数理方程第一章-2

1、深圳大学电子科学与技术学院1. 1. 统计法统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。学、生态学、经济学、社会学等。人口增长问题人口增长问题众多的生物学众多的生物学及社会学问题及社会学问题udtdu ( (Malthus模型模型) )2uutdud ( (Logistic模型模型) )建立数学物理方程建立数学物理方程深圳大学电子科学与技术学院2.2.微元法微元法：在系统中分出

2、一个微元，分析它与附：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。的微分方程。22222xuatu弦振动问题弦振动问题传输线问题传输线问题热传导问题热传导问题（波动方程（波动方程) )( (热传导方程热传导方程) )222xuatu建立数学物理方程建立数学物理方程深圳大学电子科学与技术学院3.3.规律法规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯循的数学物理方程，比如

3、利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。理量的微分方程。( (电磁场方程电磁场方程) )222222ttttHHHEEE022uu( (电位的电位的泊松方程泊松方程: :有源场有源场) )( (电位的电位的拉氏方程拉氏方程: :无源场无源场) )用于激光的用于激光的半经典理论半经典理论用于电磁场用于电磁场与电磁波的与电磁波的理论器件技理论器件技术等问题术等问题建立数学物理方程建立数学物理方程深圳大学电子科学与技术学院泛定方程泛定方程定解条件定解条件定解问题定解问题数学物理方程：数学物理方程：完整表述完整表述深圳大学电子科

4、学与技术学院一一. . 均匀弦的横振动方程均匀弦的横振动方程二二. . 传输线方程传输线方程( (电报方程电报方程) )22222uuaxt 2Ta 一维波动方程一维波动方程22222iiaxt 22222axt 21aLC 高频传输线方程高频传输线方程三三. . 电磁场方程电磁场方程222222222)(tuzuyuxua 12 a HEu 三维波动方程三维波动方程四四. . 热传导方程热传导方程tuzuyuxua)(2222222 cka 2),(tzyxuu (场点场点 t 时刻的温度分布时刻的温度分布) 三维热传导方程三维热传导方程),(txuu (振幅振幅),(, ),(txvvtx

5、ii(电流、电压电流、电压)22222uuaxt 深圳大学电子科学与技术学院初始条件与边界条件初始条件与边界条件前面谈到：前面谈到：物理规律物理规律 数学表述数学表述；我们还需要将；我们还需要将 具体条件具体条件 数学表述出来数学表述出来 所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。 从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情

6、况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。 一、初始条件一、初始条件系统内部描述与时间有关的初始状态的数学系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。表述。（1）弦振动）弦振动.)()(为为初初速速度度为为初初位位移移，物物体体若若以以：xx )()(00 xtuxutt 初始条件表述为：初始条件表述为：深圳大学电子科学与技术学院（2）热传导）热传导处的温度。时，其内部任意一点表示物体若以：),(0)(zyxMtM)(),(0MtMut 初始条件表述为：初始条件表述为： 特别说明：特别说明：

7、Poisson 方程，方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，可不提初始条件。始条件无关，可不提初始条件。 列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！.,动突然松手，任其纵向振而静止另一端被拉长一端固定长为例如：一根均匀杆，原el始位移若写成初始速度显然为零，初eut 0，就大错特错了。llexxxu0，于于是是有有位位长长度度被被拉拉长

8、长，故故单单时时杆杆被被拉拉长长了了均均匀匀的的，考考虑虑到到杆杆的的初初始始伸伸长长是是位位移移。并并不不是是杆杆上上各各处处的的初初始始是是杆杆右右端端的的初初始始位位移移，因因为为leete0 .;0000eulxuxtt时，当时，验证：当初位移：elxtxut0),(初速度：0),(0tttxuu(x,t)指的是杆上指的是杆上x点在时点在时刻刻t的位移，不是此时杆的位移，不是此时杆的长度，而是杆的伸长的长度，而是杆的伸长 深圳大学电子科学与技术学院泛定方程只含一阶微商，只有一个初始条件：泛定方程只含一阶微商，只有一个初始条件：泛定方程含二阶微商泛定方程含二阶微商 ，需要两个初始条件，需

