数学欣赏_08数学之问_b费马大定理

1、SZU数学欣赏数学欣赏数学欣赏H数学数学之问之问The Question of Mathematics数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation数学之问数学之问 简明深刻简明深刻问题是数学的心脏，是数学发展的动力问题是数学的心脏，是数学发展的动力. 数学的历史就是数学问题的提出、探索、解数学的历史就是数学问题的提出、探索、解决的历史决的历史.通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数通过一幕幕历史镜头生动地再现一些

2、数学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最终解决的各个历程，可以了解数学家如何提终解决的各个历程，可以了解数学家如何提问？如何思考？关注什么？意义何在？对于问？如何思考？关注什么？意义何在？对于正确认识数学的本质具有重要意义正确认识数学的本质具有重要意义.数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发

3、展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation本章内容本章内容古代几何作图三大难题古代几何作图三大难题1费马大定理费马大定理2哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想3四色猜想四色猜想4庞加莱猜想庞加莱猜想5千禧年七大数学难题千禧年七大数学难题6数学

4、欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。背 景1 1数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.费马其人生平费 马 （费 马 （ P i e r r e d e

5、 Fermat, 1601-1665）,1601年年8月月20日出生于法国南部日出生于法国南部图卢兹图卢兹附近的附近的博蒙博蒙-德洛马德洛马涅涅一个皮革商人家庭。一个皮革商人家庭。大学法律系毕业后在大学法律系毕业后在地方法院当地方法院当律师律师，业余时间，业余时间研究数学，研究数学， 30岁以后，对数岁以后，对数学痴迷，几乎把全部业余时学痴迷，几乎把全部业余时间投入数学研究。间投入数学研究。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics

6、 Appreciation1.费马其人德、行、能力德、行、能力p费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。慎于言，潜心钻研，厚积薄发。p精通法语、意大利语、西班牙语、拉精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等。丁语、希腊语等。p深入地研究过深入地研究过韦达韦达、阿基米德阿基米德、丢番丢番都都等人的著作。等人的著作。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciati

7、on1.费马其人成就成就费马在费马在解析几何解析几何、微积分微积分、概率概率论论和和数论数论等方面，都做出了开创性的等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、微积分与概率论贡献，是解析几何、微积分与概率论的先驱，并被誉为近代数论之父，成的先驱，并被誉为近代数论之父，成为为1717世纪欧洲最著名的数学家之一。世纪欧洲最著名的数学家之一。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.费马其人p费马在世时，没有一

8、部完整的著作问世，费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分研究成果都是批注在阅读过的他的大部分研究成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。书籍上，或者记录于与友人的通信中。p费马去世后，在众多数学家的帮助下，费费马去世后，在众多数学家的帮助下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷理，汇编成两卷数学论文集数学论文集分别于分别于1670年和年和1679年在年在图卢兹图卢兹出版，费马的成出版，费马的成果才得以广泛流传。果才得以广泛流传。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics

9、 Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.费马猜想费马大定理 古希腊数学家丢番都把他对不定古希腊数学家丢番都把他对不定方程整数解的研究写成一本书方程整数解的研究写成一本书算术算术，1621年，该书被年，该书被巴歇巴歇翻译成拉丁翻译成拉丁文出版并开始在欧洲流传。后来，费文出版并开始在欧洲流传。后来，费马在巴黎的书摊上买到这本书，引起马在巴黎的书摊上买到这本书，引起他的浓厚兴趣。此后，费马经常翻阅他的浓厚兴趣。此后，费马经常翻阅此书，并不时地在书页空白处写下批此书，并不时地在书页空白处写下批注。

10、注。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.费马猜想费马大定理该书第二卷命题该书第二卷命题8 8给出了方程给出了方程 x2 + y2 = z2的整数通解。的整数通解。若若m, n 是两个正整数，且是两个正整数，且2mn是完全平方数，则是完全平方数，则通解为通解为 mnnmzmnnymnmx222数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Apprecia

