线性映射PPT学习教案

1、会计学1线性映射线性映射 Def 1:设 是 到 的一个映射.如果下列条件被满足,就称 是 到 的一个线性映射: ； 。VWVW)(i)()()(,V)(ii)()(,aaVFa问题:比较线性映射和同构映射的异同。 结论:同构映射一定是线性映射,而线性映射未必是同构映射。第1页/共14页证明 是线性映射的步骤： （1）证 是一个映射 ； （2）证 保持向量加法运算； （3）证 保持标量与向量的乘法运算。 例1:对于 中的每一向量 ，定义： ，是 到 的一个映射.证明: 是到 的一个线性映射。 2R),(21xx32121121),(),(Rxxxxxxx2R3R2R3R第2页/共14页 例3、

2、令 是数域 上的一个 矩阵，对于 中的每一个向量 ，规定： ， 是 一个 矩阵，即是 的一个向量。证明： 是 到 的一个线性映射。AFnmnFnxxx21A)()(1mmFnFmF第3页/共14页 例4、令 和 是数域 上的向量空间，对于 中的每一个向量 ，令 的零向量 与之对应： 。证明：是 到 的一个线性映射。（称为零映射） VWFVW0)(VW0 例5、设 是数域 的一个向量空间。取定 的一个数 ，对于 ，定义 。证明： 是 到自身的一个线性映射。（称为 的一个位似）VFFkVk)(VV第4页/共14页 特别，取 ，称 是 到 的恒等映射或 的单位映射；若取 ，称 是 到 的零映射。 1

3、kVVV0kVV例6、取定 的一个 元数列 。对于 中每一个向量 ，规定 。证明： 是 到 的一个线性映射。（称为 上的一个 元线性函数或 上的一个线性型）Fn),(21naaanF),(21nxxxFxaxaxann2211)(nFFFnnF第5页/共14页 例7、对于 的每一个多项式 ，令它的导数 与之对应，即： 证明： 是 到自身的线性映射。XF)(xf)(xf )()(xfxfXF 例8、令 是定义在 上一切连续实函数所组成的 上的向量空间。对于每一个 ，规定 ， 仍是 上的一个连续实函数。证明： 是 到自身的一个线性映射。,baC,baR)(xfxadttfxf)()()(xf,ba

4、,baC第6页/共14页线性映射的基本性质： （1）Def中的条件 与以下 等价： ，有 。 （2）特别，在条件 中，取得 ，即：线性映射将零向量映成零向量。 （3）由 推广，得 ， 。)(i)(ii)(iii)(iiiVFba,;,)()()(baba)(ii0a0)0()(iii)()()()(22112211nnnnaaaaaaVFaaann,;,2121第7页/共14页 Def:设 是向量空间 到 的一个线性映射： 。 （1）如果 ，则 是 的一个子集，叫做 在 之下的像，记作： ，即： 。 （2）如果 ，则 是 的一个子集，叫做 在 之下的原像。VWWV :VV )(VWV)(V)(

5、)(VV)(WVVWW W第8页/共14页 定理7.1.1：设 和 是数域 上的向量空间，而 是一个线性映射，则： （1） 的任意子空间在 之下的像是 的一个子空间； （2） 的任意子空间在 之下的原像是 的一个子空间。VWFWV :VWWV第9页/共14页特别地，有： 像空间：向量空间 在 之下的像叫做 的像，记作： ，即： ，且 是 的一个子空间。 核空间： 的零子空间 在 之下的原像叫做 的核，记作： ，即： ，且 是 的一个子空间，即：V)Im()()()Im(VV)Im(WW0)(Ker0)()(VKer)(KerVVKer)(第10页/共14页 定理7.1.2：设 和 是数域 上的向量空间，且 是一个线性映射，则： （1） 是满射 ； （2） 是单射 。 VWFWV :W)Im(0)(Ker 结论1：设 、 、 都是数域 上的向量空间，如果 ， 是线性映射，则合成映射 是线性映射。UVWFVU :WV :WU :第11页/共14页 结论2：如果 、 、 、 都是数域 上的向量空间，且 ， ，是线性映射，那么 和 都是 到 的线性映射，且 。 U V WFVU :WV :XW :)()(XUX)()( 结论3:如果线性映射 有逆映射 ，那么 是 到 的一个线性映射。WV :11WV第