工程中的数值分析.docx

1、.工程中的数值分析开放性考试题目：工程中的数值分析分院：建筑与土木工程系班级：14 土木工程本一姓名：陈凯学号成日期：2016年 12月 14日温州大学瓯江学院教务部二一二年十一月制.1.1二分法的和算法及Excel 实现原理 : 设函数 f(x) 在a,b 上连续 , 且 f(a) f(b)0 由闭区间上连续函数的性质及定理 2-1 可知 , 方程 (2.2) 在区间 (a,b) 内至少有一个实根 . 二分法的基本思想是 : 逐步二分区间 a,b, 通过判断两端点函数值的符号 , 进一步缩小有根区间 , 将有根区间的长度缩小到充分小 , 从而求出满足精度要求的根的近

2、似值 .算法 : 给定精确度 , 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤如下 :确定区间 a,b, 验证 f(a) f(b)0, 给定精确度 . 求区间 (a,b) 的中点 c. 计算 f(c).(1) 若 f(c)=0, 则 c 就是函数的零点 ;(2) 若 f(a) f(c)0, 则令 b=c;(3) 若 f(c) f(b)0, 则令 a=c.(4) 判断是否达到精确度 : 即若 |a-b|, 则得到零点近似值 a( 或 b), 否则重复2-4.Excel 实现 : 单元格内分别输入区间 a,b 的左右端点值 , 中点值 =(a+b)/2, 依次计算出各点代入公式的 f(x) 值 ,

3、用 IF 函数比较单元格内输入 “=IF(f( 中点值 )0 ”,中点值 ,a) 如果 f( 中点值 ) 0, 则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.同理“ =IF(f(中点值 )0,b, 中点值 ) ”下个右端点取原来的右点值b.如此循环往下 , 直至某个中点值代入 f(x) 得到的解满足题目要求的近似解或者零点即 f(c)=0 则该值则为零点。1.2 不动点迭代法的原理和算法及 Excel 实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理 : 将线性方程 f(x)=0 化为一个同解方程 x=(x), 并且假设 (x) 为连续函数 , 任 取 初 值 x0, 代 入 方 程 得 到 x1= (x 0

4、 ),x 2= (x 1) xk+1= (x k),k=0,1,2, 称为求解非线性方程组的简单迭代法, 称 (x) 为迭代函数 ,x k 称为第k 步迭代值 .若 x k 收敛 , 则称迭代法收敛 , 否则称迭代法发散 .算法：（ 1）确定初值在 B2 和 D2 分别输入左端点 a 和右端点 b在 A5 中输入公式： =B2， A6输入： =A5+(D$2-B$2)/10 ，并往下复制下去在 B5 输入 f(x) 方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近 x 轴的 f 值，作为迭代的初始值。（ 2）方程化为等价方程，并定义迭代格式（ 3）迭代输入初值 x，输入迭代格式，并往下复制下

5、去.（ 4）在输入 f 的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。Excel 实现 :3x -x+1区间端点a=-1b=0xf(x)-1-1-0.9-0.629-0.8-0.312-0.7-0.043-0.60.184-0.50.375-0.40.536-0.30.673-0.20.792-0.10.899迭代式 :xk+1=(x -1)1/3k11-0.49999381.37499844812-0.49999791.37499948313-0.49999931.37499982814-0.499999

6、81.37499994315-0.49999991.37499998116-0.50000001.37499999417-0.50000001.37499999818-0.50000001.37499999919-0.50000001.37520-0.50000001.37521-0.50000001.375f(x19)=1.375不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数（ x） C1a， b 满足下列两项条件：(1)对任意 xa，b 有 ax b，(2)存在正数L1，使对任意xa， b 有, ()1，对xL则迭代过程 xk 1（x k）于任意初值 x0 a， b 均收敛于方程 xx 的根 。(3)

