第2讲几何光学和眼睛

1、1 第一章第一章 几何光学几何光学 ( (参见书第一章内容参见书第一章内容) ) Geometrical Optics Geo“几何几何” 2 2014年秋季学期的光学演示实验年秋季学期的光学演示实验 n从下周（从下周（9月月29日）开始可以预约上课。日）开始可以预约上课。 n光学演示教室是一个可容纳130人同时上课的阶梯教室，但为了达到 最好的演示效果，每次课70-80人最为适宜。请您根据您的教学班的 学生人数，与我们联系确定具体的上课时间。 n本学期可预约的时间段如下： 周一可选时间段：5-6节，7-8节，晚5:10-7:00 周二可选时间段：晚6:10-8:00 周三可选时间段：7-8节

2、，晚5:10-7:00 周四可选时间段：1-2节，晚6:10-8:00 周五可选时间段：1-2节 上课地点：理教109教室（请注意上课地点） 上课时数：每次2学时 上课人员：穆良柱、张海君 联系电话：6275 1746 手机：138 1010 4287 3 Geometrical Optics Geo“几何几何” 小知识：小知识： 徐光启和利玛窦几何原本中译本的一个伟大贡献在于确定 了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中 一些基本术语的译名。 “几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时， 取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量 大小”

3、的意思。用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来 之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、 角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些 译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。 （徐光启(15621633)，字子先，上海吴淞人 。上海人h一般 不发音，所以geo里虽然没有h也给加上了，类似的还有：Neon= 霓虹灯） 4 Geometrical optics (ray optics) is the simplest version of optics. Ray optics 几何光学是最简 单的光学形式 5 Contents 授课内容授课内容

4、nPostulates基本假设of Ray Optics 光线光学的基本假设光线光学的基本假设 nOptical path length and time delay 光学路径长度和时间延迟光学路径长度和时间延迟 nOptical path equation 程函方程程函方程 nGradient index 渐变折射率渐变折射率 nFermat principle 费马原理费马原理 原理表述原理表述 数学表达数学表达 导出反射定律、折射定律导出反射定律、折射定律 费马原理与成像费马原理与成像 费马原理的评述费马原理的评述 nGeometrical Optics (Matrix expressi

5、ons) 几何光学几何光学 1.Next page 6 Contents (contd) 授课内容授课内容(续续) nGeometrical Optics (Matrix expressions) Paraxial Approximation 傍轴近似傍轴近似 Ray matrices and ray vectors 光线矩阵和矢量光线矩阵和矢量 Matrices for various optical components 矩阵元矩阵元 The Lens Makers Formula Imaging and the Lens Law 成像定律成像定律 Mapping angle to pos

6、ition 角度分布角度分布 Cylindrical lenses 柱面镜柱面镜 Aberrations 像差像差 1.The Eye 眼睛眼睛 7 Ray Optics Basics 光线光学基础光线光学基础 Postulates (基本假设) of Ray Optics Light travels in form of rays 光以光线形式传播光以光线形式传播 An optical medium is characterized by the refractive index n time it takes light to travel distance d: d/c = nd/cva

7、c optical path: nd An inhomogeneous optical medium: n(r) r=(x,y,z) time taken by the light to travel from A to B is proportional to optical path length Fermats Principle (后面还要讲后面还要讲): optical rays travel between two points A, B on the path where the optical path length is an extremum in most cases a

8、 minimum light travels the path of shortest time homogeneous medium: light travels on straight lines med vac c c n B A dsrn)(lengthpath Optical 0)( B A dsrn 8 Optical path length and time delay 光程与时差光程与时差 QP的传播时间： Q P M N i i i i iQP v l tttt tcQPLQPL c ln c t i ii )()( 11 或 介质中光速用真空光速和折射率代替： 光程的另一角

