分式的运算技巧

1、精品分式概念4形如E （A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。4注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是B的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件：1. 分式有意义条件：分母不为 o。2. 分式值为0条件：分子为0且分母不为0。3. 分式值为正（负）数条件：分子分母同号

2、得正，异号得负。4. 分式值为1的条件：分子=分母和。5. 分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A _ A xC _ C（ a,b,c 为整式，且 b、Co）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1. 如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

3、2. 分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。感谢下载载最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最 简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则:(1) 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。(2 )两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：a c ac分式的加减法法则:同分母分式的加减法法则：同分母的分式相

4、加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a c ad b匚 nd 士 be 士 二b d bd bd bd异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。d ca d ad1L/ 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数b db cbe乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简:分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2 ）按解整式方程的步骤求

5、出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大 了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】、分式的概念1、正确理解分式的概念:【例1】有理式(1)-；2(3)2xy；(4)3x y3(5)丄；(6)x-1丄中，属于整式的有： ;属于分式的有:2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零(1)例如，当x为时，分式3有意义.错解：x 3时原分式有意义.(2) 不要随意用“或”与“且”。例如当X时，分式sn

6、码有意义？错解：由分母I-，得，八3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.x 1x 1x21当X_时，分式 有意义当X_时，分式 无意义当X_时，分式值为0 x1x-1x-1、分式的基本性质:1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质 时，必须注意： 分式的基本性质中的 A、B、M表示的都是整式. 在分式的基本性质中，M工0 . 分子、分母必须“同时”乘以M（M工0），不要只乘分子（或分母） 性质中“分式的值

7、不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式 的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的.注意:根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个， 分式的值不变.分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式【例3】下列变形正确的是（）c.4必a b a b5x【例4】如果把分式中的x, y都扩大3倍，那么分式的值一定（）2x yA.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式为最简分式或整式，根据是分式的基本性质a2 b2

8、【例5】（1）化简的结果为（）A .a abxy 2yx（2）化简二的结果（）A.-x 4x 4x 2，约分过程实际是作除法，目的在于把分式化ba ba bB.c.-D. baaaB.xyyc.D .x 2x 2x 22 2(3)化简6泸的结果是()A - B宁x2 9 D x 33、通分通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:(1) 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2) 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 三、分式的运算1、分式运算时注意:(1)注意运算顺序例如，计算(3 a)，应按照同一级运算从左到存依次3 a计算的法

9、则进行.错解：原式(1 a)(2 )通分时不能丢掉分母例如，计算X 1 ,出现了这样的解题错误：原式X X 11 分式通分是等值变形，不能去分母，不要同解方程的去分母相混淆;(3)忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略.(4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1) 先把除法变为乘法；(2) 接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3) 再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4) 最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式.3、加减的加减1）同分母分

10、式加减法则：分母不变，分子相加减。2）异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分，化为分母相同；按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算,能分解因式，可先遇有括号，先算括号内的如果分式的分子或分母中含有多项式，并且分解因式，能约分的先约分，再进行运算【例6】计算:a242x(2)x 2 ;x 2(3)1-xx 4x2 2x1 1(4)已知-x y3，则代数式2x 14xy 2y的值x 2xy y分式运算中的技巧与方法在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧

11、，选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。、整体通分法2例1 .化简：-a-1 a 12 2aa解：-a-1=-(a+1)=a 1 a 1分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。a2(a 1)(a 1)=a2 (a2 1)= 1a 1 a 1a 1 a 1、逐项通分法精品122感谢下载载2b22a b4b3a4 b4分析:注意到各分母的特征,联想乘法公式，适合采用逐项通分法a bab a2b2 _ a4b4(a b)(ab)2b4b32 ab2a2 b2a4 b42b2b4b32 2a b一 2 ab2-a4 b42b(a2b2)2b(a2

12、 b2)4 b3112b4 b3a4 b4a4 b44b3b44b3a孑=三、先约分，后通分例3 计算:2 a2 a6a +2a2a-2 a4a 4分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解:2小2,a 6a a 42+ 2a 2a a 4a 4a(a 6) (a 2)(a 2) a 6a(a 2)+ (a 2)2= a 2a 2 2a 4= =2 a 2 a 22(x丄)5 y.1四、整体代入法例4 已知1+丄=5求2X 5Xy 2y的值x yx 2xy y解法1 : v 1+丄=5 :沁工0,.所以2X 5xy 2yx yx 2xy y精品1 1x y解法 2 :由一+ =5 得，

