（全国通用）近年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师专用文新人教A版

1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示-考纲传真1。了解平面向量的基本定理及其意义.2。掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4。理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理（1）定理:如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.（2）基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对（x，y)是一一对应的,把有

2、序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a（x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3平面向量的坐标运算（1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1）,b(x2,y2），则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2，y1y2)，a（x1,y1），|a。（2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1），b（x2，y2）,则（x2x1，y2y1）,|。4平面向量共线的坐标表示设a（x1，y1），b（x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.1(思考辨析)判断下列结论的正误（正确的打“,错误的打“”)（1)平面内的任何两个向量

3、都可以作为一组基底（)(2）在abc中，设a,b，则向量a与b的夹角为abc.()（3）若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4）若a（x1，y1），b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.（）答案（1）（2)(3）（4)2已知平面向量a（2,1），b(1，3），那么ab等于 ()a5b.c。d13b因为ab（2，1）(1，3）（3，2）,所以|ab|.3（2015全国卷)已知点a（0，1），b(3，2）,向量(4，3），则向量（）a（7,4)b（7,4)c(1，4）d（1，4)a(3，2）(0,1）(3，1)，(4，3）（3，1）(7，4)故选a。4（2016全国卷)

4、已知向量a（m，4），b(3，2），且ab，则m_.6a（m,4)，b(3，2），ab,2m430,m6.5（教材改编)已知abcd的顶点a(1，2）,b（3，1）,c（5,6)，则顶点d的坐标为_(1，5)设d（x，y),则由,得(4，1)（5x,6y），即解得平面向量基本定理及其应用(1）如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (）ae1与e1e2be12e2与e12e2ce1e2与e1e2de13e2与6e22e1（2）(2016山西晋中四校联考）在平行四边形abcd中，e和f分别是边cd和bc的中点，若,其中,r，则_。(1)d

5、(2）（1)选项a中,设e1e2e1，则无解；选项b中，设e12e2(e12e2）,则无解;选项c中,设e1e2（e1e2）,则无解；选项d中，e13e2(6e22e1),所以两向量是共线向量（2)选择，作为平面向量的一组基底，则，,，又,于是得解得所以。规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时,注意方程思想的运用如解答本题（2）的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组变式训练1如图4。2.1,在梯形abcd中，adbc,且adbc，e，f分别为线

6、段ad与bc的中点设a，b，则_，_，_（用向量a，b表示）图4。2。1babaabbabba，bba，bab。平面向量的坐标运算已知a（2，4)，b（3,1)，c（3,4)设a，b，c，且3c，2b,（1）求3ab3c；（2)求满足ambnc的实数m，n；（3)求m，n的坐标及向量的坐标解由已知得a(5,5）,b(6，3）,c(1，8).2分（1）3ab3c3(5，5)（6，3）3（1,8）（1563,15324）(6，42).5分（2)mbnc（6mn，3m8n）,解得8分（3)设o为坐标原点3c,3c（3,24)（3，4)（0，20）m（0，20).10分又2b，2b（12，6）(3，4

7、）(9,2)，n(9，2)，（9，18).12分规律方法1。 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程（组）求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言-“坐标语言，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来变式训练2(2017合肥三次质检）已知a(1，t),b(t,6），则|2ab|的最小值为_2由条件得2ab（2t,2t6），所以2ab，当t2时，2ab|的最小值为2。平面向量共线的坐标表示（1)已知向量a

8、(1，1），b（3，m），若a（ab)，则m()a2b2c3d3（2）已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1，2），b（2，1),c（4,2)，则点d的坐标为_(1)c（2)(2，4）(1)由题意可知ab（2，1m）,a(ab)，2（m1）0m3。(2）在梯形abcd中,dc2ab，2。设点d的坐标为（x,y），则（4,2）(x，y）（4x，2y)（2，1）(1，2)（1，1),（4x,2y）2（1,1），即(4x,2y)(2,2），解得故点d的坐标为（2，4)规律方法1。两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1）若a(x1,y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x

9、1y2x2y10；（2)若ab(a0），则ba。2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3（1）（2017郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab,则锐角_.（2）已知向量（1，3)，（2，1）,(k1,k2),若a，b,c三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_。 【导学号：31222146】(1）（2）k1（1)由ab,得（1sin )(1sin ），所以cos2，所以cos 或，又为锐角，所以.(2)若点a，b，c能构成三角形，则向量，不共线因为（2，1)(1,3)（1，2），（k1,k2）(1，