9、度认识 光经历Q和P两点的光程等于传播时间乘以真空光速。 9 on Snells law nAlthough named after Dutch astronomer Willebrord Snellius (15801626), the law was first accurately described by the Persian (波斯人波斯人) scientist Ibn Sahl at Baghdad court, when in 984 he used the law to derive lens shapes that focus light with no geometric

10、 aberrations in the manuscript On Burning Mirrors and Lenses (984). n对比：对比：Fermat (16011665) 10 Optical path descriptionOptical path description Suppose we have known Snells law already, in a stepped index stack, we have 001122 sinsinsinnnn 0 n 1 n 2 n 3 n x y 0 ( )n y s 222 dsdxdy 22 1 dyds dxdx 1

11、sin ds dx Notice that 2 2 22 00 ( ) 1 sin dyn y dxn or We derive (对入射界面) y y x x 2 22 00 ( ) 1 sin dyn y dxn 11 Optical path descriptionOptical path description Differentiate on both sides: 2 2 22 00 ( ) 1 sin dyn y dxn 2 2 2 dy d y dx dx 2 22 00 1( ) sin dny dy ndydx 12 Optical path equation 程函方程程函

12、方程 Therefore we have: 2 2 222 00 1 2sin d n d y dxndy From the equation, we may derive the optical path trace Path equation！ 13 Example: gradient index fiber For the index of a fiber as (in radial direction 径向径向) In the case of 2 0 1 ( )(1) 2 n yny 2 22 0 1 ( )(1) 2 n yny 2 1y 222 0 ( )(1)n yny 2 2

13、0 ( ) 2 dn y n y dy 2 22 0 sin d y y dx Substituting in to the path equation, we have Very much like a harmonic oscillator equation! Then the trace will be like a wave as a function of x! 2 2 222 00 1 2sin d n d y dxndy 14 Solution Oscillation period nc nf 0 0 ( )cos sin y xCx 00 2 sin2 cosu L Solut

14、ion Dependent on the angle 0 0.5radu For small incident angle 0 0 u 0 cos1u 2 L Oscillation period is approximated as 15 Gradient index nNatural index gradient nIndex above the sea 222 0 ( ) y p nynn e 0 1.000233n 0.45836 p n 2.303/m The higher is the aptitudes, the smaller the index is 222 0 ( )(1)

15、 y p nynne However in the continent, if the surface temperature is very high, the index distribution may be inversed The higher the index is larger! 16 Why Titanic did not see the iceberg? nTitanic 遇上了冰冷的洋流！遇上了冰冷的洋流！ 17 Why Titanic did not see the iceberg? nTitanic 遇上了冰冷的洋流！发生了海市蜃楼现象，遇上了冰冷的洋流！发生了海市蜃

16、楼现象， 抬高了海平面，使观察员不能清楚看到冰山抬高了海平面，使观察员不能清楚看到冰山 18 Mirage 海市蜃楼海市蜃楼 海市蜃楼海市蜃楼 19 Gradient index nArtificial gradient index qGradient index fiber nIntense laser resulted index gradient qSelf-focusing, Self-defocusing qThermal lensing 20 Geometric optics of rainbow 21 Geometric optics of rainbow 22 费马原理费马原理

17、 Fermats principle 原理表述 数学表达 导出反射定律、折射定律 费马原理与成像 费马原理的评述 光程的概念对几何光学的重要意义体现在费马原理中。几何光学 的基础是前面所提到三个实验定律，费马却用光程的概念高度概括 地把它们归结成一个统一的原理。 23 17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学 家一筹莫展，这个人就是费马(16011665)。 这道题是这样的：当n2时，xn+yn=zn没有正整数解。在数学上这称 为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上 几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，由于当时 费马声称他已解决了这

18、个问题，但是他没有公布结果，于是留下数学难 题中少有的千古之谜。费马大定理以由普伦斯顿大学英国数学家安德 鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明 /wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5 %AE%9A%E7%90%86 费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并 被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律 样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的 发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他 的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记