11、tion 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.费马猜想费马大定理 1637年，费马在阅读这一命题后，在该命题旁年，费马在阅读这一命题后，在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具有历史意义的批注：边空白处用拉丁文写下一段具有历史意义的批注： “将一个正整数的立方表为两个正整数的立方和；将一个正整数的四次方表为两个正整数的四次方和；或者，一般地，将一个正整数的高于二次的幂表为两个正整数的同一次幂的和，这是不可能的。对此，我找到了一个真正奇妙的证明，但书页的空白太小，无法把它写下。”数学欣赏数学欣赏 Mathematics

12、 Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.费马猜想费马大定理 用式子来表达这段话就是：用式子来表达这段话就是：方程xn + yn = zn (1)在n 2时没有正整数解。在费马去世五年后的在费马去世五年后的1670年，费马的儿子在年，费马的儿子在整理父亲遗留的书籍时，发现了这一批注，整理父亲遗留的书籍时，发现了这一批注，并公开出版。并公开出版。两个特例：n=3,42 2数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mat

13、hematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.新人出击欧拉（ 1707-1783）欧拉欧拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)，瑞士瑞士人。人。18世纪世纪最最优秀优秀的的数学家数学家。世上世上最多产最多产的的数学家数学家。13岁岁入入大学大学，17岁岁取得取得硕硕士学位士学位，30岁岁右眼失明，右眼失明，60岁岁完全失明。完全失明。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏

14、数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. n=4的费马大定理证明基本思想：（无穷递降法）：(欧拉：欧拉：1738)假如假如(1)有正整数解有正整数解(a,b,c), 即即a4 + b4 = c4 (2)则在正整数解中总有使数则在正整数解中总有使数 c 最小者，然后从这最小者，然后从这组解组解(a, b, c)出发，导出一组新的正整数解出发，导出一组新的正整数解(a1, b1, c1) ， 而且而且c1 c ，这与，这与c的最小性相矛盾的最小性相矛盾数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathe

15、matics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2. n=4的费马大定理证明 费马发明了一种费马发明了一种“无穷递降法无穷递降法”，用以给出了，用以给出了一个定理，由这个定理可以给出一个定理，由这个定理可以给出n=4的情形。这个的情形。这个定理是：边长为整数的直角三角形的面积不是一个定理是：边长为整数的直角三角形的面积不是一个完全平方数。用这种方法可以证明方程完全平方数。用这种方法可以证明方程x4 + y4 = z2 （3）没有正整数解。从而方程（没有正整数解。从而方程（2）也没有正整数解

16、。）也没有正整数解。 证明依赖于勾股数的表示（见本课程第证明依赖于勾股数的表示（见本课程第5章）。此处章）。此处从略。从略。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. n=3的费马大定理证明1753年，瑞士大数学家年，瑞士大数学家欧拉欧拉再一次再一次利用费马无穷递降法的思想，对利用费马无穷递降法的思想，对n=3证证明了费马大定理。明了费马大定理。但其中有错误！后来被高斯改进。但其中有错误！后来被高斯改进

17、。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. n=3的费马大定理证明高斯高斯 Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855)德国德国数学家数学家。完成完成欧拉欧拉的的证明证明。引入引入“复整数复整数”的概念，的概念，即形如即形如 a + b k1/2i，其中，其中 a、b 为整数为整数，k为为正正整数整数。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathe

18、matics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation3. n=3的费马大定理证明高斯高斯对对n=3的改进证明中，用到一的改进证明中，用到一种只适用于种只适用于n=3的分解。的分解。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 进一步的发展n = 5 的证明勒 让 德勒 让 德 L e g e n d r

19、e (1752 - 1833)法国人1823 年证明了 n = 5的情况。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 进一步的发展n = 5 的的证明证明狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859)8德国人81828 年，独立证明了 n = 5。81832 年，解决了 n = 14 的情况。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appre

20、ciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation4. 进一步的发展n = 7 的的证明证明拉梅 Gabriel Lam (1795 - 1870)8法国人81839 年，证明了 n = 7。81847 年，在巴黎科学院宣布证明了“费马大定理”。第一次重大突破3 3数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.新的方向法国法国人

