江西师范大学电磁学研究专题论文翻译作业(中文)

1、稳定的表面形态的同时使用强调固体采用电场和温度梯度摘要我们分析体导电面面心立方（FCC）的形态稳定性的结晶固体，在单轴拉伸的电场同时作用下，温度梯度。分析是基于自洽的动力学模拟，与线性稳定性理论相结合，根据验证的完全非线性表面传质模型，占表面的电和热的外部应用领域引起的，表面扩散的各向异性，和表面扩散的阿伦尼乌斯温度的依赖性。我们的仿真结果验证了线性稳定性理论结果和建立的电场和温度梯度，如果适当的指导，可以协同工作，以稳定的平面表面形貌对Asaro-Tiller/Grinfeld（ATG）不稳定时，所产生的有效磁场强度高于临界水平。我们还表明，表面的扩散系数的温度依赖性不改变表面稳定临界准则，

2、但只影响生长或表面形态的扰动衰减率从平面状态。此外，我们证明，在面心立方晶体的111-形态反应型表面优于不同取向的表面。由于ATG失稳失效的情况下，表面的扰动振幅超指数增长具有对数奇异性的故障时间接近。我们的研究以抑制结晶导电固体基于同时作用域的外部施加的电场和温度梯度优化组合的一种有效可行的解决方案，提供表面龟裂。引言随着纳米技术的进步，一个更好的理解的宏观力量影响的发展，如机械应力，电领域，或热梯度，对结晶型金属导体或半导体的表面形貌变得越来越重要。控制材料表面的图案形成和抑制表面形态不稳定性的外部强迫的运用能力可以提高材料的功能和可靠性，开发创新的专业基础和科技的影响，针对装配工艺技术。

3、这些挑战已经促使一些最新的理论研究在外力驱动表面稳定和图案形成。强调结晶导电材料中常见的微型电子设备和所涉及的许多纳米技术。表面形态响应这些材料的机械应力和外部应用领域，如电子领域和热梯度，可以严格限制设备的功能和可靠性。应力条件下表面扩散，促进这些材料的失效通常是由著名的Asaro-Tiller/Grinfeld介导的（ATG）的不稳定性，表面形态不稳定的表面能和应变能之间的竞争，结果导致尖角状的表面特征与深槽的形成，最终，表面的材料开裂。 ATG不稳定一直是理论和实验研究。在早期的研究中，我们已经表明，表面电迁移的足够强的和适当的指导，电场驱动可以抑制ATG不稳定和稳定的单轴平面强调结晶固

4、体。我们也证明了这个很有前途的战略电流对相干双轴应变外延薄膜在反对的Stranski-Krastanow不稳定基板的平面表面诱导的表面稳定。符合我们的电场对有益的行动理论预测强调固体表面形貌，最近的实验表明，表面电迁移可以降低铜薄膜上的表面粗糙度。此外，这是众所周知的，热梯度可以通过热驱动的固体表面原子的输运。在最近的研究中，我们已经表明，类似于一个电场对压力的固体表面形貌的有益的行动，一个足够强大的和适当的指导，温度梯度也能稳定的平面表面抗裂通过ATG不稳定性。单独应用时，对临界电场强度和热梯度需要稳定的平面表面高达分别107/厘米2和100K/厘米；在外延膜的情况下，在与外电场作用结合使用

5、基材工程技术可以大幅度降低临界强度要求。在这种情况下，一个根本的有趣的和重要的技术要问的问题是是否这两个外部应用领域，电场和温度梯度，可以协同工作的表面形貌的更有效的稳定。在最近的研究中，使用线性稳定性理论，提出了电场和温度梯度，同时作用于单轴强调的固体和正确导向和足够强大，可以协同工作，更有效地抑制ATG不稳定性。在本文中，我们报告一个强调的表面形态响应的综合分析结果，导热和导电晶体的电场的作用和热梯度，同时应用，着重对参考文献17的线性稳定性理论的有效性进行系统评价，通过比较其预测完全非线性自洽数值模拟结果。其余的文章结构如下。在美国证券交易委员会。二，完全非线性模型为驱动的表面形态的演变

