(6.1)概念高等数学微积分课件

1、第第6章章 常微分方程常微分方程对自然界的深刻研究对自然界的深刻研究傅里叶傅里叶微积分微积分研究的对象是函数关系研究的对象是函数关系, ,但在但在实际问题中实际问题中, ,往往很难直接得到往往很难直接得到所研究的变量之间所研究的变量之间的函数关系的函数关系, ,却却比较容易建立起比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之这些变量与它们的导数或微分之间的间的联系联系, ,从而得到一个从而得到一个分的方程分的方程, ,即即微分方程微分方程. . 通过求解通过求解这种方程这种方程, ,同样可同样可以找到指定未知量以找到指定未知量之间的函数关系之间的函数关系. .因此因此, ,微分方程是数学联微分方程

2、是数学联关于未知函数的导数或微关于未知函数的导数或微是数学最富饶的源泉是数学最富饶的源泉. .系实际系实际, ,并应用于实际并应用于实际并应用于实际的重要并应用于实际的重要途径和桥梁途径和桥梁, ,是各个学科进行是各个学科进行科学研究的强有力科学研究的强有力的工具的工具. .如果如果说说“数学是一门理性思维的科学数学是一门理性思维的科学, ,是研究、是研究、了了解和知晓现实解和知晓现实世界的工具世界的工具”, ,那么微分方程就是那么微分方程就是显示数学的这种威力和显示数学的这种威力和价值的一种体现价值的一种体现. .现实世界中的许现实世界中的许多实际问题多实际问题都可以抽象为都可以抽象为微分微

3、分方程问题方程问题. .例如例如, ,物体物体的冷却、的冷却、琴弦的琴弦的震动震动、电磁波的电磁波的传播等传播等, , 都可以归结为都可以归结为微分方程微分方程 的问题的问题. 人口的增长、人口的增长、微分方程是微分方程是一门独立的数学学科一门独立的数学学科, , 有完整有完整的的理论体系理论体系. .本章我们主要介绍微分方程的一些本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念基本概念, ,种常用的微分方程的种常用的微分方程的求解方法求解方法, , 线性微分方程线性微分方程解的理论解的理论. .几几这时微分方程也称为这时微分方程也称为所研究问题的所研究问题的数数学模型学模型. .例例 1 1 一一曲曲

4、线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxm处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2cxy 即即, 1 c求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出一、问题的提出6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少

5、少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0ctdtdsv 2122 . 0ctcts 代入条件后知代入条件后知0,2021 cc,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微

6、分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. ., 0),( yyxf一阶微分方程一阶微分方程);,(yx

7、fy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxf).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xqyxpy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nixy . 0)(,),(),(,()( xxxxfn微分方程的解的分类：微分方程

8、的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积

9、分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 p(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交轴交点为点为 qpqxyox解解: 如图所示如图所示, yyy 1)(xx 令令 y = 0 , 得得 q 点的横坐标点的横坐标yyxx ,xyyx 即即02 xyy点点 p(x,

10、y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 pq 被被 y 轴平分轴平分, 解解,cossin21ktkcktkcdtdx ,sincos221222ktckktckdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktcktckktcktck.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktcktcx , 0,00 ttdtdxax. 0,21 cac所求特解为所求特解为.cosktax 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用

11、初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)例例5 求曲线族求曲线族122 cyx满足的微分方程满足的微分方程, , 其中其中c为任意常数为任意常数. .解解 求曲线族所满足的方程求曲线族所满足的方程, , 就是求一微分方程就是求一微分方程, ,所给的曲线族所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.此所求的微分方程的阶数应与此所求的微分方程的阶数应与常数的个数相等常数的个数相等. 这里这里, ,法法来得到所求的微分方程来得到所求的微分方程.已知曲线族中的任意已知曲线族中的任意我们通过消去任意常数的方我们通过消去任意常数的方对对x求导求导, , 得得. 02

12、2 ycyx再从再从122 cyx解出解出,122yxc 代入上式得代入上式得, 012222 yyyxx使使因因在等式在等式122 cyx两端两端化简即得到所求的微分方程化简即得到所求的微分方程. 0)1(2 yxxy微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结四、小结思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,

13、故为微分方程的故为微分方程的特特解解.三三、设设曲曲线线上上点点),(yxp处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为q, ,且且线线段段pq被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21cxcy 所含的参数所含的参