理学力学的守恒定律

1、本章内容：本章内容：4. 1 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律4. 2 功和能功和能 机械能守恒定律机械能守恒定律4. 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律3.1 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律 3.1.1 3.1.1 质点动量定理质点动量定理牛顿运动定律牛顿运动定律d()dmvtFpmv（方向方向： ）v动量动量：描述物体运动状态更为普遍和描述物体运动状态更为普遍和最为基本的物理量最为基本的物理量 单位：单位：( (msms-1-1) ) IPvddd)d(tFm元冲量元冲量：tFIdd表示力在时间表示力在时间 d dt 内的积累量内的积累量 单位：单位： (NS(NS-1-

2、1) ) 1vm2vm1F2Ft1t2FtvmxyzO1vm2vmI（微分形式）（微分形式）ddI = p对一段有限时间有对一段有限时间有101010dvvttIF tmmpp（积分形式）（积分形式）质点动量定理质点动量定理 质点在质点在 至至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。点在同一时间内动量的增量。1t0t212121dddtxxttyyttzztIFtIFtIFt分量形式分量形式212121ddd121212ttzttyttxtFmmtFmmtFmmzzyyxxvvvvvv冲量的任何分量冲量的任何分量等于在它自己方等于在它

3、自己方向上的动量分量向上的动量分量的增量的增量在力的整个作用时间内，平均冲力的冲量等于变力的冲量在力的整个作用时间内，平均冲力的冲量等于变力的冲量)(d1221ttFtFttI平均冲力平均冲力2121d()F/tttttF(1) 动量和冲量都是动量和冲量都是矢量矢量，动量与速度同方向，冲量沿动量增，动量与速度同方向，冲量沿动量增量的方向。量的方向。(2) 动量是物质运动的一种量度，具有动量是物质运动的一种量度，具有矢量性矢量性、瞬时性瞬时性和和相对性相对性。说明：说明：(3) 冲量是物质运动状态发生变化的原因。它是任何力冲量是物质运动状态发生变化的原因。它是任何力在时间过在时间过 程中的积累效

4、应程中的积累效应的量度。的量度。(4) 由质点动量定理可知，物体运动的动量越大越难改变，不是由质点动量定理可知，物体运动的动量越大越难改变，不是 需要很大的力就是要有足够长的作用时间。需要很大的力就是要有足够长的作用时间。(5) 质点受恒力作用时，质点受恒力作用时， 12ttFI (6) 质点受多个力作用时，合外力的冲量等于各分力冲量的和。质点受多个力作用时，合外力的冲量等于各分力冲量的和。 iiiItFtFIddyy0vFNG”例例 质量为质量为 m 的匀质的匀质柔软绳柔软绳，全长为，全长为 L，将其卷将其卷成一堆放在地面上，手握成一堆放在地面上，手握柔软绳柔软绳的的一端，以匀一端，以匀速速

5、 v 将其上提。将其上提。解解 设设 t 时刻时刻（地面上有地面上有 l 长的绳子长的绳子）lLmlml此时此时绳绳的动量为的动量为求求 绳绳一端被提离地面高度为一端被提离地面高度为 y 时，手的提力。时，手的提力。pyvj绳绳的动量随时间的变化率为的动量随时间的变化率为2ddddpyvjv jttG”系统所受的合外力为系统所受的合外力为jygFgyF得得2Fyg jv j2mmFvygLL例例 质量为质量为 m 的匀质的匀质柔软绳柔软绳，全长为，全长为 L，开始时，下端与地面的距离为开始时，下端与地面的距离为 h 。下落在地面上时下落在地面上时所受所受绳绳的作用力？的作用力？Lh解解 设设

6、t 时刻时刻（地面上有地面上有 l 长的绳子长的绳子）lLmlml 2)(hlgv此时此时绳绳的速度为的速度为m求求 绳绳自由下落地面上的长度为自由下落地面上的长度为 l ( lb0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。 设链条下落长度设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态时，处于临界状态0)(000gblgblb0001OyPTTf(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，相互作用的内力的功之和为零，lbblgyygA 22)(21dlbblgyyl