6、进行了分析的线性稳定性理论中的平面形态稳定性。在美国证券交易委员会。第三，一个系统的数值仿真协议的结果与线性稳定性理论的相应的预测比较。协同作用对电场的表面稳定的温度梯度，临界有效的外部磁场强度的表面稳定，以及表面扩散系数对驱动的表面形态反应的温度依赖性的影响进行了线性稳定性理论的验证。最后，本研究的主要结论的总结4s。完全非线性模型和线性稳定性分析我们进行理论和计算机分析的形态稳定的平面表面的基于模型的表面质量驱动的连续运输机械应力的同时作用下，电场，和温度梯度，这分别导致应力驱动的表面的表面扩散，电迁移，和表面热迁移。我们认为安电气和导热，单结晶，无限弹性体，在热绝缘和牵引自由表面的参考直

7、角坐标系Y方向延伸。一个电场的大小和e恒，恒热梯度的大小|tx|，所有的定向沿X轴。一个示意图的固体材料在机械，电气和热力强迫的，图1是在。表面原子通量，JS=jss，可由能斯特方程表达的爱因斯坦Js=DsskBTEsqs+s+QTTs.（1）在方程式（1）中D代表表面原子的扩散系数，/表面原子的每单位面积的数量，是原子的体积，K 是玻尔兹曼常数，T是局部表面温度，E是局部电场分量的表面相切的，q* 是一个表面的有效电荷，是一个表面原子的化学势，Q *为运输的热量，S是随着s在一个二维的单位切向量表面的弧长（2D）表示假设没有形态变化沿z。表面扩散的各向异性模型的账户，这是表示由一个行之有效的

8、各向异性功能的脸进入立方（FCC）金属：f()=1+Acos2m(+) 1, 在= tan1（DY / DX）A是强度各向异性，M是数量的对称方向快速的表面扩散，是相对于X轴对称方向的取向差角，这是考虑到所施加的外部域的方向。考虑到另外的表面扩散的各向异性表面扩散的阿伦尼乌斯温度的依赖性，表面扩散系数可以表示为Ds=Ds(,T)=Ds,min(T)f()=D0exp(Ea/kBT)f(),在D（T）是最小的，最低的表面取向的表面，在给定的宏在低温结晶材料。应激反应，根据线性弹性，我们可以表达作为(x)=0(x)+2M2(x),（2）在0是完全平面的无应力的表面的化学势，是各向同性的表面自由能的

9、每单位面积的19，是局部表面曲率，M是材料的弹性模量，17和是局部应力分量的切向表面。我们的参数化的表面形貌用高度的函数，Y =H（X，T）和H（X，T）= 0对应于平面的表面形貌。当地的曲率表示为=（2 Y /2）/ 1+（Y /x）2 3 / 2。高度（即，表面形态）演化受控根据连续性方程由质量守恒，HT=JSX（3）结晶固体的表面演化是完全由方程描述的模型。（1）（3）在这场变量，ES，和T是自洽的解决相应的弹性，静电和热边界值问题（BVPS）。表面形貌的H（X，T）的传播时间的积分方程（3）与所计算的场变量用于确定表面的原子通量的基于方程。（1）和（2）。该模型采用两个平面表面的状态和

10、线性稳定性分析的完全自洽动力学数值模拟驱动的表面形貌演化。图1。单轴应力下的固体材料的示意图，施加的电场，和所施加的温度梯度，突出问题的几何形状和重要参数。表面形貌扰动从平面的一个平面波描述。扰动的幅度被放大的清晰度。分析平面表面状态的形态稳定性，我们首先扰动的平面表面具有低振幅平面波扰动，H（X，T）=（T）口（ikx）与0K1和0 =（T = 0），然后让表面轮廓进化。在线性稳定性理论，我们用领先的阶解析解弹性，静电，和热的问题，这是由2（x，t）了21+ 4（T）Kexp（ikx），6 ES= ECOS，1,21 T（x，t）t0+|TX| x+我（T）exp（ikx），。在分析简单的，

11、我们首先假定所有的材料的物理性质与温度无关，在参考温度T参考使用它们的值，T0TREFT，在T 0、T是最低的和最高的材料的温度水平，分别为。对材料特性的温度依赖性的形态演化的影响被认为是下一个。我们将上面的表达式，E，T为方程。（1）（3）介绍了扩散时间尺度kbtrefl4/ DS，min（TREF）的，长度尺度L米/2，和无量纲变量HHL，XXL，L，KKL，和T /T。线性方程（3）内的小斜率近似，H/X1，我们获得的无量纲的演化方程的线HT=（E问SL2问|TX|L2TREF）（DFD=0）2HX2F（= 0）4hX4+ 2楼（= 0）（2LM）（T）K3exp（IKX）F（= 0）（