19、和批注挖掘他的思想。好 在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈 圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并 且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉 他为“业余数学家之王”。 费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作 曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通 过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论数论的发展方向。他 还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。 24 Q P Description 表述：表述： ( ) ()( ) P S l L SPn r ds 平稳

20、值的三种基本的含义： 极小值常见情况， 常数成像系统的物像关系 极大值个别现象 光线沿光程为平稳值光线沿光程为平稳值(stationary)的路径而传播的路径而传播(书上书上)。 Optical rays travel between two points A, B on the path where the optical path length is an extremum, in most cases a minimum Light travels the path of shortest time （英语表达）英语表达） S S 平稳值 Any difference? 25 费马原理的

21、数学表达式 mathematical expression ( ) ()( )( ) P S l L SPn r dsL l 路径积分 integration of optical path length： 是路径（l）的函数，平稳值要求变分为零 ( ) ( )0( )0 P S l n r dsL l ，或 路径（l）的值就有极大、极小和常数这三种情况。 极大：？ 极小：折射反射定律 常数：成像 26 变分值为极大和常数情况 maximum or constant AB D (切点) D ADB ADB But ADB violent the reflection law Light tak

22、es the longest path ! 极大: 常数: 27 费马原理与三个实验定律费马原理与三个实验定律: experiment verification 1、光在均匀介质中直线传播 (直线距离最短) 2、反射定律（反射角入射角） 3、折射定律（life-guard problem） Q Q M M P 要点：反射光线在入射面，反射角等于入射角，光程最短。 M” 28 (1) 救生员应该在最短的时间内到达被救者 (2) 在海滩上和在海水里奔跑速度不一样，因此要选择最佳 入水地点 (3) 计算路径（时间）并变分为零，得到折射定律！ 0)(0)( )( lLdsrn l P Q ，或 3、折

23、射定律 Life guard problem 救生员问题救生员问题 29 (1)折射光线在入射面内，方法和反射定律推导一样。 (2)入射角和折射角的关系； QMP的光程： 2 2 2 22 2 1 2 1121 )()(xxynxxynMPnQMnL 根据费马原理，L对x的一阶导数为零；12 12 2222 1122 0 ()() xxxxdL nn dx yxxyxx 3、费马原理推导折射定律（contd) 30 费马原理推导折射定律（contd) 1 1 22 11 sin () xx i yxx 1122 sinsinnini 1 2 22 11 sin () xx i yxx 导出折射

24、定律： 因为： 31 费马原理与成像费马原理与成像 ) () () ( 2211 QNQMLQNQMLQNQML ii 32 ) ()( ) ()() ()( 222111 QNLNQML QNLNQMLQNLNQML iii ) (QNnQNL ii 等光程与成像等光程与成像： 其中： 严格等光程 严格成像，近似等光程 近似成像， 非等光程 不成像， 33 费马原理应用例题-导出单球面折射傍轴成像公式 等光程：) () (QOQLQMQL xnnsQOQL hxnhsn MQnQMnQMQL ) ( )()( ) ( 2222 傍轴条件：xrs, 2222 22 ()1()1 rsrx sh

25、sxhx sx ， 单球面，界面两单球面，界面两 边折射率不同边折射率不同 2 2hr r 222 222 () 2 2 hrr rrr r 不是半径 34 xnns x rx xn s sr ns11 22 代入等光程： rsrxrsrx nnnn sxsx sf n fr nn xf n fr nn 后焦距， ，前焦距 值得指出的两点： 1、单球面傍轴成像公式的获得 没有使用折射定律，结果和利用 折射定律所得结果一致。 2、傍轴条件： 0, the lens deflects rays toward the axis. f 0 If f 0, the lens deflects rays

26、away from the axis. f 0 R2 0 R1 0 53 A lens focuses parallel rays to a point one focal length away. 01100 /0 11/101/10 outinin outin xfxfx xfff f f At the focal plane, all rays converge to the z axis (xout = 0) independent of input position. Parallel rays at a different angle focus at a different xo

