箱，m1010的情形进行具体分析的情形进行具体分析 。210100%nnC如果如果 为确定参数为确定参数K1，K2，认为：，认为： 122,TT(1)(2),nn则则 (1)(2)122 ( ,)(,)

21、nnC TC T所以所以 11K 当互开率达到当互开率达到 2106215C时，抱怨达到极值，设为时，抱怨达到极值，设为100. 100. 所以所以 215ln1002K 所以，所以， 15ln10021(,)nnC TeT锁具装箱锁具装箱抱怨度度量抱怨度度量 27/39 以下以下就购买就购买1 1、2 2箱情形作具体分析。箱情形作具体分析。 用用计算机进行计算机进行10001000次模拟检验，得互开次数统计结果为：次模拟检验，得互开次数统计结果为： 互开次数互开次数n 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 7 概率概率Pn（% %） 13.7 26.9 13.7 26.

22、9 28.6 28.6 17.9 17.9 8.7 2.9 0.9 0 8.7 2.9 0.9 0 购买一、二箱的平均互开率为（每箱抽样购买一、二箱的平均互开率为（每箱抽样1010把）：把）： 6110.04nnnP6210.01nnnP故购买一、二箱的平均抱怨程度分别为：故购买一、二箱的平均抱怨程度分别为： 1(1,)3.98C2(2,)0.71C即购买一箱的团体顾客抱怨程度更大。即购买一箱的团体顾客抱怨程度更大。启示：从实际出发，察人所未察，见人所未见。启示：从实际出发，察人所未察，见人所未见。锁具装箱锁具装箱抱怨度度量抱怨度度量 28/39“锁具装箱锁具装箱”建模小结：建模小结：1 1、

23、从实际出发，往往是发掘创新点的源泉；、从实际出发，往往是发掘创新点的源泉；2 2、使深入思考成为习惯。、使深入思考成为习惯。锁具装箱锁具装箱抱怨度度量抱怨度度量 29/39 案例二：案例二： 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 （研究生研究生0909D D）30/39 某城市拟增加一批配备有某城市拟增加一批配备有GPSGPS卫星定位系统及先卫星定位系统及先进通讯设备的进通讯设备的110110警车。设警车。设110110警车的平均巡逻速度警车的平均巡逻速度为为20km/h20km/h，接警后的平均行驶速度为，接警后的平均行驶速度为40km/h40km/h。警车。警车配置及巡逻方案要

24、尽量满足以下要求：配置及巡逻方案要尽量满足以下要求： D1.D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于 9090；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。 D2.D2. 使巡逻效果更显著；使巡逻效果更显著； D3.D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 31/39 请回答以下问题：请回答以下问题：一一. . 若要求满足若要求满足D1,D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？该区最少需要配置多少辆警车巡逻？二二. . 请给出评价巡逻效果

25、显著程度的有关指标。请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。三三 请给出满足请给出满足D1D1且尽量满足且尽量满足D2D2条件的警车巡逻方案及条件的警车巡逻方案及 其评价指标值。其评价指标值。四四. . 在第三问的基础上，再考虑在第三问的基础上，再考虑D3D3条件，给出你们的警条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。车巡逻方案及其评价指标值。五五 如果该区域仅配置如果该区域仅配置1010辆警车，应如何制定巡逻方案辆警车，应如何制定巡逻方案，使，使D1D1、D2D2尽量得到满足？尽量得到满足？ 六六. . 若警车接警后的平均行驶速度提高到若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h50km/h

26、，回答，回答问题三。问题三。七七. . 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。你们相应的解决方案。 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 32/39第三问第三问 本问的主要技术难点在于要求二十几辆车在本问的主要技术难点在于要求二十几辆车在“动态巡逻动态巡逻”条件下保持条件下保持“分布均匀性分布均匀性”，求最优，求最优解的计算复杂度太高，因此，解的计算复杂度太高，因此，寻找可接受的计算复寻找可接受的计算复杂度与结果的优化之间的平衡点，是本问的关键所杂度与结果的优化之间的平衡点，是本问的关键所在。在。本问的求解充分体

27、现了建模方法的多样性，为本问的求解充分体现了建模方法的多样性，为参赛者充分发挥创造性提供了很好的机会。主要解参赛者充分发挥创造性提供了很好的机会。主要解题方法概述如下：题方法概述如下： 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 33/39 1 1）单车分区法单车分区法：按照覆盖率要求作区域划分，：按照覆盖率要求作区域划分，每个区域固定一辆警车巡逻。此方法主要特点是每个区域固定一辆警车巡逻。此方法主要特点是计算简单，但是其代价是需要车辆数较多。例如计算简单，但是其代价是需要车辆数较多。例如静态时静态时1717辆车即能满足覆盖率要求，如果分成辆车即能满足覆盖率要求，如果分成1717个区域，

28、每个区域个区域，每个区域1 1辆车，则在动态时要保持满足辆车，则在动态时要保持满足覆盖率要求就非常困难了，所以不得不增加划分覆盖率要求就非常困难了，所以不得不增加划分区域。此种方法通常要求配置区域。此种方法通常要求配置3 3辆车以上，才能辆车以上，才能达到覆盖率要求。达到覆盖率要求。 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 34/39 2 2）多车分区法多车分区法：为了改进以上单车分区法的缺点：为了改进以上单车分区法的缺点，可以考虑每个区域设置若干辆警车共同巡逻的，可以考虑每个区域设置若干辆警车共同巡逻的方法，这样可以减少一些车辆，但代价是计算难方法，这样可以减少一些车辆，但代价是计

29、算难度的增加，且每一区域配置的车辆越多，计算难度的增加，且每一区域配置的车辆越多，计算难度就越大。度就越大。 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 35/39 3 3）蚁群算法蚁群算法：此方法属于启发式搜索算法，在此次竞：此方法属于启发式搜索算法，在此次竞赛中成为主流解法，其思想是：在道路上设置一个赛中成为主流解法，其思想是：在道路上设置一个“气气味因子味因子”，某段道路上跑过的车越多，则该段道路的，某段道路上跑过的车越多，则该段道路的“气味气味”变大，并且变大，并且“气味气味”随时间变长而衰减。巡逻车随时间变长而衰减。巡逻车每到一个路口，根据路口其它各段道路的每到一个路口，根据路

30、口其它各段道路的“气味气味”大小大小，朝，朝“气味气味”最小的方向前进。想法蛮有创意，在具体最小的方向前进。想法蛮有创意，在具体实现时还要处理好多辆车的协同问题等细节。如果细节实现时还要处理好多辆车的协同问题等细节。如果细节处理得好，此方法所需要的车辆数大约为辆左右，处理得好，此方法所需要的车辆数大约为辆左右，不失为一种比较理想的方案。不失为一种比较理想的方案。 110110警车配置及巡逻方案警车配置及巡逻方案 36/39 4 4）引力场方法引力场方法：此方法与上一方法有类似之处，即每：此方法与上一方法有类似之处，即每段道路依据走过的警车多少有一个段道路依据走过的警车多少有一个“引力因子引力因子”，走过，走过的车辆越多，则的车辆越多，则“引力引力”越小；同时，任两辆车之间依越小；同时，任两辆车之间依据距离远近有一个据距离远近有一个“