概率统计和随机过程25连续型随机变量课件

1、概率统计和随机过程25连续型随机变量课件12.5 连续型随机变量连续型随机变量定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得xttfxFxd)()(其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，密度函数或概率密度连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念概率统计和随机过程25连续型随机变量课件2分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义xF ( x )(xfy 概率统计和随机过程25连续型随机变量课件3p.d.f. f ( x )的性质的性质q0)(xfq 1)(d)(Fxxf常利用

2、这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数q 在 f ( x ) 的连续点处，)()(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率概率统计和随机过程25连续型随机变量课件4xxFxxFxFx)()(lim)(0000 xxxXxPx)(lim000)(0 xfxttfxFxd)()(积分)()(000 xxXxPxxf线段质量长度密度概率统计和随机过程25连续型随机变量课件5注意注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axa

3、xxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP命题命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零强调强调 概率为概率为1 (零零) 的事件未必发生的事件未必发生 (不发生不发生)(aX )(aXxa0 x事实上概率统计和随机过程25连续型随机变量课件6对于连续型随机变量X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaPd d( )( )( )baf xxF bF abxf ( x)a概率统计和随机过程25连续型随机变量课件7)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)a概率统计和随机过程25连续型随机变量课件8例例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随

4、机变量，其概率密度函数为其他, 01000,)(2xxcxf( c 为常数) 求常数 c(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.概率统计和随机过程25连续型随机变量课件9解解 (1)1dd)(10002令xxcxxfc = 1000(2)设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于1500小时)15000()(XPAP31d1000150010002xx设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为 Y31, 3 B943231) 1(213CYP概率统计和随机过程25连续型随机变量课件10(1) 均匀分布均匀分布

5、( a , b)上的均匀分布),(baUX记作常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间)(xf其他, 0,1)(bxaabxf其中X 的分布函数为1, 0)(abaxxFbxbxaax,概率统计和随机过程25连续型随机变量课件11xf ( x)abxF( x)ba概率统计和随机过程25连续型随机变量课件12),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第 k 位进行四舍五入，

6、则产生的误差可以看作服从kkU1021,1021应用场合应用场合概率统计和随机过程25连续型随机变量课件13例例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率. 0.005, 0.005XU 解解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间 上的任一值，则 0.005, 0.005其他,0005.0,100)(xxf8 .0100)004.0(004.0004.0dxXP所以概率统计和随机过程25连续型随机变量课件14(2) 指数分布指数分布若 X 的密度函数为其他, 00,)(xexfx

7、则称 X 服从 参数为的指数分布)(EX记作X 的分布函数为0,10, 0)(xexxFx 0 为常数概率统计和随机过程25连续型随机变量课件151xF( x)0 xf ( x)0概率统计和随机过程25连续型随机变量课件16对于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似概率统计和随机过程25连续型随机变量课件17例例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,

8、 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet! 0)(0概率统计和随机过程25连续型随机变量课件180,10, 0)(tettFt0,0, 0)(tettft即)(ET概率统计和随机过程25连续型随机变量课件19(3) 正态分布正态分布若X 的密度函数为xexfx222)(21)(则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ),为常数，0概率统计和随机过程25连续型随机变量课件20N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33概率统计和

9、随机过程25连续型随机变量课件21f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) 在 x = 时, f (x) 取得最大值21 (2) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线(3) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状概率统计和随机过程25连续型随机变量课件2221)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3概率统计和随机过程25连续型随机变量课件23q f (x) 的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同

10、的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 2 则212121附近值的概率更大. 前者取 概率统计和随机过程25连续型随机变量课件24Showfn1,fn3-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5大小概率统计和随机过程25连续型随机变量课件25应用场合应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加且这些影响可以叠加, 则则 X 服从正态分布服从正态分布.各种测量的误差； 人的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；热

11、噪声电流强度； 学生们的考试成绩；可用正态变量描述的实例非常之多概率统计和随机过程25连续型随机变量课件26一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N (0,1) 标准正态分布标准正态分布xexx2221)(它的分布函数记为 (x)，其值有专门的表可查 (x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称xtexxtd21)(225 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP标准正态标准正态分布性质分布性质:概率统计和随机过程25连续型随机变量课件275 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4概率统计和随机过程25连续型随机变量课件28-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2

12、-11230.10.20.30.4概率统计和随机过程25连续型随机变量课件29对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(概率统计和随机过程25连续型随机变量课件30例例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P364 附表3概率统计和随机过程25连续型随机变量课件31例例6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0)0(XP概率统计和随机过程25连续型随机变量课件32解二解二 图解法0.22 . 0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.3概率统计和随机过程25连续型随机变量课件33例例 3 原理设 X N ( , 2), 求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987. 029974. 0