7、 若方程有根 ，0，只要 x 0，（）1，且在 的某领域 U （ ）内连续，则存在就有迭代法 x k 1（x k）收敛 。.1.3 Newton 迭代法的原理和算法及Excel 实现。原理： Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f （ x）=0 在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：将 f （x）在 xk 作 Taylor 一阶展开f(x)=f(xk)+f(x k)(x-x k)+1/2!f ( )(x-x k) 2, 介于 x 和 xk 之间 .略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根xk+1：xk+1=xk -f(x k)/f (x k),k=0,1,2,3

8、称为Newton 迭代法算法 : 先假定方程的有根区间为a,b ，计算 a,b 区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f （a0）0 时， a 0,b 0 即为方程的有根区间。将有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f （x ）的一次求导公式f （x），得到迭代公式xk+1=xk -f （xk）/f （xk），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x 值，并计算对应的函数值，新的 x 值代入迭代公式中继续计算出下一项的x 值，重复步骤，直到 x 的值相同不再变化，此 x 值即为方程的近似解。Excel 实现 :迭代法求方程 x3-x-

9、1确定初值在 B2 和 D2 分别输入左端点 a 和右端点 b在 A5 中输入公式： =B2， A6输入： =A5+(D$2-B$2)/10 ，并往下复制下去在 B5 输入 f(x) 方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近 x 轴的 f 值，作为迭代的初始值。方程化为等价方程，并定义迭代公式为 x-(x3-x-1)/3x2-1.65432系列 1100.50.70.91.11.31.51.71.92.1-1-2上图知迭代初值 1.4区间端点a=1b=2作图数据区xf(x)1-11.1-0.7691.2-0.4721.3-0.1031.40.3441.50.8751.61.4961.

10、72.2131.83.0321.93.95925迭代公式为 x-(x3-x-1)/3x2-1不动点迭代kxkf(xk)01.40.34411.3295081970.02051991621.324739202 9.06038E-0531.324717958 1.79368E-0941.324717957051.3247179570F(x 4)=0, 方程解为 1.324717957.2.1线性方程组的数值求解的原理和算法及Excel 实现。Gauss消去法原理 :设有线性方程组， 将其增广矩阵（ A 丨 b）通过初等行变化为 （ A(n) 丨 b（n ），A(n)为上三角阵，在经过回代解除与原方

11、程组同解的三角形方程组A(n) x=b(n) 的解，得到方程组的解。算法：把方程组化为上三角形方程组，做消元的步骤，再做回带的步骤，解上三角形方程组 A(n)x=b(n) 。Excel 实现：x1+x2-4x 4=1-x 1+4x2+x3+3x4=-2x1+3x2 +5x3-4x 4=-42x2+2x3-3x 4=-2Ab120-41-1413-2135-4-4022-3-2120-41-161-1-11150-5022-3-2120-4161-1-10.166666667 4.8333333330.166666667 -4.8333333330.333333333 0.333333333-3

12、 -0.333333333120-41161-1-104.8333333331 -4.833333333 -10.068965517 -3.01149425300.三角分解法原理： 将系数矩阵 A 分解为两个三角形矩阵的乘积 A=LU，进而将原方程组的求解转化为两个三角形方程组的求解。若有三角阵 LU,使 A=LU,则方程组 Ax=b 与方程组 LUx=b等价，而后者等价于两个三角形线性方程组： Ly=b，Ux=y。算法：将线性方程组的系数矩阵A 分解为三角形方程组的乘积 LU，称为矩阵 A 的 LU 分解；再将线性方程组的求解转换为三角形方程组的求解。A 稠密 -LU分解法A 对称 -LDL