12、Q|TX| L2TREF）我（T）K2exp（IKX），（4）在= 0对应于平面的表面形态。代入式（4），解决（T）=0口（T）对H振幅给出了色散关系Re(k)=(dfd=0)effk2+2f(=0)k3f(=0)k4,（5）增长或衰减率实部；扰动增长RE（）0 和重新衰减（）0 意味着不稳定和稳定，分别的，平面的表面形貌。为表述简洁，此后我们用到denotere（K）。在式（5），效应是由于同时电场联合作用的有效磁场强度和热梯度和被定义为EFF（1）E，与EEqs(M2)2andTQ|Tx|Tref(M2)2,（6）与E和T表达的相对强度，分别是应力，在电场和温度梯度，。在上述分析的基础上，

13、我们还没有确定的电场的方向和沿X方向的热梯度。有这些方向的四种可能的组合：（1）E=EX和Tx = |TX | X，（2）E=EX和Tx =|TX | X，（3）= E X E和Tx = |TX | X，（4）E= EX和Tx =|TX| X，X是沿x方向的单位矢量。因此，该因子乘以在效率的定义E（1），（1+），（1），和（1 +）性取向的组合分别（1），（2），（3），和（4），；效率在方程的定义（6），定位组合式（3）假定如图1。方程的色散关系（5）绘制在图2（a）为表面扩散的各向异性参数组（M=3，一个=12，和=15）在EFF值不同。的插图给出了一个图的任何电域或热梯度应用缺失的色散

14、关系，这表明对于长波扰动的起始不稳定性的发生。这是明显的从图2（a），外电域和/或热梯度在两个非平凡的根上的材料的结果的作用，1K，C、2，CK1，C，该方程（K）=0。不稳定的波数范围内，RK2，CK1，C，增加变得EFF窄，消失在EFFEFF，C，这意味着存在一个临界有效的外部磁场强度，超出了所有可能的波长的扰动可以是稳定的，与ATG不稳定性抑制。图2（b），我们用rE函数的所有四个不同方向的组合的两个外部域，以及在只有一个电场施加的热梯度的缺乏，为了检查所有可能的方向组合的外部施加的电场和热梯度和他们的组合中每两个领域的协同或竞争的作用下的表面形态的响应。的R路口（E）与E轴曲线相应的值

15、的临界电场强度，E，C，在强调固体平面形态稳定所需的。在插图中的情节描写定位组合式的情况下（1）电场和温度梯度沿X和X，分别，这表明R的增加而单调增加E，永不消失。曲线（2）和（3）在图2（b），对应的类型定位组合（2）电场和温度梯度沿X和（3）电场和温度梯度沿X，分别。虽然这两个R（E）曲线（2）和（3）单调减少E与E轴相交，所得到的临界电场强度，E，C2和C3E，高于E，C5，这是在所施加的温度梯度的不存在的关键电场强度。这意味着，所施加的温度梯度抵消电场在这两种情况下，和，因此，竞争而不是协同作用对平面稳定。只有曲线（4），对应于定位组合式的情况下（4）电场和温度梯度沿X和X，分别，显示

16、了一个临界电场强度E，c4lower比E，C5，这意味着只有这一定位的结合使得应用的热梯度在平面的表面形态稳定电场协同工作和较低的表面稳定的电场强度的要求。以铝为代表的FCC金属在T参考= 500 K和100150MPa，是典型的薄膜的机械应力下的Q1eV的互连，13,161Jm2，m= 70GPA，线性稳定性理论的预测，一个热梯度50K /厘米的同时应用，用于平面形态稳定的电场强度的关键要求是减图2。（一）增加值的影响的进化速率的依赖，色散关系，一个形状摄动的平面形态对无量纲波数，K，扰动的。（1）EFF= 0.88EFF，C，（2）EFF=EFF，C，（3）EFF=1.2EFF，C，和（4