27、ut. A lens followed by propagation by one focal length: Assume all input rays have in = 0：parallel rays For all rays xout = 0! 54 Types of lenses 典型透镜典型透镜 Lens nomenclature 透镜术语 Which type of lens to use (and how to orient it) depends on the aberrations and application. 双凸透镜 平凸透镜 凹凸透镜双凹透镜平凹透镜 半月型透镜

28、55 Ray matrix for a curved Mirror 反射镜矩阵反射镜矩阵 Like a lens, a curved mirror will focus a beam. Its focal length is R/2. Note that a flat mirror has R = and hence an identity ray matrix. 1 () 2/ outsinss inin xR Consider a mirror with radius of curvature, R, with its optic axis perpendicular to the mir

29、ror: in out xin = xout 1 s R z 1 1 / inssin xR 10 = 2/1 mirror O R 56 Miscellaneous matrices 矩阵元总矩阵元总 结结 10 = 2/1 mirror O R 10 = -1/1 lens O f 12 10 0/ interface O nn 1 = 01 space z O 1212 10 (/1)/ curved interface O nnRnn 空间传播矩阵空间传播矩阵 透镜变换矩阵透镜变换矩阵 反射镜镜变换矩阵反射镜镜变换矩阵 曲面变换矩阵曲面变换矩阵平面界面变换矩阵平面界面变换矩阵 57 2

30、112 101010 = = -1/1-1/1-1/1/1 tot O ffff f1f2 Suppose we have two lenses right next to each other (with no space in between). tot12 1/=1/+1/fff So two consecutive lenses act as one whose focal length is computed by the “resistive sum.” （类似电阻并联定律） As a result, we define a measure of inverse lens foca

31、l length, the diopter (屈光度） or the power 1 diopter = 1 m-1 tot1 =/2ff 12 ffIf Consecutive lenses 透镜组合透镜组合 58 A system images an object when B = 0.成像条件：矩阵元成像条件：矩阵元 B = 0 When B = 0, all rays from a point xin arrive at a point xout, independent of angle. xout = A xinWhen B = 0, A is the magnification.

32、 0 outinin outininin xxAxA CxDC D 与入射角无关 59 The Lens Law 透镜成像定律透镜成像定律 From the object to the image, we have: 1) A distance do 2) A lens of focal length f 3) A distance di 1101 011/101 11 1/1/01 1/1/ io oi o o dd O f dd fdf AB fdf / 1/1/1/0 oioi oioi Bddd df d dddf 111 oi ddf 11 1/1 ii oi Adfd dd i o

33、 d M d 1/M 根据成像条件， 令B0 像距物距透镜 60 The Lens Law (contd) 透镜成像定律透镜成像定律 1101 011/101 0 1/1/ io imaging dd O f M fM where i o d M d 61 More on matrix optics: thick lens and principal plane Primary principal plane 第一主平面 Secondary principal plane 第二主平面 V1 H1V2H2 1 11 (1) H nD xV H C 2 22 (1) H nA xV H C d2

34、n1n2 n2 10110 1/011/1/ 101/ 1/1/1 1/ 1/1/ d O fnfn d nfd n fnf d nfd n ffd nf fd nfn 22 / t ddn 1/1/1/ t Fffdf f 62 例题：例题： 用矩阵法求解直径用矩阵法求解直径27mm,折射率折射率1.54的玻璃球的焦距和主平面位置的玻璃球的焦距和主平面位置 0.317.53 0.0520.3 tot O 已知：n1=n3=1, n2=1.54, r1=13.5, r2=-13.5, d2=27 21 = totT OO O O 10 = 1 1.541.54 13.5 11 2 O 10 =

