数列极限的性质99033PPT学习教案

1、会计学1数列极限的性质数列极限的性质990331.唯一性唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证明证明第1页/共14页例例1.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx第2页/共14页 在数列在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：,21knnnxxxknnxxkxxkknnnnkkk 显然显然项，项，中是第中是第在在项，而项，而是第是第中，中，在在第3页/共14页定理定理2 2若数列若数列xn 收敛于收敛于a ，则它的任一子

2、数列，则它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关关系。由此可知，若数列系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的有两个子数列收敛于不同的极限值，则极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。1)1( nnx如如112收敛于收敛于 kx12 收敛于收敛于kx第4页/共14页例例2对于数列对于数列xn， )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn则则)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn则则趋于同一极限值趋于同一极限值其中其中与与：若子数列：若子数列对数列对数列第

3、5页/共14页3.有界性有界性对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自 然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界, 否否则则, 称称为为无无界界. 例如例如,;1 nnxn数列数列有有界界.2nnx 数列数列无无界界数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.定义定义第6页/共14页 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .证明：证明：定理定理3第7页/共14页4.保号性保号性0

4、,limxxxnn)0(x或NNn 0nx)0(nx或若若定理定理4，则存在正整数，则存在正整数当当 时，有时，有 推论推论对一切正整数对一切正整数 ，n0nx)0(nx或xxnnlim且且，则，则0 x)0(x或第8页/共14页5.运算性质运算性质若若 ，定理定理5aannlimbbnnlim，则，则bababannnnnnnlimlimlim1）2）kaakkannnnlim)(lim3）为常数其中kbababannnnnnnlimlimlim4）babannnlim0limbbnn这里第9页/共14页均为正整数这里求srbnbnbananasssrrrn,lim110110例例30,00都不为都是与无关的数并且babasrkk第10页/共14页6.运算性质运算性质定理定理6设设是非空有上界数集是非空有上界数集 ，且且supc推论推论设设是非空有界集是非空有界集 ，supc，则，则存在互不相同的数列存在互不相同的数列， Aaanncannlim使使得得第11页/共14页小结小结收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性，唯一性，保号性等有界性，唯一性，保