洛朗级数展开第讲PPT学习教案

1、会计学1洛朗级数展开第讲洛朗级数展开第讲z0R2zCR1CR1CR200000000001001()(1()()11() ()()1()llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz 对于1后一项：12000000000100011( )()22111()()() ()1()()1()(RRCCkkkkkkzfff zddizizzzzzzzzzzzzzzz积分沿所有边界正方向进行前一项：由复连通区域上解析函数的柯西公式：()()对于1第1页/共8页1212(1)000100010011000010011( )()()()2()211()()2()2()1()2()RRRRkllkCCklkk

2、kkCCkkkkkff zzzdzzzfdiziffzzdzzdizizfzzdiz ( )( )( )( )( )111110101000201101()2()1( )()() ,(|)2)2()(1()RRRRkkCCkkkkkCkkkkCfadifzzdizff zzzda zzRzzzRiz( )( )形式上中( )的定义其21RRCC()0()00()0()001()!1()()!)kkkkkkkaafzkzfzfzzzfzzafkf( 1 )将写 成 ：若是的 奇 点 ，不 存 在 ；若不 是的 奇 点 ，() 存但注不 能在 ，意 ：第2页/共8页( )01002000000!(

3、)( )C2()( )C( )( )( )kkCkffzdf zizf zzf zRzzf zzf zzzzz( )成立的条件是在以 为边界的区域上解析，而现在在 内有奇点。(2)如果只有环心 是的奇点，则内圆半径可以任意小， 可以无限接近 点，此时称洛朗展式为在它的孤立奇点 的邻域内的洛朗展开式。：函数在某点 不可导，而在 的任意小邻域内除 外处处可导，称 为(3)孤立奇点洛朗展开也是唯一的。在圆形域上展开，且在圆形区域内不存在奇点，展开中心是常点，展开式不存在负幂项，一般为正幂级数。在环形域上展开，展开中心一般是奇点，也可以不是奇点，展开式一般有(也可以没有)负幂项，一般为双边(泰勒正负级

4、数幂洛朗级数)级数。第3页/共8页00357246sin0sin0sinsin(|)3!5!7!sin1(0 |)3!5!7!zzzzzzzzzzzzzzzzzzz 例1在的邻域上把展开。是函数的奇点。利用在原点的邻域上的泰勒展式：没有负幂项00246sins()( )( )(0)( )0( ) 1(| |)( )3!5!7!inlim1zzzzzzf zf zzf zzzzzf zzf z 0若定义一个函数,则在整个复平面上解析。在邻域上的展开式：此即的泰勒级数。第4页/共8页2212222222(1)(1)=0=0=24611|( )1111|1111111111111()kkkkkkkk

5、zfzzzzzzzzzzzzzzzz 0例2 在的环域上将展开为洛朗级数。是函数的奇点,而的环域刚好避开了奇点。该展式有无限多负幂项，展开中心0不是奇点2102221k=0k=0211( )1)110 |1| 1111111( )1)111 111( 1)1( 1)111( 1)1,kkkkkkf zzzzzzzddf zzzzdzzzdzzdzk zzdzzk z 0例3将在1的邻域展开为洛朗级数。(0，是函数的奇点,而的环域避开了所有奇点。(k=0(0 |1| 1)z第5页/共8页00111( )(1)(2)12(1)1(2)0|2(3)|2(4)0fzzzzzzzzz 分 别 按 如 下

6、 要 求 展 开 函 数在展 开 中 心 )的 邻 域 上 ； 在的 环 域 内 ；在的 环 域 内 ； 在例 4处010001(1)1( )210|1| 111(1) ,(|1| 1)21(1)1( )(1)(1) ,(0|1| 1)1kkkkkkzf zzzzzzzzf zzzzz 是函数的奇点，另一个奇点为，故在的邻域的一个收敛环为：210001111000(2 ) |1 /|1, |/ 2 |11111111()112 1222122kkkkkkkkkkkkkkzzzfzzzzzzzzzz 第6页/共8页0011(3) |1 /|1, | 2 /|111111112( )1112112kkkkkkkzzfzzzzzzzzzz 1000( 4 )|1 ,|/ 2|111111()121212111222kkkkkkkzzfzzzzzzzz 幂级数展