10、3）（k,k1），所以1（k1）2k0，解得k1。思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a1e12e2的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线,也可以由平行求点的坐标或参数值3若a与b不共线，ab0,则0。易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点a的位置被向量a唯一确定,此时点a的坐标与a的坐标统一为（x，y)但表示形式与意义不同，如点a（x，y),向量a（x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若a，b为非零向量,当ab时，a，b的夹角为0或180

11、，求解时容易忽视其中一种情形致误3若a（x1，y1)，b(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成，因为x2,y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10。课时分层训练(二十五）平面向量的基本定理及坐标表示a组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1如图4。2。2，设o是平行四边形abcd两对角线的交点，给出下列向量组:图4.2。2与；与;与；与。其中可作为该平面内其他向量的基底的是（） 【导学号:31222147】abcdb中，不共线；中，不共线2已知a(1,1),b（1，1)，c（1，2）,则c等于（）aab b.abcab dabb设cab,(1,2)（1,1）(1，1），cab。3已

12、知向量a,b不共线，ckab(kr）,dab，如果cd,那么（） 【导学号：31222148】ak1且c与d同向bk1且c与d反向ck1且c与d同向dk1且c与d反向d由题意可得c与d共线，则存在实数，使得cd，即解得k1。cab（ab）d，故c与d反向4如图4。2。3,在oab中，p为线段ab上的一点，xy,且2，则 （)图42.3ax，ybx，ycx，ydx,ya由题意知,又2,所以(）,所以x,y.5(2015广东茂名二模)已知向量a(3，2）,b(x，y1），且ab,若x,y均为正数，则的最小值是（）a24 b8 c。 d。bab，2x3(y1)0，化简得2x3y3。又x，y均为正数，

13、（2x3y）8,当且仅当时，等号成立，的最小值是8，故选b。二、填空题6(2017陕西质检(二)若向量a(3,1），b(7，2），则ab的单位向量的坐标是_由题意得ab(4,3)，则ab|5，则ab的单位向量的坐标为.7(2017广州综合测评(二）)已知平面向量a与b的夹角为,a（1，），|a2b2，则|b|_。2由题意得|a|2，则|a2b2a|24a|bcosa,b4b22242cos |b4b212,解得|b|2（负舍)8已知向量(3,4)，(0,3），(5m,3m），若点a,b，c能构成三角形，则实数m满足的条件是_。 【导学号：31222149】m由题意得(3,1)，（2m，1m），

14、若a，b，c能构成三角形,则,不共线，则3（1m）1（2m），解得m。三、解答题9已知a（1，1），b(3，1），c（a，b）. (1)若a，b，c三点共线，求a，b的关系式;（2)若2，求点c的坐标解(1）由已知得（2,2),（a1，b1).2分a，b,c三点共线,.2（b1）2(a1)0，即ab2。5分（2)2,（a1,b1)2(2,2）.7分解得点c的坐标为(5，3)。12分10平面内给定三个向量a（3，2)，b(1,2),c(4，1）（1)求满足ambnc的实数m,n；（2）若(akc)(2ba），求实数k.解(1）由题意得（3，2）m（1,2）n（4,1）,2分所以解得5分（2)ak

15、c（34k,2k）,2ba（5,2)，7分由题意得2(34k)(5)(2k）0，解得k。12分b组能力提升（建议用时：15分钟）1(2016四川高考）已知正三角形abc的边长为2,平面abc内的动点p,m满足|1,，则|2的最大值是()a.b。c. d。b设bc的中点为o，以点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则b（，0），c（，0)，a(0,3)又1,点p的轨迹方程为x2(y3）21。由知点m为pc的中点，设m点的坐标为（x，y），相应点p的坐标为（x0,y0)，则(2x）2(2y3）21，即22，点m的轨迹是以h为圆心，r为半径的圆,bh3,|的最大值为3r3,|2的最大值为.2向量a

16、，b,c在正方形网格中的位置如图4。24所示，若cab（，r),则_. 【导学号：31222150】图4。2。44以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1），则a(1，1)，b(6,2），c(5，1),a（1,1),b(6，2)，c(1,3）cab，(1,3)（1，1)(6，2)，即61，23,解得2，4.3已知点o为坐标原点，a（0，2)，b（4,6)，t1t2.(1)求点m在第二或第三象限的充要条件;（2）求证：当t11时，不论t2为何实数，a，b，m三点共线解（1）t1t2t1（0，2)t2(4,4)(4t2，2t14t2)。2分当点m在第二或第三象限

17、时，有故所求的充要条件为t20且t12t20。5分（2）证明:当t11时，由（1)知（4t2，4t22）。7分(4，4)，(4t2,4t2）t2(4，4)t2，10分与共线,又有公共点a，a，b，m三点共线。12分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that t