17、）EFF=2.8EFF，C。插图给出了EFF = 0的色散关系，表示一个ATG表面不稳定性。（b）的不稳定的波数范围内的依赖，RK2，CK1，C，在所施加的电场强度，无量纲E，对温度梯度的不同组合和电场的方向。（1）E=EX和Tx = |TX | X与= 0.15；（2）E=EX和Tx =|TX | X与= 1.25；（3）E= EX和Tx = |TX | X与= 0.6；（4）E= EX和Tx =|TX | X与= 0.6；（5）E= EX和Tx = 0，即，在施加的热梯度的缺失。用两个参数（a）和（b）是m=3，= 12，和=1当金属材料的热梯度的作用，金属的物理性能是整个材料不均匀。在微

18、电子和纳米加工应用，小料域大小涉及（10nm）只需要一个小的温度差超过材料的结构来产生所需的热梯度。这样的小的温度差异使我们几乎忽略了所有的材料特性变化对材料的尺寸相比，表面扩散的特点是由一个强大的阿伦尼乌斯温度的影响。以T参考=T 0，定义(TT0)/T01,T(TT0)/(TT0)=O(1),，和(Ea/(kBT0)1)=O(1)，和截断的泰勒展开的Ds,min(T)aboutT=T0,我们得到Ds,min(T)/T=(Ds,min(T0)/T0)1+T+O(2)。将此表达式为式（1），和以下的方法采用线性稳定性分析上述方程的推导（5），在这种情况下，我们得到的色散关系。(k)=(1+T)

19、(dfd=0)effk2+2f(=0)k3f(=0)k4（7）方程（7）表明，表面扩散系数的温度依赖性只放大或衰减扰动增长率的一个因素（1+T），而不影响的临界有效的外部磁场强度效率的测定条件下，C（设置= 0的结果）总结总之，我们研究了单轴的表面形态演变强调金属晶体的电场同时作用下的热梯度和一个基于线性稳定性理论和自洽的动力学数值模拟，根据既定的完全非线性连续介质模型驱动的表面形貌演化。分析表明，外部施加的温度梯度可以结合外加电场对表面原子迁移的驱动力，导致整体有效的外部领域，可用于平面的表面形貌对诱导的形态不稳定性稳定。分析还表明，从四个可能的方向组合的两个外部域，只有一个（电场方向沿x方

20、向和热梯度沿X方向）允许两个域协同工作，从而在一个有效的领域比两个应用领域为高效的同时应用电域和温度梯度。线性稳定性理论预测，从平面的表面形态的低振幅扰动增长和衰减指数低于临界比批评有效场强度，分别。最重要的是，该理论所预测的临界有效场强度的要求以稳定的平面的表面形态的强调，任何波长的扰动，即固体，抑制不稳定的有效场的要求完全ATG。这两个协同应用外部域的相对强度不影响临界有效磁场强度。我们还研究了材料性能的表面形态响应的阿伦尼乌斯温度的依赖性强的表面扩散系数的线性稳定性理论，会计同时作用的两个外部域下的温度依赖性。我们发现，由于这个温度的依赖性，表面形貌的演变是由一个因子的放大率，但关键的有

21、效磁场强度的平面表面稳定保持不变。我们验证了线性稳定性理论的结论通过自洽数值模拟的基础上的完全非线性表面形态的演化模型，定性和定量分析。仿真结果证实了磁场定向组合的两个外部域与ATG不稳定的协同作用的理论预测。仿真结果与扰动衰减率的稳定的表面形态反应在表面形貌演化过程的理论预测吻合得很好，以及与不稳定的响应扰动增长率在表面形貌演化的早期阶段。在后来的演化阶段，为故障时间接近，不稳定的反应表现在扰动幅度的增长的对数奇异性。最重要的是，仿真结果验证了有效的临界电场强度为平面稳定所需要的线性稳定性理论的预测，这不是由热梯度的有效场或材料特性的温度依赖性的相对贡献的影响。经过验证的线性稳定性理论，我们

22、的研究强调表面形态响应的表面扩散的各向异性参数的影响，发现111-反应型表面优于110和100面向表面，随各向异性强度的最佳临界外电场强度单调降低。对于单轴强调的晶体表面的形态稳定性分析结果有显着影响的这样的表面，对稳定应力引起的同时施加的电域和热梯度在最佳效率的方式协同组合开裂。我们的理论结果构成的实验检验的假说，并可用于设计实验，产率的测量可以与我们的理论预测相比，直接和设置阶段的外部磁场使表面工程对抑制表面裂纹。Stabilization of the surface morphology of stressed solids using simultaneously applied e