7、gA 221d)()(摩擦力的功摩擦力的功重力的功重力的功021)(21)(212222vlblgblg222)()(bllgbllgv根据动能定理有根据动能定理有OyPTTf力学方法力学方法al-ygylTyaTgy)()(a lg ly)gg(lbvygyylggvvddd0 222)()(bllgbllgv以链条为研究对象，受力分析后有：以链条为研究对象，受力分析后有： gylggtyyv)(ddddOyPTTf3. 刚体的转动动能刚体的转动动能 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理（1）刚体的转动）刚体的转动动能动能z Oirivim12iNm , m , m , m12i,Nr ,r

8、 ,r,r 12iN, v vvv的动能为的动能为km212kiiEmv2212i im r2212ki iEEm r刚体的总动能刚体的总动能2212i im r221JP绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半角速度平方乘积的一半结论：结论：（2） 刚体刚体转动的动能定理转动的动能定理（合力矩功的效果）（合力矩功的效果）kEJd)21d(2ddMA d)ddd(JtJ对于一有限过程对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程

9、中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解cos21mglM 00dcos2dmglMA由动能定理由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 2/1)sin3(lg求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCxmg4. 理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程如图，取一细流管，经过

10、短暂时间如图，取一细流管，经过短暂时间 t ，截，截面面 S1 从位置从位置 a 移到移到 b，截面，截面 S2 从位置从位置c 移到移到d ，111Vv St222Vv St流过两截面的体积分别为流过两截面的体积分别为由连续性原理得由连续性原理得VVV21在在b到到一段中运动状态未变，流体经过一段中运动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：时间动能变化量：22211122kEvVvVS1aS2cbdttv1v2VghVghEp121111111AFvtPSvtP V2222222AF vtP S vtPV pkEEA221221211()()()2PPVvvVg hhV22111222112

11、2PvghPvgh212PvghCS1S2ttP1P2h2h1伯努利方程的意义伯努利方程的意义功能原理功能原理)(21)(21222121vvhhgPP21PP 21SS)hh(g21 21SS)vv(212221 21SS水管里的水在压强水管里的水在压强 P = 4.010105 5P Pa 作用下流入室内，水管的作用下流入室内，水管的内直径为内直径为 2.0 cm ，引入，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直高处二层楼浴室的水管，内直径为径为 1.0 cm 。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为流速为4.0ms-1 。当水龙头关闭时，

12、当水龙头关闭时， ，由伯努利方程，由伯努利方程021 vv2211ghPghP即即)(2112hhgPP= 3.5105Pa S1v1s2v2h2例例求求解解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，当水龙头完全打开后，22222112121ghvPvP2222112)(21ghvvPP= 2.3105Pa 即即由伯努利方程：由伯努利方程： 例例求求解解a、b、c、d 各处压强及流速。各处压强及流速。h1h2abcd 如图所示为一虹吸装置，如图所示为一虹吸装置，h1 和和h2 及流体密度及流体密度 已知，已知，由题意可知，由

13、题意可知，va = 0, = 0, p pa = = p pd = = p p0 0选选d 点所在平面为参考平面，对点所在平面为参考平面，对a 、d 两点应用伯努力方程，有两点应用伯努力方程，有21221)(dvhhg解得解得122hhgvd因因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以各点处于截面积相同的同一流管中，所以122hhgvvvdcb由连续性原理，有：由连续性原理，有：对于对于a、b 两点，有两点，有0221pvpbb)(120hhgppb对于对于a、c 两点，有两点，有2212021)(ccvghphhgp得：得：20ghppc3.2.3 3.2.3 势能势能 机械能守恒定

14、律机械能守恒定律 1. 保守力保守力 势能势能如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为相对位置，这样的力称为保守力保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为作功与路径有关的力称为非保守力非保守力。例如例如: : 摩擦力摩擦力 adcabcrfrfddab bd d0ddcdaabcrfrfadcabcrfrf0dd0drfc c势能势能在保守力场中在保守力场中A(选参考点选参考点)BdA

15、BFr( )( )PPEBEA取：取：则则（势能的定义）（势能的定义） ：( )0PEA ( (势能零点势能零点) )( )dAPBEBFr势能是位置的函数，势能是位置的函数，在数值上等于从在数值上等于从B 到到 势能零点势能零点 保守力所保守力所做的功，该函数通常称作做的功，该函数通常称作势能函数势能函数。势能是系统具有的作功本领势能是系统具有的作功本领( (蕴藏在保守力场与位置有关的能量蕴藏在保守力场与位置有关的能量) ) 讨论：讨论：（1 1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。( )dAPPEPFr（2）势能增量