13、分解法A 正定 -LL分解法A 三对角线 - 追赶法Excel 实现 :新建 Excel 表格 , 依次按顺序输入矩阵数据一句矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵原理, 依次从 A-D 列数据从下至上依照公式计算逆矩阵数据上三角形矩阵求逆U4232103114U-10.25-0.5-0.750.437510-0.751-0.250.253.1 Lagrange插值的原理和算法及Excel 实现；原理 : 将待求的 n 次多项式插值函数pn(x ）改写成另一种表示方式， 再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。n=1 时，设 yif x， 作直线方程：i ，i0 1 .y y0y1y0 (x

14、 x0 )x1x01y0(x1x0 ) y1 x x0y0 x x0x1x01y0 (x1x)y1 x x0x1x0令 L1xxx1y0xx0y1 ，称 L1 为两点式插值或线性插值 .x0x1x1x0n 2时，设 y ifxi ,i0,1,2. 令：L2xx x1x x2y0x x0x x2y1x x0 x x1y2,x0x1 x0x1 x2x2 x0 x2 x1x1 x0 x2称 L2 为三点式插值或抛物插值.算法 :先建立一个 Excle 数据表 :插值节点xiABCDyiEFGH插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)a在单元格中输入插值点a求基函数 L0=(a-B)*(a-C)

15、*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H)L=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H)1以此类推求至 L3, 再求出 L3(x).再输入最后一个基函数L3 (x) 的计算公式： =SUMPRODUCT公式得到 f （x）的近似值Excel实现 :插值节点xi1234yi18201517插值点与函数计算值xL0L1L2L3L3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062517.5作图数据区点数 :100xL0L1L2L3L3(x)11000181.030.94589550.0877635-0.04321350.009554518.295613

16、.1.060.8935640.171108-0.0829080.01823618.5727041.090.84297850.2501145-0.11916450.0260715 18.8316511.120.7941120.324864-0.1520640.03308819.0728321.150.74693750.3954375-0.18168750.0393125 19.2966251.180.7014280.461916-0.2081160.04477219.503408拉格朗日插值图形2220201818181717.5L3161715插值节点14插值点121011.522.533.5

17、43.2 Newton 插值的原理和算法及Excel 实现。原理：牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=fx 0+fx 0 ,x 1(x-x 0 )+fx 0,x 1,x 2(x-x 0)(x-x1)+.fx 0,.x n(x-x 0).( x-x n-1 )+Rn(x) 。改写 L1，L2：L1 xxx1 y0x x0 y1y0y1y0 x x0x0x1x1x0x1x0f x0f x1f x0 ( x x0 ),x1x0L2 xf x0fx1f x2xx0x1x0f x2f x0f x1f x0x2x0x1x0x x0 x x1 .x2x1记 f x, yf yf x , f

18、x, y, zf x, zf x, y , 则yxzy.两点公式可改为： N1xfx0f x0 , x1 xx0;三点公式可改为： N 2xfx0f x0 , x1 xx0fx0 , x1, x2 xx0 x x1 .这种插值形式的基函数为1，x x0 , x x0 xx1，.，系数称为差商（均差） .算法 :先建立一个 Excle 数据表 :插值节点xi123456yiABCDEFxl0一阶二阶三阶四阶五阶1A2B3C4D5E6F（ 1）计算差商表假设 n 次输入一阶差商的计算公式“=(B-A)/(2-1)”以此类推往下拉输入二阶差商的计算公式用一阶的值相隔两数相减除以x 对应相隔两数相减的

19、值 , 以此类推往下拉三阶 , 四阶 ,N 阶如此算下去(2) 计算插值点处的函数值输入插值点；分别输入 Newdon插值函数 N1，N2 N-1 的计算公式；分别得到插值点处的 1 阶至 n-1 阶插值函数值 .插值节点xi123456yi122021112415差商表xifi1128-3.5-0.666666667 1.583333333-0.9752201-5.55.666666667-3.291666667321-1011.5-7.541113-11524-9615插值点与函数计算值.xN1N2N3N43.733.617.53515.39313.866825作图数据区100xN1N2N