13、=5, x+y=5xyx yxy2x 5xy 2y 2(x y) 5xy 2 5xy 5xy 5xy 5x 2xy y (x y) 2xy5xy 2xy 7xy 7感谢下载载五、运用公式变形法1例5 .已知a2-5a+仁0 ，计算a4+飞a1解：由已知条件可得 a丸,-a+=5a4 4 =(a 2 +a丄)2-2=(a+aa)2-2 2-2=(5 2-2) 2-2=527a六、设辅助参数法例6 .已知S，计算:c(a b)(b c)(c a)abc”、b c a c a b解：设= =k，贝U b+c=ak ； a+c=bk ； a+b=ck ；abc把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a

14、+b+c)k若 a+b+c=0, a+b= -c,贝V k= -1若 a+b+c 工0,则 k=2(a b)(b c)(c a) ak bk ck 3=k3abcabc当k=-1时，原式=-1当k=2时，原式=8七、应用倒数变换法2aa例7 .已知=7，求r 2 的值a a 1a a 12a a 11 卄a+解：由条件知a工0, = ，即a 71=a2+=(a+1)2-1 =aa1549a2= 49a4 a2 1 = 15八、取常数值法例 8 .已知：xyz MO,x+y+z=O,计算x解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2.则 + y =-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。xyz九、

15、把未知数当成已知数法2 , 2 2 a b c 例 9 .已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0, 计算：ab bc ac解：把c当作已知数，用c 表示 a,b 得,a=3c, b=2c2.2 2 2abc14c14= 2 =ab bc ac 11c11十、巧用因式分解法例 10 .已知 a+b+c=0,计算2 ,2ab2a2 bc 2b2ac2c2c2ab解：/a+b+c=0,/-a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得 2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)

16、2a2 + 2a bc 2b.22bc2 + 2 ac 2c aba2b2c2+ +(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)a2b2+(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)c2a2(b c) b2(a c) c2(a b)(c-a)(c-b)(a b)(a c)(b c)a2 (b c) b2a b2c c2a c2ba2(b c) a(b c)(b c) bc(b c)(a b)(a c)(b c)(a b)(a c)(b c)2(b c)(a ab ac bc)(a b)(a c)(b c)(a b)(a c)(b c) =1(a b)(a c)(b c)分式运算的几

17、种技巧(二)x 1 x2 2x1、先约分后通分技巧例1 计算x2 3x 2 + x2 4分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=(x 1)(x 2)x(x 2)(x 2)(x 2)x 1722、分离整数技巧x2 3x 3例2计算x2 3x 2 -x2 5x 712 2x 5x 6 - x2 4x 3分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。2(x2 3x 2) 1解：原式=x23x 22(X2 5x 6) 1x2 5x 61x2 4x 31=1+ x2 3x 21x2 5x 6 - x2 4x 3=(x 1)(x 2) - (x 2)(

18、x 3) - (x 1)(x 3)x 3 (x 1) (x 2)(x 1)(x 2)(x 3) = (x 1)(x 2)(x3) =- (x 1)(x 2)(x 3)3、裂项相消技巧例3计算x(x 1) +(x 1)(x 3) + (x 3)(x 6)精品1分析：此类题可利用 n(n m)丄 丄丄m ( n - m )裂项相消计算。a2-4 ,第二项、第三项分母乘积为a2-1 ,2_1 )4_4a2 4 + a2_ 121 = (a2 4)(a2 1)5、变形技巧 例5 已知x2-3x+仁0 ，求x2 +的值。分析：将已知两边同除以x ( x工0)可变出1x+ x然后利用完全平方公式的逆用可求

19、出丄X2+ X2的值。解：由x2-3x+仁0 ，两边同除以x (xO)，得1 1 x-3+ x =0，即 x+ x =31 1所以 X2+ X2 = (x+ X ) 2-2=3 2-2=7二、分式求值中的整体思想2例1 若分式22y 3y的值为14y2 6y 1的值为(112 11311解:原式=(X-X1 )+ 2( X 1-X 3 ) + 3 ( x 3 - X 6 )1 16=x - X 6 =x(x6)12 2 14、分组计算技巧例4计算a 2 +a 1 - a 1 - a 2分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为采取分组计算简捷。解：原式=(a 2 -2感谢下载载B、-1解：由