23、lectric fields and thermal gradientsABTRACTWe analyze thesurfacemorphological stability of bulk conducting face-centered cubic (fcc) crystalline solids in uniaxial tension under the simultaneous action of anelectric fieldand a temperature gradient. The analysis is based on self-consistent dynamical

24、simulations, in conjunction with linear stabilitytheory,according to a well validated fully nonlinearsurfacemass transport model that accounts forsurfaceelectromigration and thermomigration induced by the externally applied fields,surfacediffusionalanisotropy,and the Arrhenius temperature dependence

25、 ofsurfacediffusivity. Our simulation results validate the findings of linear stabilitytheoryand establish that theelectric fieldand the thermal gradient, if properly directed, can work synergistically to stabilize the planarsurface morphologyagainst the Asaro-Tiller/Grinfeld (ATG) instability when

26、the strength of the resulting effectiveexternal fieldis higher than a critical level. We also show that the temperature dependence of thesurfacediffusivity does not change the criticality criterion forsurfacestabilization but only affects the rate of growth or decay of thesurfacemorphological pertur

27、bation from its planar state. Furthermore, we establish that, in fcc crystals, the morphological response of 111-orientedsurfacesis superior to that of differently orientedsurfaces.In case of failure due to ATG instability, the super-exponential growth of thesurfaceperturbation amplitude exhibits a

28、logarithmic singularity as the time to failure is approached. Our study provides an effective practical solution to inhibit thesurfacecracking of crystalline conducting solids based on the optimal combination of the simultaneous action of externally appliedelectric fieldsand thermal gradients.INTODU

29、CTIONWith the advancement of nanofabrication technologies, development of a better understanding of the effects of macroscopic forces, such as mechanical stress, electric fields, or thermal gradients, on the surface morphology of crystalline metallic conductors or semiconductors is becoming increasi

30、ngly important. The ability to control pattern formation on material surfaces and to inhibit surface morphological instabilities by the use of external forcing can have major fundamental and technological impact on improving materials function and reliability and developing innovative, directed-asse

31、mbly processes for nanotechnology. These challenges have motivated a number of recent theoretical studies on external-force-driven surface stabilization and pattern formation.13Stressed crystalline conducting materials are commonly found in micro-electronic devices and are involved in numerous nano-

32、scale technologies. The surface morphological response of these materials to mechanical stress and externally applied fields, such as electric fields and thermal gradients, may limit severely the functionality and reliability of the devices. Failure of these materials under stress and conditions tha

33、t promote surface diffusion is commonly mediated by the well-known Asaro-Tiller/Grinfeld (ATG) instability, a surface morphological instability that results from the competition between surface energy and strain energy and leads to the formation of cusp-like surface features with deep grooves and, e

34、ventually, the surface cracking of the material.46The ATG instability has been studied both theoretically7and experimentally.8In earlier studies, we have demonstrated that surface electromigration driven by a sufficiently strong and properly directed electric field can suppress the ATG instability a

35、nd stabilize the planar surface of a uniaxially stressed crystalline solid.1,9,10We also demonstrated this promising strategy of current-induced surface stabilization for the planar surface of a coherently biaxially strained epitaxial thin film on a substrate against the Stranski-Krastanow instabili

36、ty.11Consistent with our theoretical predictions for the beneficial action of an electric field on stressed solid surface morphology, recent experiments have demonstrated that surface electromigration can reduce substantially surface roughness in Cu thin films.12Furthermore, it is well known that a

37、thermal gradient can drive surface atomic transport in solids through thermomigration.1315In a recent study, we have demonstrated that, similarly to the beneficial action of an electric field on the surface morphology of a stressed solid, a sufficiently strong and properly directed thermal gradient

38、also can stabilize the planar surface against cracking through the ATG instability.16When applied individually, the critical strength of the electric field and the thermal gradient required to stabilize the planar surface is as high as 107A/cm2and 100K/cm, respectively; in the case of epitaxial film

39、s, employing substrate engineering techniques in conjunction with the external field action can reduce the critical strength requirement substantially.11In this context, a fundamentally interesting and technologically important question to be asked is whether these two externally applied fields, the

40、 electric field and the thermal gradient, can work synergistically for the more efficient stabilization of the surface morphology. In a recent study,17using linear stability theory, we have proposed that an electric field and a thermal gradient, acting simultaneously on a uniaxially stressed solid a

