勾股定理ppt课件123

1、一、一、定理的定理的探索探索试一试正方形P的面积=平方厘米正方形Q的面积=平方厘米正方形的面积=平方厘米每一格表示每一格表示1平方厘米平方厘米我国古代把直角三角形较短的直角边称为我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”，于是勾股定理可叙述为：勾方加股方，于是勾股定理可叙述为：勾方加股方等于弦方。这是勾股定理名称的由来。等于弦方。这是勾股定理名称的由来。勾股弦勾2股2弦2abca2b2c2直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.二、定理的证明二、定理的证明勾股定理不仅是最古老

2、的数学勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人们已经发一个定理。几千年来，人们已经发现了现了400400多种不同的证明方法，足多种不同的证明方法，足以编成厚厚的一本书。以编成厚厚的一本书。利用图一的边长为利用图一的边长为a a，b b，c c的全等的四个直角三角形拼的全等的四个直角三角形拼成一个以成一个以c c为边的正方形为边的正方形如图二，则图中的小正方如图二，则图中的小正方形边长为形边长为(a-b),(a-b),它的面积为它的面积为(a-b)(a-b)2 2 ，四个直角三角形的，四个直角三角形的面积和为面积和为(4(4ab

3、/2) ab/2) 由此可得：由此可得：c c2 2 = (a-b) = (a-b)2 2+2ab +2ab = a= a2 2-2ab+b-2ab+b2 2+2ab +2ab = a= a2 2+b+b2 2aaaabbbbcccc思考思考 你能否利用此图得到勾股定理的结论？你能否利用此图得到勾股定理的结论？证明：证明：大正方形面积可表示为大正方形面积可表示为(a+b)(a+b)2 2又可表示为又可表示为(a+b)(a+b)2 2 = =即即ababccABDCE2211222211222211112222222111222222()()(2)sa b a baab bababsababca

4、bcssabab abcabc梯形组合三角形梯形组合三角形定理的应用定理的应用b c 13868aAA1BB1AA1BB1cc0.72.50.4AA1BB1c例 ABC 中，ABAC20cm，BC32cm。求： ABC 的面积。ABCD证明：作于， ABAC ， BC32cm.在中，由勾股定理得222222016121132 12192.22ABCADABBDcmSBC ADcm合作探究合作探究ABC131415思考思考:根据根据“边边边边边边”公理可知公理可知,三角三角形三边确定了形三边确定了,三角三角形也就确定了形也就确定了.那么那么已知三角形三边已知三角形三边,你你可以根据学过的知可以根

5、据学过的知识求出它的面积吗识求出它的面积吗?合作探究合作探究ABCD131 115证明：作于，设cm，则 （）（） cm，在和中，由勾股定理得22222222222222222222221315(14)1315(14) ,131514285121114 1284.22ABCADABBDxADACCDxxxxxxxADABxSBC ADcm由 勾股趣话勾股趣话宇宙探索 几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火

6、星上有高度智慧的生物存在猜想火星上有高度智慧的生物存在 当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理科学家们由此推想，如果火星上有具并且独立的发现了勾股定理科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理火星是否有高度有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并

7、没有打消与地球以外生物取得联系的努力怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一物取得联系的努力怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带定能懂因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直的直角三角形同学们没想到吧，两千年前发现的勾股定理，现在在探角三角形同学们没想到吧，两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用呢！索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用呢！ 1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。

8、这年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。 勾股定理断言：直角三角形

9、的斜边的平方等于其它二边的平方的勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥

10、拉斯以前一土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作期的天文历算著作周髀算经周髀算经中，第一章记述了西周开国时期中，第一章记述了西周开国时期（约公元前（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天天不可阶而升，地不可将尽寸而度。不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修

11、四，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。即我们常说的勾三、股四、弦五。周髀算经周髀算经里还这里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸

12、，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。八万里。n中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作作周髀算经周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：我听我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量

13、，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？ 商高回答说：商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩矩得到的一条直角边得到的一条直角边勾勾等于等于3，另一条直，另一条直角边角边股股等于等于4的时候，那么它的斜边的时候，那么它的斜边弦弦就必定是就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。出来的呵。 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公

14、与商高的对话则可以确定在公元前以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股股4弦弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 n在稍后一点的在稍后一点的九章算术九章算术一书中（约在公元一书中（约在公元50至至1 00年间）（右图），勾股定理得到年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的了更加规范的一般性表达。书中的勾股章勾股章说；说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加把勾和

15、股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。起来，再进行开方，便可以得到弦。”。九章算术九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。学著作中影响最大的一部。n 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽

16、。赵爽创制了一幅论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾勾股圆方图股圆方图”中，以弦为边长得到正方形中，以弦为边长得到正方形ABDE是由是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。正方形组成的。 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，

17、既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。中国数学史中国数学史 在国外尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理，这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580前500年）。 西方数学史西方数学史 铤而走铤而走“弦弦” 穿越草坪走“近道”的现象。每个人每次节约了20秒不到的时间，却踏秃了草坪，丑化了生活环境、解除了草坪的空气净化功能。所以，请走勾股正道，不斜穿“草坪”铤而走“弦”（君子，道有所不取），为社会培养遵守规则的习惯，创造优秀的社会环境。 学以致用学以致用5 或或5、你能求出下列最大正方形的