16、：在保守力场中，质点从势能增量：在保守力场中，质点从 P1 P2 位置，势能增量为位置，势能增量为21()()PPEEPEP21ddAAPPFrFr12dPPFr质点在该过程中，保守力的功质点在该过程中，保守力的功 A 为为21dPPAFr12dPPFrE 即在该过程中，保守力的功即在该过程中，保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式微分形式PEAdd（3）保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。r 几种常见的势能几种常见的势能dAPPEFr（势能定义）（势能定义）1. 重力势能重力势

17、能 xyzO000(,)A xy z( , , )P x y zG0d)(zPzmgEmgz2. 万有引力势能万有引力势能 rMmF等势面等势面rrmMGErPd )(2rmMG3. 弹性势能弹性势能 0d)(xPxkxE221kxOxF例例 在质量为在质量为M、半径为、半径为R、密度为、密度为 的球体的万有引力场中的球体的万有引力场中求求 质量为质量为m的质点在球内外任一点的质点在球内外任一点C 的万有引力势能的万有引力势能解解 质点在球外任一点质点在球外任一点C ，与球心距离为，与球心距离为x2xMmGf xMmGxxMmGExPd2MRxmO质点在球内任一点质点在球内任一点C，与球心距离

18、为，与球心距离为 xmxGf34xxMmGxmxGERxRPdd342RMmGxRmG)(3222)23(322RxRGMmRxRx0（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）势能曲线势能曲线zPEO重力势能重力势能mgzEP万有引力势能万有引力势能PErOrmMGEPPE弹性势能弹性势能EkEPExO221kxEP势能零点？势能零点？保守力的大小？保守力的大小？PEAddrfd由势能函数求保守力由势能函数求保守力 ),(zyxEEPPrFAddzzEyyExxEEPPPPddddzFyFxFzyxdddPEAddxEFPxyEFPyzEF

19、Pz)(kzEjyEixEFPPP由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。点所受的保守力。 2. 机械能守恒定律机械能守恒定律对质点对质点: :kPEEE常量( (机械能守恒定律机械能守恒定律) )1M2M1v2v保守力所作的功保守力所作的功A应为：应为： 12ppEEA 质点在质点在仅有保守力作功仅有保守力作功的条件下运的条件下运动，由动能定理得：动，由动能定理得：22211122Amvmv故有故有2211221122ppmvEmvE对质点系对质点系: :kEAA内外kEAAA非内保内

20、外kPEAEA非内外EEEAAPk非内外当当0非内外AA0EkPEEE常量( (机械能守恒定律机械能守恒定律) )( (机械能增量机械能增量) )(2) 守恒定律是对一个系统而言的守恒定律是对一个系统而言的(3) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态 说明：说明：(1) 守恒条件守恒条件0非内外AA(4) 机械能守恒定律只适用于惯性系机械能守恒定律只适用于惯性系 应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同（1 1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。）无需具体分析系统中间过程的受力细节。（2 2）

21、守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。（3 3）解题步骤大致是：）解题步骤大致是：(a) 选取研究对象。选取研究对象。若为质点系，则必须弄清所研究若为质点系，则必须弄清所研究的质点系是由哪些质点组成。的质点系是由哪些质点组成。(b) 分析守恒条件。分析守恒条件。分析研究对象的运动过程是否满分析研究对象的运动过程是否满足机械能守恒条件。足机械能守恒条件。(c) 明确过程的始、末状态。明确过程的始、末状态。选定各种势能的零选定各种势能的零势能位置，写出始、末两种状态研究对象的机械能。势能位置，写出始、末两种状态研究对象的机械能。(d) 列方程。列

22、方程。根据机械能守恒定律列出方程，还根据机械能守恒定律列出方程，还要列出必要的辅助性方程要列出必要的辅助性方程(e) 解方程，求出结果。解方程，求出结果。把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 v0 0 解解 根据机械能守恒定律有根据机械能守恒定律有xmMGmRmMGmeee2202121vv例例物体从地面飞行到与地心相距物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。处经历的时间。求求发射出去，阻力忽略不计。发射出去，阻力忽略不计。xGMe2vtxddvxxGMxted21ddvxxGMttnRReeed21d1012322/32/31