9、要两个初始条件: :泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件（例如泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件（例如拉普拉斯方程拉普拉斯方程）)(),(0 xtxuttu)(),(0 xtxut)(0 xtut22tu数理方程：数理方程：初始条件初始条件深圳大学电子科学与技术学院 二、边界条件二、边界条件具体物理问题的边界约束状态具体物理问题的边界约束状态以以弦振动弦振动为例，弦振动时，其端点（以为例，弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个端点）所受到的约束情表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类况，通常有以下三类0uxa右端点在振动过程中始终保持不动。右端点在振动过程中始终保持不动。（1）固定端

10、（右端）固定端（右端）0),(0 tauoruax（2）自由端（右端）自由端（右端）0uxa 右端点在振动过程中不受右端点在振动过程中不受 u (位移位移)方方向的外力，从而这个端点在位移方向向的外力，从而这个端点在位移方向上的张力为上的张力为 0。0sin axxuTtgTT 深圳大学电子科学与技术学院（3）弹性支承端）弹性支承端置置：设设弹弹性性支支承承端端原原来来的的位位0 u表示弹性支承的应变。表示弹性支承的应变。则则axu 方向的引力处，沿位移定律知，这时弦在由uaxHooke0uxaTaxaxukxuT 0) axuxu （或或为弹性体的倔强系数kTk 这里这里深圳大学电子科学与技

11、术学院热传导问题热传导问题：V(体积体积)S(闭曲面闭曲面)M Mnds),(),() 1 (tzyxftzyxuS为已知函数的温度分布则边界条件为：则边界条件为：的函数上（一般依赖于为定义在)tSffuS.)2(态态与与周周围围介介质质处处于于绝绝热热状状物物体体 V则则边边界界条条件件为为：0, 0的热量流速为流经 SnuSS外面介质外面介质内内部部介介质质k1ku1u1S(3) 两种不同介质间的热交换深圳大学电子科学与技术学院S外面介质外面介质内内部部介介质质k1ku1u.为为热热传传导导系系数数k1S。，表表面面为为热热传传导导系系数数为为内内部部介介质质的的温温度度为为Sku ,。，

12、表表面面为为热热传传导导系系数数为为外外部部介介质质的的温温度度为为111,Sku:外外一一种种介介质质的的情情况况现现在在考考虑虑将将物物体体置置于于另另另一介质的热量）定律：从一介质流入导实验（这时，利用另一个热传Newton正比和两介质间的温度差成tddSuuhdQ)(1 .数数为为两两介介质质间间的的热热交交换换系系h上上的的热热流流量量为为流流过过表表面面 StddSnukdQ上上的的热热流流量量为为流流过过表表面面1StddSuuhdQ)(1 因因此此有有关关系系tddSuuhtddSnuk)(1(3) 两种不同介质间的热交换两个表面无限接近，两种介质间的热交换系数为h，取正值。由

13、于在物体表面的热量不能堆积，因此在曲面S上的热流量应该等于表面S1上的热流量。能够测量的只是和物体接触处的介质温度u1，而u1与物体表面温度u往往并不相同，这样在物体表面处与周围介质就产生热交换。深圳大学电子科学与技术学院)(1uuhnuk SSuunu1) （kh 其中其中因因此此有有关关系系tddSuuhtddSnuk)(1即即1uhuhnuk 条条件件为为热热交交换换时时，相相应应的的边边界界所所以以，当当物物体体和和外外界界有有，那么有是可测量的，设由于),(311tzyxfuu3)funuS （深圳大学电子科学与技术学院本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。本课程内容，只

14、涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。第一类边界条件：第一类边界条件：物理条件直接规定了物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如在边界上的值，如1fuS 第二类边界条件第二类边界条件：物理条件并不直接规定了物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如的法向微商在边界上的值，如2fnuS 第三类边界条件：第三类边界条件：物理条件规定了物理条件规定了 u 与其导数在边界上值之间的某个线性与其导数在边界上值之间的某个线性关系，如关系，如3)(funuS ;,1321tSfff上上，一一般般也也依依赖赖于于时时间间都都定定义义在在边边界界）说

