2.1两个向量的数量积ppt课件

1、空间两个向量的数量积(一)一一 复习引入复习引入 已知两个非零向量已知两个非零向量 , 作作 , 那么那么 叫做向量叫做向量 的夹角的夹角.OAa ,a b OBb (0180 )AOB ab与与 已知两个非零向量已知两个非零向量 , ,它们的夹角它们的夹角为为 , ,我们把我们把 叫做向量叫做向量 的数的数量积量积, ,记做记做 , ,即即 = . = ., a b |a |b |cos a b a b |a|b|cos , a b1 向量的夹角向量的夹角:abO OA AB Bab2 平面向量数量积平面向量数量积:(1)a ee a|a|cos (2)aba b0 a b(4)cosab

2、3 平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质22(3)|a|a aa 4 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)a bb a （交换律）(2)( a) b(a b)a ( b) (3)(ab) ca cb c （分配律）（数乘结合律）二、提出问题二、提出问题将平面向量的数量积拓展到空间，将如何呢？将平面向量的数量积拓展到空间，将如何呢？三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角实质上，由于空间两个向量一定是共面向实质上，由于空间两个向量一定是共面向量，所以，空间两个向量的夹角与平面向量，所以，空间两个向量的夹角与平面向量的概念一样量的概念一样OAB

3、ababBbb已知两个非零向量已知两个非零向量 , , 在空间任取一点在空间任取一点O O，作，作 ，那么，那么AOBAOB叫做向量叫做向量 与与 的的夹角，记作：夹角，记作：, a b ,a b ,OAa OBb a规定：规定：0, a b 三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角显然，对于任意两个空间向量显然，对于任意两个空间向量,a bb a 假如假如 ，则称两个向量互相垂直，记作，则称两个向量互相垂直，记作,90a b ab 由于空间任意两个向量一定共面，但是向量的基线不由于空间任意两个向量一定共面，但是向量的基线不一定共面，我们把不同在任何一个平面

4、内的两条直线叫做一定共面，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，把两条异面直线平移到一个平面内，这时两条异面直线，把两条异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角直线的夹角( (锐角或直角锐角或直角) )叫做两条异面直线所成的角。如叫做两条异面直线所成的角。如果所成角是直角，则称两条异面直线互相垂直。果所成角是直角，则称两条异面直线互相垂直。三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角例子：例子： 如图，表示一个正方体，求下列各对向量的夹角：如图，表示一个正方体，求下列各对向量的夹角：A AB BC CD DA1A1B1B1C1C1D1D1(1)(

5、1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)11ABAC 与与11ABC A 与与11ABA D 与与11ABB A 与与11(1),45AB ACAB AC 11(2),135AB C A 11(3),90AB A DAB AD 11(4),180AB B A 三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.两个向量的数量积两个向量的数量积已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量 , , 那么那么叫做叫做 的数量积的数量积( (内积内积) )，记作，记作 , , 即即, a b |cos,a ba b , a b a bcos,a ba ba b 0, a b 注意注意: : 两个向量的数量积是数量，而

6、不是向量。两个向量的数量积是数量，而不是向量。 规定：零向量与任意向量的数量积等于零。规定：零向量与任意向量的数量积等于零。由于任意两个空间向量是共面的，所以平面两个向量的数由于任意两个空间向量是共面的，所以平面两个向量的数量积可以直接推广到空间。量积可以直接推广到空间。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.两个向量的数量积两个向量的数量积|cos,a baba b 0, a b 与平面向量数量积一样，两个空间向量的数量积有如下性质与平面向量数量积一样，两个空间向量的数量积有如下性质: :1.|cos,a eaa e 2.0aba b 23.|aa a4.| |a bab 例子：例子： 设设

7、 求：求：| 2,| 3,120aba b (1)|;ab (2)(2) (3 )abab 三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.两个向量的数量积两个向量的数量积|cos,a baba b 0, a b 两个空间向量的数量积同样满足下列运算律两个空间向量的数量积同样满足下列运算律: :1.()()aba b 2.a bb a 3.()abca cb c ( (交换律交换律) )( (分配律分配律) )考虑：考虑：(1)a ba cbc 由由，能能得得到到吗？吗？(2)对于向量对于向量 ， 成立吗？成立吗？)()（a b ca b c , ,a b c 证明请参阅课本证明请参阅课本8787页页

8、四、应用举例四、应用举例例例1.1.已知长方体已知长方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2AB=AA1=2，AD=4AD=4，E E为侧为侧面面AB1AB1的中心，的中心，F F为为A1D1A1D1的中点，计算下列数量积的中点，计算下列数量积(1)(1)(2)(2)(3)(3)1BCED 1BFAB 1EFFC A AB BC CD DA1A1B1B1C1C1D1D1a b c 四、应用举例四、应用举例例例2.2.已知空间四边形已知空间四边形OABCOABC中，中，AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC，OA=OB=OCOA=OB=OC。M M，N N

9、分别是分别是OAOA，BCBC的中点，的中点，G G是是MNMN的中点。求证：的中点。求证：OGBCOGBC。O OA AB BC CM MN NG G证明：证明：说明：在空间证明两条直线垂直，利用向量的内积是一种说明：在空间证明两条直线垂直，利用向量的内积是一种常用方法。（向量法证明垂直）常用方法。（向量法证明垂直）四、应用举例四、应用举例例例3.3.如下图，在空间四边形如下图，在空间四边形OABCDOABCD中，中，OA=8OA=8，AB=6AB=6，AC=4AC=4，BC=5BC=5，OAC=45OAC=45，OAB=60OAB=60，求异面直线，求异面直线OAOA与与BCBC所成所成角的余弦值。角的余弦值。O OA AB BC C8 86 64 45 5利用向量求异面直线所成角时应注意，利用向量求异面直线所成角时应注意，异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是与两向量夹角的范围不同。与两向量夹角的范围不同。(0,2 五、课堂练习五、课堂练习考考虑虑课本第课本第8888页，练习页，练习A A，1 1，2 2，3 3六、课堂总结六、课堂总结2.2.空间两