23、nRGMtee)(21)(21210222210 xxxgmkxxxkgmmF)(21kgmx20kFx 1kgmx12用弹簧连接两个木板用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩，弹簧压缩 x0 。2m1m0 x2m1mF1x1m2x解解 整个过程只有保守力作功，机械能守恒整个过程只有保守力作功，机械能守恒2G2f1f1G例例给给m2 上加多大的压力能使上加多大的压力能使m1 离开桌面？离开桌面？求求2m3.5 能量守恒定律能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种种形式

24、。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为结论称为能量守恒定律能量守恒定律。 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现内的体现 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2. 功是能量交换或转换的一种度量功是能量交换或转换的一种度量例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能；换为电能；电流通过电热器能发

25、热，把电能又转换为热能。电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。 讨论：讨论：3.3.1 3.3.1 质点的角动量质点的角动量( (对对O O点点) )LrPrmv其大小其大小质点的角动量与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢位矢( (取决于固定点的选择取决于固定点的选择) )有关有关特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动LO rP惯性参照系惯性参照系3.3 3.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 sinLrmv2Lm rmrJvL J 单位：单位：kgm2s-1-1 例例一质点一质点m，速度为，速度为v，如图所示，如图所示，A、B、C 分别为三个参考分别为三个参考点点,

26、此时此时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2 d3ABCv解解 3.3.2 3.3.2 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 rvO质点对质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩z2mrrmLZvm imirivO刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为轴的动量矩为2iiiZimrrmLv且刚体上任一质点对且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具轴的动量矩具有相同的方向有相同的方向i2iirmZJ(所有质元对所有质元对 Z 轴的动量矩之和轴的动量矩之和)ZZ

27、JL iviiiZrmL3.3.3 3.3.3 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律vmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFr对于质点：对于质点：tLMdd对定轴转动刚体，对定轴转动刚体，J 为常量。为常量。()JMJJttddddtLMdd角动量矩定理角动量矩定理LtMdd 12d21LLtMtt(角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式)(角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式)无论是对于运动的质点还是定轴转动的刚体，在某段时无论是对于运动的质点还是定轴转动的刚体，在某段时间内所受合力矩的冲量矩等于其角动量的增量间内所受合力矩的冲量矩等于其角动量的增量

28、说明：说明：冲量矩是质点或刚体角动量变化的原因冲量矩是质点或刚体角动量变化的原因角动量的变化是力矩对时间的积累结果角动量的变化是力矩对时间的积累结果LtMdd 12d21LLtMtt角动量守恒定律角动量守恒定律常矢量，则若LM 0 点过OFFM 00(1)(1) 守恒条件守恒条件(2) 若质点所受到的是若质点所受到的是有心力有心力，则角动量守恒。，则角动量守恒。讨论：讨论：应用举例：应用举例： 行星运动的开普勒第二定律行星运动的开普勒第二定律A 0 rrASsinsinrtrmrmLvtSm2(3)(3)变形体绕某轴转动时，若变形体绕某轴转动时，若0M 则变形体对该轴的角动量则变形体对该轴的角

29、动量ziiiLJC角动量守恒举例角动量守恒举例花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。 常量tJ tJ tJ 当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一发射一 求求 角及着陆滑行时的速度多大？角及着陆滑行时的速度多大？mRMO0v0rv解解 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的角动量守恒质点的角动量守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒Rmsrmvv )in(00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr2/1200231vvvRGM2/12023141sinvRGM例例 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇

30、宙飞船去考察一 质量为质量为 M 、半径为、半径为 R 的行星的行星.质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面例例 一均质棒，长度为一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有一子弹在距轴为，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解ym0v其中其中xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymv子弹、细棒系统的角动量守恒子弹、细棒系统的角动量守恒 J例例 上题中，若子弹和杆共同偏转上题中，若子弹和杆共同偏转30o

