高等数学11-1常数项级数的概念和性质

1、1无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数第十一章第十一章2常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节第一节3一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A .0a1a2ana设设

2、a0 表示表示,时n即即naaaaA210内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正边形面积为n23n10310003100310331. 2引例4定义：定义： 给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu即即1nnunuuuu321称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1称为级数的称为级数的部分和部分和.nuuuu321次相加次相加, 简记为简记为一般项一般项5 niinnuuuus121,11us

3、 ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 部分和数列部分和数列级数的级数的部分和部分和当当n=1n=1，2 2，3 3，时时ns又形成一个新的数列，又形成一个新的数列， .ns61nnuS当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值21nnnnuuSSr为级数的为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然0limnnrlim,nnSS定义 若存在收敛收敛 , 并称并称 S 为级数的为级数的和和, 记作记作则称无穷级数则称无穷级数,1nnu即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )7无穷

4、级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先给定一个正三角形，然后在每条做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的边上对称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”8观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角

5、形播放播放9例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而从而qannS1lim因此级数收敛因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而从而,limnnS则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为102). 若若,1q,1时当qanSn因此级数发散因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此因此nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而nnSlim综合综合 1

6、)、2)可知可知,则则,级数成为级数成为,a,0不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.01 ,1 ,nnqaqq当时 收敛当时 发散12nnqaqaqaaS11例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln12(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 .3

7、1214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和11(54)(51)nnn又如级数 .) 12)(23(11nnn13例例3 3：对级数：对级数 做如下推导：设做如下推导：设02nn02nns于是于是1248s 12(124)12s 所以所以s=-1.s=-1.判断上述结论是否正确，说明理由。判断上述结论是否正确，说明理由。14 例4.判别级数2211lnnn的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnn

8、ln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln15二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S ,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1nkknuS则则nkknuc1,nScnnlimSc这说明这说明1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .16性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1

9、nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S证证: 令令,1nkknuS,1nkknv则则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S17说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)练习练习 判别

10、级数判别级数1236nnnn的敛散性。的敛散性。7/218性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数1nnu的前的前 k 项项去掉去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数19性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括弧后所成的级数仍

11、收敛于原级数数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和为原级数部分和序列序列 ),2,1(nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.因此必有因此必有用反证法可证用反证法可证例如例如20注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. . )11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散 发散的级数加括号

12、可能收敛，故不能用加发散的级数加括号可能收敛，故不能用加括号的方法判别原级数收敛，但可以用加括号的括号的方法判别原级数收敛，但可以用加括号的方法判别原级数发散。方法判别原级数发散。 给了一个级数后给了一个级数后, ,要判断收敛还是发散，可以要判断收敛还是发散，可以按照级数的特点加括号按照级数的特点加括号, ,但是想的是希望它是发散但是想的是希望它是发散的的. .若加括号以后收敛了若加括号以后收敛了, ,那么什么结论都得不到那么什么结论都得不到. .21例例5.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(14114

13、11311311211211111nnan12nnna2发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .nn12122三、级数收敛的三、级数收敛的必要条件必要条件 设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为其一般项为1) 1(1nnunn不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.nun,时当23注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如

14、例如, 调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .讨论讨论1 事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .2124讨论讨论2 211ln(1)ln(1)nnnnnnn111123nsn (ln2ln1)(ln3ln2)ln(1)ln nnlimnnS 从而ln(1)n在区间在区间nn，n+1n+1上对函数上对函数lnxlnx使用拉格朗日中值定理，使用拉格朗日中值定理，于是利用不等式有25 )2122112

15、1()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .讨论讨论3 326例例6. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则则nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故故euuunn11从而从而,0limnnu这说明级数这说明级数(1) 发散发散.enn )1

16、(111) 1(! ) 1(nnnnennnne!27123231)2(nnnn因因nnn23123)211(21) 1(1nnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为其和为)2)(1(121121nn(2) 281212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212n

17、n,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛这说明原级数收敛, 其和为其和为 3 ., 3limnnS故(3) 29作业作业 P192 1(1), (3) ； 3(2)； 4(1), (3), (5); 30思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都收敛，且都收敛，且nnncab ), 2 , 1( n，能否推出，能否推出 1nna收敛？收敛？31思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知32一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,则则 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,则则 51nna= =

18、_；3 3、 若级数为若级数为 642422xxxx则则 na_；4 4、 若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_；5 5、 若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_；6 6、 等比级数等比级数 0nnaq, ,当当_时收敛；当时收敛；当_时发散时发散 . .练习题练习题33三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性. .四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性 . .34练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 n