20、已知歹3y 741=得 2y2+3y+7=8精品2y 2 *+3y=1,4y2+6y=2 所以1 14y2 6y 1 =厂=1，故选 A。1例2 已知丄+aa+b 与 ab1=4 ,则 4a 3ab 4b b3a 2ab 3b分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用 的表达式，然后将 a+b用ab代换即可求出所求式的值。a b解：由已知得=4/-a+b=4abab感谢下载载4a 3ab 4b3a2ab 3b4( a b) 3ab = 4 ?4ab 3ab 19 3(a b) 2ab 3?4ab 2ab10点评:本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到4 3a3 3

21、2 b a1 14(- -) 3 a b1)2(丄a然后将已知式代入求值,这种方法也是常用的一种方法。已知 a2-3a+1=0 ，求解：由已知a2-3a+1=0知a丸,将已知等式两边同除以1a 得 a-3+=0 ,a.a+ =3a所以点评:a4121=a 2+ 二 aa(a+ -) 2-2=3 2-2=7 -!-aa所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。1=2a11已知一+ - aba21 2(a) 2 m2a1 1+ = b c这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。abc1 =丄，求的值。15 ab ac bc分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到刁1 1，只要将已

22、知式变换出一 +11ab c15将、左、右分别相加，得1+1)=1+1+1be 6915,11131.+ + = a b e 180abe1180所以=ab ae be11131eba例5有一道题：“先化简再求值：(x 1fx )21 ，其中x- , 2008 ”，小明做x 1 x 1x 1题时把x= 2008 ”错抄成了 x. 2008 ”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事?解析:首先对原分式进行化简，再根据化简结果说理x 1 2x11) x2 1(x2(x 1)(x 1)1) (x 1)2 2x x2 1.因为当x,2008 和I2x . 2008 时，x21的值都是2

23、009,所以小明把ax=.2008 ”错抄成了 x= 2008 ”，计算结果也是正确的丄 例6 已知x2-3x+1=0 ，求x2+ x2的值。丄分析：将已知两边同除以 x(x工0)可变出x+ x，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+丄X2的值。解：由x2-3x+仁0 ，两边同除以x (xM0)，得11丄丄x-3+ x =0，即 x+ x =3 所以 x2 + X? = (x+ x ) 2-2=3 2-2=7三、分式运算新型题例2 请利用、一也 和甘这三个分式组成一个算式，来表示其中两个分式m 3 m 3 m 9的商减去第三个分式的差，并化简解析:本题为开放性问题，答案不唯一.按题目的要求可得

24、到10多个不同的算式，选取其中一个进行化简即可，但一般应选择一个计算较简便的算式，以减少运算量，提高正确率如，弓十旦-丄=3 心m 9 m 3 m 3 (m 3)(m 3) m31=3 m 丄等等=,.、等、等 .m(m 3) m 3 m(m 3) m,已成为各类考试的热点的a值，代入求值.温馨提示：这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养 但所考查的知识却是我们所熟悉的a2i例3 先化简代数式，然后选取一个合适a 2 a 2 a 4解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”，解题时必须明确“合适”在题中的含义，即选取的a的值不但要使原式有意义，而且还要尽量使运算简便原式=a(a 2)2(

25、a =a(a 2)2(a2) a 4.由题意知，a的值不能取2和-2,所以当a =0时，原式=4.温馨提示：本题既检测了同学们分析问题的能力，又考查了识别隐含信息的能力 ，题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识这类题目也是近年出现的热点题型 ，为我们提供了较为广阔的思考空间，但所选字母的值应保证原式有意义，以防掉入解题“陷阱” 一、开放性问题例1在下列三个不为零的式子X2 4, x2 2x，x2 4x 4中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是 .分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化解：本题存在6种不同的结果，任选

26、其一即可)(a24)(a 2)(a 2)精品1(3)(5)2 x4x2 ；(2)x24x22 x2x x72 x4x 4x22 x2xx(4)2 x2xx2 x4xJ4x2 ；2 x4 x2J2 x4x4x2 ；2 x4x 4x22 x4Jx2 ；2 x2x x说明:其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是()m平方I -m 2 I结果2A. mB. mc . m +1d . m-i分析：本题设计新颖，意在创新，明确

27、计算程序是正确解答本题的前提2 m m八“十， m m 1解：计算程序可表示为：2，化简：原式=2 =m-1+2=m+1mm故选C.说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案三、自选数值求解例3化简1并选择你最喜欢的数代入求值.分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好“ X 1 X 11 x(x 1),解：原式x，当x=2时，原式=-2.x 1 x(x 1) x 11说明：这里的x不能取0与1，否则分母的值为 0,原