41、nd being properly directed and sufficiently strong, can work synergistically to inhibit the ATG instability more efficiently.In this paper, we report the results of a comprehensive analysis of the surface morphological response of a stressed, thermally and electrically conducting crystalline solid t

42、o the action of an electric field and a thermal gradient that are applied simultaneously, focusing on a systematic assessment of the validity of the linear stability theory of Ref.17by comparing its predictions with the results of fully nonlinear self-consistent numerical simulations. The rest of th

43、e article is structured as follows. In Sec.II, the fully nonlinear model for the driven surface morphological evolution is presented and the planar surface morphological stability is analyzed within linear stability theory. In Sec.III, the results of a systematic protocol of numerical simulations ar

44、e presented and compared with the corresponding predictions of linear stability theory. The synergistic action toward surface stabilization of the electric field with the thermal gradient, the critical effective external field strength for surface stabilization, and the effects of the temperature de

45、pendence of the surface diffusivity on the driven surface morphological response are established and the linear stability theory is validated. Finally, the major conclusions of this study are summarized in Sec.IV.FULLY NONLINEAR MODEL AND LINEAR STABILITY ANALYSISWe carry out a theoretical and compu

46、tational analysis of the morphological stability of a planar surface based on a continuum model of driven surface mass transport under the simultaneous action of mechanical stress, an electric field, and a temperature gradient, which induce stress-driven surface diffusion, surface electromigration,

47、and surface thermomigration, respectively. We consider an electrically and thermally conducting, single-crystalline, elastic body that extends infinitely in the y-direction of a Cartesian frame of reference with a thermally insulated and traction-free surface. This elastic body is acted on simultane

48、ously by a uniform uniaxial stress of magnitude, an electric field of constant magnitudeE, and a thermal gradient of constant magnitude|Tx|, all directed along thex-axis. A schematic representation of the solid material under this mechanical, electrical, and thermal forcing is given in Fig.1. The su

49、rface atomic flux,Js=Jss, can be expressed by a Nernst-Einstein equation asJs=DsskBTEsqs+s+QTTs.(1)In Eq.(1),Dsis the surface atomic diffusivity,s/ is the number of surface atoms per unit area, is the atomic volume,kBis the Boltzmann constant,Tis the local surface temperature,Esis the local electric

50、 field component tangent to the surface,q*sis a surface effective charge,is the chemical potential of a surface atom,Q*is the heat of transport,18andsis the arc length along the surface withsbeing the unit tangent vector in a two-dimensional (2D) representation assuming no morphological variation al

51、ongz. The model accounts for surface diffusional anisotropy, which is expressed by a well-established anisotropy function for face-entered cubic (fcc) metals:f()=1+Acos2m(+) 1,19,20where=tan1(dy/dx),Ais the strength of the anisotropy,mis the number of symmetry directions of fast surface diffusion, a

52、ndis the misorientation angle of a symmetry direction with respect to thex-direction, which is the direction of the imposed external fields in the case under consideration. Taking into account the Arrhenius temperature dependence of the surface diffusivity in addition to the surface diffusional anis

53、otropy, the surface diffusivity can be expressed asDs=Ds(,T)=Ds,min(T)f()=D0exp(Ea/kBT)f(), whereDs,min(T) is the minimum surface diffusivity at a given surface orientation at temperatureT. Assuming that the crystalline material responds to stress according to isotropic linear elasticity, we can exp

54、ress the chemical potentialas(x)=0(x)+2M2(x),(2)where0is the chemical potential for a perfectly planar unstressed surface,is the isotropic surface free energy per unit area,19is the local surface curvature,Mis the elastic modulus of the material,17andis the local stress component tangential to the s

55、urface. We parameterize the surface morphology using the height function,y=h(x,t), withh(x,t)=0corresponding to the planar surface morphology. The local curvature is expressed as=(2y/x2)/1+(y/x)23/2. The height (i.e., surface morphological) evolution is governed by mass conservation according to the

56、 continuity equation,ht=Jsx.(3)The evolution of the crystalline solid surface is described fully by the model of Eqs.(1)(3)in which the field variables,Es, andTare obtained by solving self-consistently the corresponding elastostatic, electrostatic, and thermal boundary-value problems (BVPs). The surface morphologyh(x,t)is propagated in time by integrating Eq.(3)with the comp