21、。人。少数研究数学的女少数研究数学的女性性。提出提出将将“费马大定理费马大定理”分成分成两种情况两种情况：(I) n 能整除能整除 x、y、z。(II)n 不不能整除能整除 x、y、z。索菲娅索菲娅 Sophie Germain (1776 - 1831)数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.新的方向1831年，一位完全靠自学成材的法国年，一位完全靠自学成材的法国女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，

22、把女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，把结果向前推进了一大步：结果向前推进了一大步：在在x, y, z与与n互素的前提下，证明了对所互素的前提下，证明了对所有小于有小于100的奇素数，费马大定理成立。的奇素数，费马大定理成立。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1.新的方向 如果n是不超过100的奇素数，则不存在正整数组（ x, y, z ），使得x, y, z与n互素且满足方程xn+yn=zn。数

23、学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.理想数的诞生库墨尔库墨尔 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)德国德国人人1845 至至 1847 年间，提出了年间，提出了“分圆整数分圆整数”、“理想数理想数”、“正规质数正规质数”等概念。等概念。证明当证明当 n 100 时，时，“费马费马大定理大定理”成立。成立。1857 年，获年，获巴黎科学院巴黎科学院颁颁发奖金三千法郎。发奖

24、金三千法郎。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2.理想数的诞生1847年，德国数学家库默尔用一种精年，德国数学家库默尔用一种精巧的证明方法，取消了上述巧的证明方法，取消了上述“x, y, z与与n互互素素”的条件限制，实现了第一次重大突破的条件限制，实现了第一次重大突破。他因此在。他因此在1857年获得巴黎科学院颁发奖年获得巴黎科学院颁发奖金金3000法郎。法郎。 如果n是不超过100的奇素数，则方

25、程xn+yn=zn没有正整数解。悬赏征解4 4数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 从费马提出这一猜想到库默尔解决到小于从费马提出这一猜想到库默尔解决到小于100的奇素数，前后经历了的奇素数，前后经历了200年，使人们年，使人们对这一问题不敢小看。对这一问题不敢小看。1816年，法国巴黎科学院首次为费马猜想年，法国巴黎科学院首次为费马猜想设置征解的大奖。设置征解的大奖。1850年和年和1853年，法国

26、科学院又两次决定年，法国科学院又两次决定，悬赏，悬赏2000法郎，再度征求对费马大定理法郎，再度征求对费马大定理的一般证明。到的一般证明。到1900年，年， n的数值从的数值从100推进到推进到206，但却没有实质性的进步。，但却没有实质性的进步。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation悬赏10万马克沃尔福斯盖尔沃尔福斯盖尔 Paul Friedrich Wolfskehl (1856 - 1908)德国

27、德国商商人人。曾学习医学。曾学习医学。1883 年跟年跟库墨库墨尔尔学习数学。学习数学。订立遗嘱，悬赏订立遗嘱，悬赏10万马克，万马克，限期限期100年，再次征求费马大年，再次征求费马大定理的证明。定理的证明。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation无数英雄尽折腰1941年，年，雷卖雷卖证明当证明当 n 253747887 时时 “费马大定理费马大定理”在某些特殊情况下成立；在某些特殊情况下成立；1977

28、 年，年，瓦格斯达芙瓦格斯达芙证明当证明当n 2 ) 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation法廷斯证明莫代尔猜想 19221922年，英国数学家莫代尔提出猜想：年，英国数学家莫代尔提出猜想： 每条第三类曲线上最多只有有限多个有理点数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Apprecia

29、tionMathematics Appreciation1983年，法廷斯证明了莫代尔猜想年，法廷斯证明了莫代尔猜想. 从而从而每条曲线xn+yn=1上上最多只有有限多个有理点费马猜想每条曲线xn+yn=1上没有正有理点差一点儿费马大定理的最后证明6 6数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation符雷的发现法廷斯证明莫代尔猜想，吸法廷斯证明莫代尔猜想，吸引了许多几何高手加入研究费马引了许多几何高手加入研究费马