28、式就没有意义了 四、运算说理题x2 4x 4 x2 2x 1例4在解题目：“当x 1949时，求代数式21的值”时,x 4x 2 x你认为他说的有理吗？请说聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果.明理由.分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决 问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理解：聪聪说的有理.x2 4x 4 x2 2xQF21 1 (x 2)x (x 2)(x 2)x 2x(x 2)11丄丄1 1x XX只要使原式有意义，无论x取何值，原式的值都相同，为常数说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释

29、题目所问的问题 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题.1111 221112 3231113 4341111 1(1)计算c1 22 33 44 5 5 6丄宀1(2)探究111.(用含有n的式子表示)1 22 33 4n(n 1)(3 )若1r5(2n1)(2n1)的值为仃35，求n的值.解:(2)(3)1(2n 1)(2 n 1)1(17) +12n1)2T1) =n2n 1由2n 135解得n 17经检验n 17是方程的根， n 171_1_2 十 4【精练】计算:x-l兀十1 ? -H1 十1公分母比.因【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，

30、较复杂，其运算难度较大不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的此我们可以采用逐项相加的办法1124221一 + ;:+ 【解】-.】1 -=上 -1 I -44=J 一一一=11 2x+ _2十 i1 .顺次相加法例1 ：计算：-【分析】本题的解法与例 1完全一样112x432x2x4丸耳十* 十I 丁十 十 【解】=.4 Xs4护=J 1 /=/ -1-12 整体通分法【例2】计算：“1-”后【分析】本题是一个分式与整式的加减运算如能把(-a-1 )看作一个整体，并提取在通分会使运算更加简便通常我们把整式看作分母是1的分式兰兰S1)/ _十加-1)_八3-1)_ 1【解】：、一

31、1=：、一 1= _、一 _ 一 1.-.L、一 13 化简后通分a3b -b +a3 + a3b aba分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然, 化简后再通分计算会方便许多. 型十bFb)阱：用巩-訥+1护b(a-b)(a2 + ab + ba)a (a3 +ab + b3)(a-b)2s. - b Sl_14 .巧用拆项法十十十 +例 4 计算：一 -:：-|： 】* 一 一 ，二感谢下载载精品感谢下载载分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是:每个分式的分母都是两个连续1 1 1整数的积（若a是整数），联想到 -：，这样可抵消一些项解：原式=

32、卫 碎+1 丿+1 df + 2 J (盘+2 &+了5 分组运算法10例5 :计算：工十 2x1X +3r+ 2x +4x-h3L+- J分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便1111Z + :解:+十卞x2 +十1F十3工十2疋2十4工十三4_ 1 1 _JL_ 1 1 疋（厂十1（兀十。芹十2）T(+l)a0十 00 十Rj + 2 - r * x + 3 - 1)天 0+1)0+ 2)(兀 + L)匕 + 习2 | 2Xa + 1)0 + 2) (x + L)z + 3)2(2x3

33、 + 6x + 3)霞k +1?匕+ 2)0 +习【错题警示】错用分式的基本性质1=jx-3y（上刃2 =十错解：原式-分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以 （或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质=-J_ 2兀-6丿正解：原式匚H二、错在颠倒运算顺序丄十-#匕计算-错解:分析:乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.J1_1-左 _1_正解:原式 -二- 三、错在约分汽-1例1当：为何值时，分式有意义?x-11错解原式m 一由】一得）.天一12 -时，分式-?1 1:有意义.解析上述解法错

34、在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式,，扩大了未知数的取值范围，而导致错误正解由J二1得 =且2兀一1.当. =:且TH 1，分式-:-j有意义.四、错在以偏概全1-例2 工为何值时，分式J 1 -有意义？错解当：，得上-.当=_；，原分式有意义1 1-解析上述解法中只考虑上的分母，没有注意整个分母-，犯了以偏概全的 错误.正解丁_1 二，得二 ,，得 当-且-时，原分式有意义五、错在计算去分母a-1-例3 计算-1 ：.错解原式_a2-a2 =-解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，_a2正解原式1 - 1 _-_ -1 1口十1十1 .六、错在只考虑分