31、，子弹的质量为，子弹的质量为 m ,速速度为度为 v0 。求求 子弹的初速度子弹的初速度v0 。解解y0vm 由机械能守恒有由机械能守恒有)cos2(2212MgLmgyMgLmgyJ其中其中)3)(2)(32(61220myMLmyMLgmyv22031myMLymv解之，得：解之，得： 试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下时，不论原来的试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下时，不论原来的姿势如何。它总是能使自己的四肢着地，以免摔伤的现象。姿势如何。它总是能使自己的四肢着地，以免摔伤的现象。例例 在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m 的人。圆盘的半的人。圆

32、盘的半径为径为R，转动惯量为，转动惯量为J, ,角速度为角速度为。如果这人由盘边走到盘心。如果这人由盘边走到盘心求求 角速度的变化及此系统动能的变化角速度的变化及此系统动能的变化解解由角动量守恒定律由角动量守恒定律JJmR2JJmR2JmR22221JmREKJJmRJEK2212222JmRJmREEEKKK2222长为长为 ，质量为，质量为 的匀质杆，一端悬挂，可通过点的匀质杆，一端悬挂，可通过点 转动。今转动。今使杆水平静止的落下，在铅直位置与质量为使杆水平静止的落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非的物体作完全非弹性碰撞后，弹性碰撞后， 沿摩擦因数沿摩擦因数 的水平面滑动。求的水平面

33、滑动。求 滑动的距离。滑动的距离。l1mo2m2m2ml ,m12m例例解解处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶段进行讨论。（段进行讨论。（1）杆自由下落到将和）杆自由下落到将和 碰撞，由机械能守碰撞，由机械能守恒得恒得2m21212Jlgmlg3（2 2）杆和物体）杆和物体 碰撞过程碰撞过程2m，由角动量守恒，由角动量守恒22lmJJ22212131331lmlmlglm11233gmlmm（3 3）物体）物体 沿水平面运动直到静止沿水平面运动直到静止, ,由质点的动能定理得由质点的动能定理得2mgsmvm22221 lv2

34、121323mmlmso例例 质量为质量为 m 的匀质的匀质柔软绳柔软绳，全长为，全长为 L，开始时，下端与地面的距离为开始时，下端与地面的距离为 h 。下落在地面上时下落在地面上时所受所受绳绳的作用力？的作用力？Lh解解 设设 t 时刻时刻（地面上有地面上有 l 长的绳子长的绳子）lLmlml 2)(hlgv此时此时绳绳的速度为的速度为m求求 绳绳自由下落地面上的长度为自由下落地面上的长度为 l ( lL )时，地面时，地面以以dm (dt 时间下落到地面的时间下落到地面的绳子绳子)为研究对象为研究对象vv)d(0d)d(ttmgN根据动量定理根据动量定理 dmLghlmttmgN)(2dd

35、d2vvv地面受力地面受力ghlLmgmNFl)23(Ngdm3.1.2 3.1.2 质点系的动量定理质点系的动量定理1m1v2m2v3m3v4m4vt 时刻质点系的动量时刻质点系的动量iiimPvtfFmd)()d(12111vtfFmd)()d(21222vtFFmm)d()d()d(212211vviiiitFmd)d(iv1m2m12f21f1F2F02112 ff（质点系动量定理的微分形式）（质点系动量定理的微分形式）（一对内力）（一对内力）以两个质点为例以两个质点为例tFPdd某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外

36、力在同一时间内的冲量的矢量和外力在同一时间内的冲量的矢量和 质点系动量定理质点系动量定理应用动量定理和动量守恒定律解力学问题的一般步骤：应用动量定理和动量守恒定律解力学问题的一般步骤：(1) 选取研究对象选取研究对象(2) 分析受力分析受力-若研究对象所受外力的矢量和不为零，若研究对象所受外力的矢量和不为零，或找不到一个方向能使外力在该方向投影的代数和为零，或找不到一个方向能使外力在该方向投影的代数和为零，就应用动量定理或其他相关定理、定律求解；反之，就就应用动量定理或其他相关定理、定律求解；反之，就应用动量守恒定律求解。应用动量守恒定律求解。(3) 确定过程确定过程-应用与动量有关的定理（定律）时，需应用与动量有关的定理（定律）时，需要考虑一定的时间间隔或一个过程。要考虑一定的时间间隔或一个过程。(4) 列方程求解列方程求解-首先是选取适当的坐标系，然后根据首先是选取适当的坐标系，然后根据定理（定律）列出方程。定理（定律）列出方程。质量为质量为10kg10kg 的质