35、 1 1.541 1.54 13.51.54 1 O 127 = 01 T O 1/0.05219.25f 1 0.3 13.5 0.052 H x 0.3 1 13.5 0.052 H x 1212 10 (/1)/ curved interface O nnRnn 利用： n2 63 More on principal plane nSometimes you want the principle plane outside of the lens group nFor example, you want a long working distance, but a short focal

36、 length (希望短焦距希望短焦距(大大NA)，但是有较大的透，但是有较大的透 镜与物体的距离，例如激光加工机上的镜头组，见表镜与物体的距离，例如激光加工机上的镜头组，见表) 2010 MagnificationMagnification20 20 Numerical Aperture NANumerical Aperture NA0.420.42 Working Distance (mm)Working Distance (mm)20.020.0 Focal Length FL (mm)Focal Length FL (mm)1010 Resolving Power (Resolving

37、 Power ( m)m)0.70.7 Depth of Focus (Depth of Focus ( m)m)1.61.6 working distancefocal length f = 25630 mm / Magnification =250/20 = 12.5 10? 64 Homework 2014-09-25 Wandas world Your goldfish Wanda lives in a sphere of water (refractive index n = 1.3, radius R = -20cm). At one instance, Wanda has wan

38、dered to the center of here water world (see Fig. 1 below). Model Wanda as a stick perpendicular to the optical axis and the water sphere as a thick lens. You may ignore the effect of the glass container of Wandas world a) Where is Wandas image formed? b) Is the image real or virtual? c) Is the imag

39、e erect or inverted? d) What is the magnification? R water air Wanda Fig.1 65 Homework 2014-09-25 (Contd) A parallel ray bundle of width a1 is incident from the left on a two-lens system composed of two lenses L1 (focal length f1) and L2 (focal length f2) as shown in Figure 2. What should the separa

40、tion between the two lenses be in order for a parallel ray bundle to emerge from the system? What is the width of this outgoing ray bundle? L1 L2 f2 f1 Fig.2 a1？ ？ 66 Homework 2014-09-25 (Contd) 3. Work out the system matrix for the composite element shown in Figure 3 and use it to answer the follow

41、ing questions. a) What is the optical power of this composite element? b) If a plane wave is incident from the left, where will it focus? c) This system is used to image an object at infinity. Is the image real or virtual? Fig.3 67 Homework 2014-09-25 (Contd) 4. A thin bi-convex lens of index 1.5 is

42、 know to have focal length of 50cm in air when immersed in a transparent liquid medium, the focal length is measured to be 250cm. What is the refractive index n of the liquid? 5. Youd like to look through a lens at your pet Kitter and see it standing right side up shrunk to 1/3 its normal height. If

43、 the absolute value of the focal length is f , determine what kind of lens is needed (i.e. positive or negative) as well as the object and image distances in term of f . 68 6. Your friend Alice uses corrective eyeglasses of power -10D. a) When Alice is not using her eyeglasses, is her retina located

44、 in front of or behind her eyes focal plane? b) When you look at Alices eye behind her eyeglasses, how much smaller or bigger does the pupil of her eye appear compared to its actual size (suppose the distance between her pupil and her eyeglasses is 2cm)? c) If Alice wants to look at the moon through

45、 a Keplerian astronomical telescope, without her eyeglasses on, how does she have to adjust the eyepiece in order to see a clear image? 7. Derive the matrix formula for thick lens Homework 2014-09-25 (Contd) 69 补充题补充题Homework 2014-09-25 (Contd) n如下图所示，在y = 0的点，光线垂直入射折射率与变量 y 相关的介质 中。试问n (y)必须是什么样的函数形式，才能使光线在介质内部沿抛 物线传播？已知 以及数学关系 。 y n(y) 0 (0)nn 2 ()2xx x 70 nMirror curvatures matter in lasers. Laser Cavities 激光谐振腔激光谐振腔 Two flat mirrors, the “flat-flat” laser cavity, is difficult to align and maintain aligned. Two concave curved mirrors, the “stable” laser cavity, is easy to align and ma