35、子没有顾及分母工_ 2例4 当忙为何值时，分式 I .的值为零.错解由b卜2二0，得A = 2 .当,；一-或一-时，原分式的值为零.-|解析当八-时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件正解由由I，得兀一立.由严十崔一 6毛0得x社一3且五丰2当；一 时，原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A.B.C.D.2若分式的值等于零，则 x=3求分式的最简公分母。【变式 1】（ 1）已知分式的值是零，那么 x 的值是（ ）A1B0C1D .1没有（ 2 ）当 x时， 分式意义【变式 2 】下列各

36、式从左到右的变形正确的是（）B类型二：分式的运算技巧（一）通分约分4 化简分式变式 1 】顺次相加法计算：变式 2 】整体通分法 计算：二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法计算：【变式 1 】分组通分法计算：【变式 2 】巧用拆项法 计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6 参 数 法 已 知的值变式 1】 整体 代入 法 已知的值.【变式 2 】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知的值【变式 3 】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，

37、 即把其中一元看作已知数来表示其它两元， 代入分式求出分式的值已知的值.类型四：解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧.（一）与异分母相关的分式方程11 x【变式1】换元法解方程：3x 22 x（二）与同分母相关的分式方程【变式1】解方程-_8 8x 77 x【变式2】解方程x2x 5515 2x类型五：分式（方程）的应用9 甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖甲进货的策略是：每次买 1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？

38、【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B 若汽车的速度是自行车的速度的 2倍，汽车比自行车早到 2小时，那么汽车及自行车的速度各是多 少？【变式2】A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回,返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达 A地，求甲车原来的速度和乙车的速度.(一)、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中:x 1a-,r rX y，是分式的有:y题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义(1)

39、77 (2)汽(3)子(4)|x| 3(5)题型三：考查分式的值为 0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.,、x 1(1) -x 32(3) 7 5x62x 3题型四：考查分式的值为正、负的条件(2 )当x为何值时，分式【例4】(1 )当x为何值时，分式为负;3 (x 1)2x 2(3 )当x为何值时，分式为非负数x 3练习:1 当x取何值时，下列分式有意义:(1)16|x| 3(2)3 x(x 1)21(3)2 当x为何值时，卜列分式的值为零：/ 、5 | x 1 |/ 、25 x2(1)(2)于x 4x2 6x 53 解下列不等式(1) |x 1 2 0(2) 2x 5 0x 2

40、x 3x 1(:一）分式的基本性质及有关题型AA MA M1.分式的基本性质：B MB MB2 .分式的变号法则：a ba ba ab b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数120.2 a 0.03b0.04a bxy(1)2 311xy3 4题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1) x y(2)a(3)ax ya bb题型三：化简求值题【例3】已知：115,十2x求3xy 2y的值.xyx2xy y提示：整体代入,xy3xy ,转化出x y【例4】已知：x12,求x21斗的值.xx【例5

41、】若| xy1|(2x3)20,求的值4x2y练习:精品1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数(1)0.03x 0.2y0.08x 0.5y(2)0.4a -b5(7)感谢下载载2.已知：x13，求Fx22的值.xxx 111亠2a3ab2 b +3.已知：3，求的值.abbaba4.2右a2ab26b 100,求2a b A的值3a 5b,1 x2 |x 1| x |5.如果1x2 ,试化简亡2x|x 1| x（三）分式的运算题型一：通分【例1】将下列各式分别通分(1)b a ；2ab3a 5b2c ；b ；2b 2a ；1(3)$xx 1 2x x(4) a12,2 a题

42、型二：约分【例2】约分:2（1）醫；（3）n2(3)xx2x 6题型三：分式的混合运算【例3】计算:(1)（总）3c2(七)ab(広)4 ；a(2)超)3 (x2x y2 y x 2y2) ()2 ；y x(3)m 2nn m2m n(5)(6)2x1 x2m4x31 x418x7 8 ；1 x1(4)2a彳a 1 ；a 1(x 1)(x 1)(x24x 4x 4(x 1)(x 3) I七)(d)x 2 x 1(x 3)(x 5)题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值精品(1)已知：28x 2 41 1x 1，求分子12(1)()的值；X244x2 x(2)已知：x y z 求 xy 2yz 3xz 的值.2 3 4，求 x2 y2 z2；(3)已知：a 3a 1 0，试求(ay)(a -)的值.a2a题型五：求待定字母的值 【例5】若卫 N，试求m,n的值.x 1 x 1 x 1练习：1 计算a 12(a 1)2a 32(a 1)(2)b2 2ab(3) a be a 2b3e b 2e2丿a be b ea e a b4ab4ab(5) (a b)(ab);a b