20、3N41121212121.0512.412.5662512.504512.071864061.112.813.11513.00112.2158251.1513.213.6462513.48912.424614061.213.614.1613.96812.69121.251414.6562514.437513.008789061.314.415.13514.89713.3708251.3514.815.5962515.34613.77098906牛顿插值图形3025242020211513.86682515101211501234567-5-10-15-20N3N4插值节点插值点4.1数据拟合

21、的最小二乘法的原理和算法；原理 : 当实验提供了大量数据时 , 由于观测数据往往不准确 , 因此不能要求 y=f(x) 通过所有点 , 只要求 i =f(x i )-y i (i=1,2, ,m) 严格为零 , 使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势同时偏差平方和最小，常采用欧式范数作为误差度量的标准 , 此即称为最小二乘法原理。算法 : 关于最小二乘法的一般提法是： 对给定的一组数据 （xi ,y i ）（i=0,1 ，. ，m），要求在函数类 =Span0(x), 1 (x), 2(x), n (x) 中求函数n*（ n m ） 1S（ x）a j j (x )j0使误差平方和m222ii

22、0m*2（ S（ x i） y i）i0minSm*22（ S（ x i） y i）i 0为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和.22m*2m*2（4.3 ）（i（iS（ x i） y i） minS（ x i） y i）i 0Si 0i0表示不同点（ x i， f（x i）处的数据比重不同，称为权系数，例如i 可表示在点（x i，f （x i）处重复观测的次数。按条件式（ 4.3 ）求函数 S（* x）的方法称为数据拟合的最小二乘法，用几何语言，即称为曲线拟合的最小二乘法。称S（* x）为最小二乘解， S（x）为拟合。函数。4.2直线拟合最小二乘法的Excel 实现建立

23、 Excle 数据表 , 输入实验数据输入拟合多项式的次数列出法方程组在 B6:F9 中并输入计算公式计算出结果 . 之后分解方程组再回代入方程中 , 并且计算平方误差 , 作图X1.22.84.35.4Y2.111.528.141.9W1111次数法方程组1413.70083.613.756.9300381.810010000010解法方程组26.850041.8-11.777391963.1634632920030.182110939.5408443671000100XP(X)3.117.79922558作图数据区点数100XP(X)1.2-0.3283787161.2420.072336

24、7471.2840.4730522111.3260.873767674.454041.9353028.125拟合线2017.79922558数据点15X1011.552.10-501234564.3曲线拟合最小二乘法的Excel 实现。建立 Excle 数据表 , 输入实验数据 , 依照数据变化趋势设想 y=f(x) 的方程 , 再用线性函数 S(u) 来拟合数据 .将数据取倒数变换到下方, 再有法方程组输入公式计算, 进行矩阵分解以及回代结果 . 计算平方误差最后确定初值输出作图数据 .实验数据12345678t10111213141516946.58.018.799.39.59.79.86

25、y10.210.3210.4210.5110.5810.6210.7101111111111111111变化数据10.50.333330.250.20.166660.142850.1253333666771430.09090 0.083330.07692 0.071420.066660.111110.10.06251111909133333077857166670.250.153840.12484 0.113760.10752 0.105260.103090.101416154394556436882315827849878w0.098030.09689 0.095960.09514 0.09

26、4510.094160.093450.19216922592974797958195979441111111111111111163.38072 1.82795.899315133.380721.584340.52734899365333796解法方程组40.845180.456980.07997平 方 误224878787364差0.932740.151280.162180.000325142007480058967作图数据区1004.12940196074.524671.1537164.884301.36235.212911.4574345.514351.651465.791851.756

27、0836.048161.925456.285612.053356.506212.254026.711702.350559.拟合曲线1412108系列 16线性 (系列 1)420051015205.1数值积分的原理和算法；原理 : 将函数图形与 x 轴形成的图形等分求面积即求其积分.算法 : 从不同角度出发，通过各种途径来构造数值求积公式，常用的一个方法是，利用插值多项式来构造数值求积公式，具体做法如下：在积分区间 a,b上取一组点： a=x0x1 xn=b, 做 f （x）的 n 次插值多项式：nf (x )l(x)L ( x)nk kk0其中 l k（x）（ k=0,1 ， ， n）为 n