30、大定理的行列，为费马大定理的大定理的行列，为费马大定理的证明开辟了多条道路，其中德国证明开辟了多条道路，其中德国数学家符雷偶然发现了一条蹊径数学家符雷偶然发现了一条蹊径：费马大定理与第二类曲线（椭圆曲线）有密切关系。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation志村-谷山-外依猜想关于（第二类）椭圆曲线，有许多重要猜想，其中一个由日本数学家志村和谷山，以及法国数学家外依在1950年提出的猜想，称之为志村-谷山-

31、外依猜想: 有理数域上的每条椭圆曲线都是模曲线。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation志村-谷山-外依猜想谷山丰（19271958）志村五郎（1926）数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation19851985年德国

32、数学家符雷在一次会议年德国数学家符雷在一次会议上宣布：上宣布：如果对某个如果对某个n 22费马大定理不成立费马大定理不成立，他可以具体构造一个椭圆曲线，使志，他可以具体构造一个椭圆曲线，使志村村- -谷山谷山- -外依猜想对这条曲线不成立。外依猜想对这条曲线不成立。因此（逆否命题）因此（逆否命题）若志村若志村- -谷山谷山- -外依猜想成立，则对外依猜想成立，则对所有所有n 22费马大定理成立！费马大定理成立！数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationM

33、athematics Appreciation要证明费马大定理吗？证明志村-谷山-外依猜想吧！数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics AppreciationAndrew Wiles:Andrew Wiles:证明费马大定理证明费马大定理1986年，出生于英国，工作在美国的青年，出生于英国，工作在美国的青年数学家年数学家Andrew Wiles（1953-）了解到符雷）了解到符雷的这项工作后，借助于他对椭圆曲线研究的深的这项工作

34、后，借助于他对椭圆曲线研究的深厚功底，经过厚功底，经过8年的艰苦努力年的艰苦努力Wiles于1994年9月上证明了志村-谷山-外依猜想数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation外尔斯外尔斯 Andrew Wiles英国人，出生于1953 年。10 岁时就立志要证明“费马大定理”。1975 年，开始在剑桥大学进行研究，专攻“椭圆曲线”。在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继续研究工作。数学欣赏数学欣赏

35、Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation剑桥演讲剑桥演讲1993 年 6 月 23 日，在剑桥大学的牛顿研究所，外尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“志村-谷山-外依猜想”的证明。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Apprecia

36、tion噩梦开始！ 演讲过后，外尔斯将长达两百多页的手稿送有关专家审阅； 起初，发现稿件有一些打印错误； 1993年 9 月，发现有重大漏洞； 外尔斯以为此漏洞很快可以修补，然而却屡遭失败； 外尔斯已失败的传闻不胫而走。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation再次闭关1994 年年 1 月，月，外尔斯外尔斯重新研究他的重新研究他的证明证明。到了同年。到了同年 9 月，依然月，依然没有任何进展。没有任何进展

37、。有人有人怀疑怀疑：他是否真的证明了这一猜想？他是否真的证明了这一猜想？但在但在 9 月月 19 日的早上，日的早上，当当外尔斯外尔斯打算打算放弃并做最后一次尝试的时候，突然找放弃并做最后一次尝试的时候，突然找到了一个解决方案到了一个解决方案数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation1995 年年 5 月月，外外尔斯尔斯长达长达100页的页的证明发表在世界著证明发表在世界著名数学杂志名数学杂志 Annals

38、 of Math.数学年数学年刊刊上。上。最后胜利最后胜利数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation最后胜利最后胜利1997 年年 6 月月27日，日，外尔斯外尔斯荣获德国悬荣获德国悬赏的赏的10万马万马克奖金。克奖金。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation其它荣誉19961996年获得年获得美国国家科学院数学奖；美国国家科学院数学奖；欧洲欧洲Ostrowski奖；奖；瑞典科学院瑞典科学院Schock奖；奖；法国费马奖；法国费马奖；Wolf奖。奖。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation