第9章_积分变换法

1、用积分变换求解定解问题的步骤为：用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；的积分变换；对于自变量在（对于自变量在（- -，+ + ） 内变化的定解问题内变化的定解问题（如无界域（如无界域的坐标变量）常采用的坐标变量）常采用傅氏变换傅氏变换，而自变量在，而自变量在 半无界区域内变化半无界区域内变化的定解问题（如时间变量）常采用的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换拉氏变换 第九章第九章 积分变换法积分变换法 第二：对方程取第二：对方程取积分变换积分变换，将一个含两个自变量的偏微分，将一个含两个自变

2、量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取第五：对所得解取逆变换逆变换，最后得原定解问题的解，最后得原定解问题的解 用用分离变量法求解有限空间的定解问题分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的时，所得到的本本征值谱征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里傅里叶级数叶级数对于无限空

3、间，用分离变量法求解定解问题时，所对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征对连续本征值求积分的傅里叶积分值求积分的傅里叶积分 因此，对于因此，对于无限空间的定解无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法本章首先学习傅里叶变换，再通过几个例适用的求解方法本章首先学习傅里叶变换，再通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式的定界问题的基本方法，并给出几

4、个重要的解的公式 本章重点掌握傅里叶积分变换法解定解问题本章重点掌握傅里叶积分变换法解定解问题第一节第一节 傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数傅里叶级数的复数形式（指数形式）：傅里叶级数的复数形式（指数形式）：二、傅里叶积分和傅里叶积分定理二、傅里叶积分和傅里叶积分定理从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡：从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡：0011( )( )( )22nnnnnnllikik xikik xnnllkknnf xfedekfedekLimLim1( )( )2ikikxf xfede dk三、傅里叶变换的定义三、傅里叶变换的定

5、义四、傅里叶变换的性质四、傅里叶变换的性质1( ),0 ()()1( ),011( )( )sikas axikxsikakisaf s edsaaF f axf ax edxf s edsaakf s edsfaaa 实际上实际上, , 只要记住下面五个傅里叶变换只要记住下面五个傅里叶变换, , 则绝大部则绝大部分的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变分的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出换的性质导出. .02204( )11( )()1e2()eetitttu tiei ( )( )( )( )( )( )( )( )fggffghfgfhfghfghA fg

6、AfgfAgAdfg tf tg tf tg tdtftf tf t交换律：加法分配律：结合律：数乘：为常数求导：卷卷积积的的简简单单性性质：质：第二节第二节 傅里叶变换法傅里叶变换法应用范围：求解无界区域的定解问题应用范围：求解无界区域的定解问题用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：（1 1）对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微）对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程；分方程；（2 2）求解像函数；）求解像函数；（3 3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解（作）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解（作反演）。反演）。例例1 1

7、求解无限长弦的自由振动定解问题求解无限长弦的自由振动定解问题（假定：函数（假定：函数 u及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出）及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出）2000,(,0)|( ) |( )ttxxtttua uxtuxux 【解解】 对方程及初始条件做傅立叶变换对方程及初始条件做傅立叶变换ii( , )( , )d1( , )( , )d2kxkxU k tu x t exu x tU k t ek简化表示为简化表示为 ( , )( , )F u x tU k t ( )( ) ( )( )FxkFxk 对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为222222( ,

8、 )( , )( , )( , )ikxikxttu x tdd U k tux tedxu x t edxtdtdtF222( , )( , )( )( , )ikxxxu x tux tedxik U k txF于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题222200( , )0( , )|( )( , )|( )tttUa k U k ttU k tkU k tk 例例2 2 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题200, (,0)|( ) txxtua uxtux 【解】【解】 作傅氏变换，作傅氏变换， (

9、, )( , )u x tU k tF ( )( )xk F定解问题变换为定解问题变换为22( , )0( ,0)( )Uk a U k tU kk常微分方程的初值问题的解是常微分方程的初值问题的解是 22( , )( )k a tU k tk e 再进行逆傅里叶变换，再进行逆傅里叶变换，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2k a tkxkk a tkxu x tU k tk eekeeek F交换积分次序交换积分次序22i ()1( , )( )d d2k a tk xu x teek 引用积分公式引用积分公式22224d()eee 且令且令 ,i()a tx22()41( , )( )d2xa tu x teat 小结：小结：用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：用傅里叶变