2000年哈尔滨工业大学量子力学试题

1、(x)=vexpU一. 质量为加的粒子作一维自由运动，如果粒子处于0（兀）=Asin?总的状态上，求其动量Q与动能亍的取值几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为显然，两者相互对易，有共同完整本征函数且满足隔（x）= W（x）2 2卞申a二冷F A将曲）向以x）展开，即S皿）=侶丽?_s_s2m展开系数ccC “ = j0；(x)0(x)cUoooo=4 j；(x)ococ4 002i于是有C2kti - 2.C-2kh =一 J cpp (x)exp(2iAr%) 2 + exp( 2i%) dr4 oooo4 00=-PP(x)V2好(Q一 2。(X)+(P_2kfl

2、(QcLxoooo=_ 7莎0(” -2kh) 25(p-0)+ 此p + 2肋) 只有当P = 0,2时，JHO。利用归一化条件讣1P可知，归一化常数为动量的取值几率为W（p = 2肋）=丄;6平均值为2 2CLYexp(iZsx) exp(A =37th卩二2W（P）= 0Px 00 x a动能的的取值几率与动量相同，而平均值为二.质量为加的粒子处于如下一维势阱中00.00.V(x)= 0,匕(0)若已知该粒子在此势阱中存在一个能量E二导的状态,试确定此势阱解：对于E = Vo的情况，三个区域中的波函数分别为 $(X)= ov 02(兀)=Asin(kx+3)/ (x) = B exp(-

3、 ax) + C exp(ca)其中,/c_ 強加( _ E)力h由 X T OO 处，03 (x) = 0 ,可知 C = 0。由兀=0处，0(x)二旳，可矢B AsinS = 0 ,即S = HTT ,取斤=0。 于是，波函数简化为01(X)= 0y/2 (x) = Asin A%/ (x) = B exp(- ax)在X = G处，利用波函数及其一阶导数连续的条件02)= 03 3)02)= 03 3)得到Asinka= Bexp (-coz) Ak cos ka -Ba exp (- aa)于是有tan ka cc 此即能量满足的超越方程。当E = V0时，由于最后，得到势阱的宽度三.

4、（见习题选讲）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢如），|凤2 2 ）和|均构成的，以其为基矢地两个算符和矗的矩阵形式如 下1 0 0、10 0、H = tico0-10;B = b0 0 1,0 0 1丿(0 1 0 丿其中，为实常数。证明算符力和斤是厄米特算符，并且两者相互对剔 进而求出它们的共同本征函数。解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符戶满足或者臨二（臨丁题中所给出的哈密顿算符力和力学量算符斤皆为实对称矩阵，故它们 都是厄米特算符。因为a00)(00、100、HBhco0-10b001=ticob00-100-1101-1丿7 7X7 7X而(100、q00、100、/X/X /BH

5、 =b001fico0-10=ticob00-1010 ,/0-1,.0-10/所以，有H,B = O设力满足的本征方程为 显然,12于是，相应的波函数为/ 、cu0 = 0当目=-也时，波函数满足得到C C2121 = = 相应的波函数为0、C22C23 同理可知，E.=-hco的波函数为利用归一化条件可知0 0）./ / C1100 / /2=1（o o C22。2 23 3） I21 1 + +C23（1 0 0、z z C2/ / C C2121lico0-10C22-hcoC C2222k0 0 -1 /工2323丿（0 4 4）.-1利用正交条件可知0、（c； 0 0） C = 0

6、、）（0、（C 0 O）C32C32= 0 0 3333 丿由于头两个正交条件给不出任何信息，所以，五个变量满足四个方程, 不能惟一的定出这五个常数。当E二也时，由(15)式可知5=1,于是，波函数为1、0】=0丿进而得到上式说明妁也是算符6的本征函数，对应的本征值为b。由此看来, /是算符方与力的共同本征函数，对应的本征值分别为E二也和B、= b 1 0 0、0 0 10=b00 1 0丿 /Bi/、-b二b叭1 0 0、 0 r0、0 0 1d2-bd20 1 0； / 丿IdJ得到当5 = d = -方时，波函数仏，仏无法惟一确定，它们的矩阵形式 是一样的，为简洁计，统一记为0、0230

7、23 = =2 2丿用算符斤作用上式，得到本征值满足的本征方程1 0 0、0、f 0、丽2323 二 0 0 1=B“2“20 10 丿wJwJ在简并子空间中，久期方程为-B b=0b -B得到B的另外两个本征值，分别记为By = b,=b当B2=b时，将其代入本征方程，有由归一化条件知|2+|3=1d 2 =刀 3进而，得到将其代入0202表达式，有0、1I当B2=-b时，重复上面的求解过程，可以得到 0、10时测量6得的 几率是多少。解：第一步，解定态薛定誇方程。这是一个讨论自旋状态随时间演 变的问题，故可以不顾及空间自由度。磁矩与外磁场相互作用引起一 附加能量，与自旋相关的哈密顿算符为其

8、中，冃W分别为电子的电荷与质量。若令则哈密顿算符可简化为H - co0s_在6表象中，哈密顿算符是对角矩阵，它的解可以直接写出:第二步，写出任意时刻的波函数。依题意，知岸(0)= |+二式中，I+LI+L是在疋，孔表象中匚的一个本征矢，为了将其在6表象中表*2 二 _3方，iH+riH+r解之得07、/ / a042凤1厂卅+卜）11*厂卅十）在匚表象中，初态为留（o）H+）广営+H)=0于是，f0时刻的波函数为网）占+1exp -cot + 丿V2-)exp +如 Z第三步，求在|（。态上测量亠得=2的几率。 将岸向亠的本征态展开|旳）=工5“叭m=其中，c,”=SMAfl在|田态上测量片得

9、=_2的几率为示出来，必须求解兀满足的本征方程，即1 1h2h 、2法”（片=_纤）=|汀=|,|咔）=/ 、112 J+exp -cot +|-)exp -coQt| exp| -coQt -exp|2 .丿2 j 2 2 9 9sirr（制卜i(n + tico2丿进行计算。由五.一个电荷为可、质量为和教频率为的线谐振子，受到恒 定弱电场的作用，即W二-理几求其能量近似到二级修正，波函数 到一级修正。解：体系的哈密顿算符为/X/X/X/X/X/XH = H+WW = -qs x。的解为由于方（）的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式可知,( 1k + hco +I 2丿( 1)k + hco +I 2丿( 1) k +