28、 次 Lagrange 插值基函数，用 Ln（ x）近似代替被基函数 f （x），则有：bbLn (x)dxnbIf ( x) dxf ( xk ) l k( x)dxaaka若记0nxxibbAkl k( x)dxa i 0 xkdxaxi得数值求积公式： ik.nInAkf ( xk)k 0x k 称为求积节点， Ak 称为求积系数例如把图形分成 n 份,n=1 时用梯形公式 ,n=2 时用 Sinmpson公式 ,n=4 时用 Cotes公式计算代入将每一小块求和5.2数值积分的的 Excel 实现；建立一个 Excle 数据表 , 在节点区输入节点值于 B 列,之后计算积分精确值最后运

29、用梯形公式,Sinmpson 公式与 Cotes 公式计算核对比较 .节点-2-1.5-1-0.50函数值积分值f(x)f （-2 ）f(-1.5)f(-1)f(-0.5)f(0)精确值梯形值Simpson值Cotes 值1111112222x-2-1.5-1-0.50-2-2-2-2x242.2510.2502.6666666642.666666662.66666666777x3-8-3.375-1-0.1250-4-8-4-4x4165.062510.062506.4166.666666666.47ex0.135335280.22313010.367879440.606530610.864

30、664711.135335280.868951010.86468992361673626. 常微分方程的数值解法的原理和算法；原理：采取“进步式”和“离散化”。“进步式”是指求解过程依节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只需给出用已知信息 yn,yn-1,yn-2, 计算 yn+1 的递推公式 . “离散化” 是指通过一定的方法将连续的问题转化为关于离散变量的相应问题。“离散化”的常见方法有：直接用磋商代替微商发、 Taylor 级数展开法、数值积分法等。算法 : 一阶方程的初值问题 y=f （x，y），x 属于 a,b ，y(a)=y 0 只要函数 f （ x，y）在 a xb，

31、|y| + 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件：|f(x,y1)-f(x,y2)| L|y1-y2|,则方程存在唯一解y=y（x）。所谓微分方程数值解法， 就是需求解函数y（ x ）在一系列离散节点上的近似值：yi 60;y(xi),ax1x2 Xn=b.通常采用等距节点Xi =a+ih ， i=0,1,2,n, 其中 h=（b-a ） /n 称为步长。常微分方程的数值解法的的Excel 实现.建立 Excel 数据表 , 在基本数据区域输入常微分方程的初步数据和步长值, 计算节点 A列输入序数值 B列求出节点 dy/dx=f(x,y),y(x0)=y0,先计算节点之后用Eul

32、er 法写出求解公式计算值并用改进 Euler 求解公式计算值各自复制后面 , 最后作图基本数据.5.554.543.532.521.51x0y0h020.5数值解节点Euler 法改进 Euler 法精确解ixiyiyiy(xi)0022110.51.51.75 1.106530661.36787944211.51.78125131.51.751.98828125 1.723130162125 2.30517578132.5820849952.52.5625 2.69073486393.04978706633.031253.1192092983.5301973873

33、.53.515625 3.57450580634.01831563844.0078125 4.04656612994.5111089994.5 4.503906254.5291038375.001953125.006737941055 5.0181898947Euler法改进 Euler法精确值 y(x)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.510.7.1 ，请对上述数据作Lagrange 插值，并绘出插值函数图形。xi1234yi25.2550.575.75101xl0l1l2l3l3(x)2.5-0.06250.56250.5625-0.062563.125点数 :100xL0L1L2L3L3(x)1100025.251.030.94589550.0877635-0.0432135 0.009554526.00751.060.8935640.171108-0.082908