15、说明明：（，否否则则称称之之为为非非齐齐次次；，称称之之为为齐齐次次边边界界条条件件）若若（02321 fff;3t间间界界条条件件的的两两端端均均不不含含时时）对对于于稳稳恒恒场场，上上述述边边（边边界界上上选选取取。致致相相同同，但但微微元元只只能能在在骤骤与与泛泛定定方方程程的的推推导导大大）边边界界条条件件的的推推导导，步步（4深圳大学电子科学与技术学院第一类边界条件：第一类边界条件：直接给出考察量在边界直接给出考察量在边界S上的值：上的值： 第二类边界条件：第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：给出考察量的导数在边界上的值：第三类边界条件：第三类边界条件：给出考察量及其导数的

16、线性组合：给出考察量及其导数的线性组合： 2fxuS1),(ftxuS3fxuuS321,fff（ 均为已知函数）均为已知函数）数理方程：数理方程：边界条件边界条件深圳大学电子科学与技术学院分别称为第一类，第二类，第三类分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件齐次边界条件 分别称为第一类，第二类，第三类分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件非齐次边界条件2fxuS1),(ftxuS3fxuuS0Sxu0),(Stxu0Sxuu数理方程：数理方程：边界条件边界条件（自由端/绝热）(弹性支撑/热交换)fi0深圳大学电子科学与技术学院0sin2xuutuutxuuudtdu022222222

17、222222zuyuxuxuatuxuatu数理方程包括常数理方程包括常微分方程和偏微微分方程和偏微分方程等。分方程等。由于由于同一个方程可以同一个方程可以广泛描述多种物广泛描述多种物理作用，故称为理作用，故称为“泛定方程泛定方程”。如如果函数果函数 u 和它的和它的各阶导数都是一各阶导数都是一次幂，称为线性次幂，称为线性微分方程。微分方程。波动方程：波动方程：热传导方程：热传导方程：人口增长方程：人口增长方程：孤立波方程：孤立波方程：拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：冲击波方程：冲击波方程：线性线性非线性非线性数理方程：数理方程：泛定方程泛定方程深圳大学电子科学与技术学院初始条件，边界条件，还可以

18、有衔接条件等，初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等， 统称统称“定解条件定解条件”。例如：。例如： 初始条件初始条件: : ( (初始位移初始位移) ) ( (初始速度初始速度) ) （弦振动）（弦振动） ( (初始温度分布初始温度分布) ) ( (热传导热传导) ) 边界条件边界条件: : （弦振动）（弦振动）( (起点固定起点固定) ) ( (终点被微扰终点被微扰) ) 衔接条件衔接条件: :（光由空气入水电场强度切向分量相等）（光由空气入水电场强度切向分量相等）)(),(0 xtxut0),(0 xtxu)(),(tftxuLx切切21EE)(0 xtut)(),(0 xtxut数理方

19、程：数理方程：定解条件定解条件深圳大学电子科学与技术学院一个泛定方程与相应的定解条件构成一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题定解问题”。例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是例如弦振动的一个定解问题（两端固定，初始位移是任意的，初始速度为零）可以表示为任意的，初始速度为零）可以表示为22222xuatu),(),(0 xtxut, 0),(0 xtxu00ttu0),(Lxtxu数理方程：数理方程：定解问题定解问题例例1 1：(0 x L)(0 x0)(t0)深圳大学电子科学与技术学院例例2 2：已知：均匀柔软弦，x=0是自由端，x=L固定，弦的初始位移和初始速度为任意函数要求：写出弦振动的定解问题。22222xuatu),(),(0 xtxut0),(Lxtxu00 xxu)(0 xtut(0 x0)(0 x L)(t0)深圳大学电子科学与技术学院长为长为L的弦两端固定（设其质量线密度为的弦两端固定（设其质量线密度为 ），开始时），开始时敲击弦上的点敲击