《线性代数》(四川大学原稿) §4.3向量组的秩

1、13 向量组的秩向量组的秩 向向量量组组中中的的每每一一个个向向量量都都能能被被向向量量组组线线性性表表定定义义线线性性表表示示示示，则则称称可可由由如如果果( (I I) )与与( (I II I) )可可以以相相互互线线性性表表示示，则则称称与与. .等等价价1212 ,( ),()( )(II);(I)(II1)stIIII由由 n n维维 向向 量量 组组 成成 的的 任任 意意 向向 量量 组组 都都 可可 以以由由 它它 的的 基基 本本 向向 量量 组组表表 示示例例线线 性性 1.显然显然( (1 1) ) 向向 量量 组组 的的 任任 意意 部部 分分 组组 皆皆 可可 由由

2、 全全 组组 向向量量 线线 性性 表表 示示 ; ;( (2 2) ) 一一 个个 向向 量量 组组 线线 性性 相相 关关 当当 且且 仅仅 当当 某某 一一 个个向向 量量 能能 被被 其其 余余 向向 量量 构构 成成 的的 向向 量量 组组 线线 性性 表表 示示.2 设设( (I I) )可可由由( (I II I) )线线性性表表示示，且且s s t t，则则相相关关理理线线性性定定1 1121212 ,. sts i ij j不不 妨妨 假假 设设 所所 有有 向向 量量 都都 是是维维 列列 向向 量量 . .可可 由由线线 性性 表表 示示 ， 于于 是是 存存 在在 数数

3、c c：使使 得得证证n( )()(1, 2,;1, 2,)IIIisjt11111221221122221122ttttssssttccccccccc (1)3 1212(1),(,)(,).ijststCcAB 的的 系系 数数 矩矩 阵阵 为为让让 ，则（则（1）可以改写为）可以改写为(2)TABC 要要证证明明线线性性相相关关，须须证证明明下下述述齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解12,s0(3)AX 而齐次线性方程组而齐次线性方程组0TCX 0 0有有 非非 零零 解解 X X(因因为为方方程程个个数数t t少少于于未未知知数数个个数数s s) ). .4利用关系式（利用关

4、系式（2）得到）得到000()()0,TTAXBCXB C X 于是方程组（于是方程组（3）由非零解，从而向量组）由非零解，从而向量组(I)线性相关线性相关.定理定理1的等价表述为：的等价表述为： 设设可可由由线线性性表表示示，且且线线性性无无关关，则则有有s st t121212 ,.sts推论推论1 任意任意m(n)个个n维向量线性相关维向量线性相关.证证 任意任意m个个n维向量都可以由基本向量组维向量都可以由基本向量组12,mn,.n 线线性性表表示示，又又从从而而得得证证5推论推论2 两个等价的线性无关组含有相同的向量个数两个等价的线性无关组含有相同的向量个数. 设设向向量量组组( (

5、I I) )与与都都线线性性无无关关，且且与与等等价价 于于是是可可由由线线性性表表示示且且线线性性无无关关 由由定定理理一一的的等等价价表表示示证证：形形式式知知1212,()(I)(II).( )(II)(I),st.stIII 同同样样地地可可由由线线性性表表示示且且线线性性无无关关 就就得得到到于于是是就就有有()(I)(II), t.s=t.IIs 设设为为的的一一个个部部分分组组. .如如果果( (1 1) ) ( (I II I) )线线性性无无关关中中的的任任意意向向量量可可由由( (I II I) )线线形形表表示示. .则则称称( (I II I) )为为定定义义极极大大线

6、线性性无无关关组组( (I I) )的的一一个个. .1212,(),( );(2)(I)2riiisIII6 设设为为维维向向量量，其其中中为为基基本本向向量量组组，则则就就是是的的一一极极大大无无例例个个关关组组11,( )n,()(II)( )2.nnIIII向向量量组组的的任任意意两两个个极极大大线线性性无无关关组组等等价价，且且所所含含由由向向量量等等定定理理个个数数相相2. 设设与与为为同同一一个个向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关组组 由由极极大大线线性性无无关关组组的的定定义义知知( (I I) ), ,( (I II I) )都都线线性性无无关关，且且与与可可相相互互线

7、线性性表表示示，也也就就是是等等价价，于于是是由由推推论论：得得证证到到1212,( ),().(I)(II)s=t.stIII7 设设为为 不不 全全 为为 零零 的的 向向 量量 组组 ，其其 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 所所 含含 有有 的的 向向 量量 个个 数数 称称 为为向向 量量 组组 的的( (r ra an nk k) ), ,记记 为为 r r定定 义义秩秩1212,3,.ss说明说明：全为零的向量组我们认为没有极大：全为零的向量组我们认为没有极大无关组，其秩定义为无关组，其秩定义为0. 向向量量组组线线性性相相关关当当且且性性质质r r1 1仅仅当当1212

8、,.sss ：向向量量组组线线性性无无关关当当且且等等价价r r地地仅仅当当1212,.sss8 设设可可由由线线性性表表示示，则则推推论论3 3r r12121212,( ),( ),.ststIIIr 设设的的秩秩的的秩秩为为的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组为为的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组. .由由极极大大无无关关组组的的定定义义: :( (I I) )与与( (I II II I) )等等价价，( (与与等等价价. .又又( (I I) )由由( (I II I) )线线性性表表示示，则则由由线线性性表表示示的的传传递递性性知知证证：1212( )=r,(),()(I

9、),()(II)II)(IV)ruiiijjjIIIuIIIIV(III)可由可由(IV)线性表示。由于线性表示。由于(III)线性无线性无关的，则由推论关的，则由推论1得到得到 .ru9推论推论4 等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. ( )() .IIIsr设设向向量量组组与与向向量量组组证证依依次次为为和和：的的秩秩(I)与与(II)等价表示等价表示(I)与与(II)可相互线性表示可相互线性表示.(I)可由可由(II)表示推出表示推出,sr 同样同样(II)可由可由(I)表示表示r.r = s .s 可可 推推 出出于于 是是 得得 到到问题：如何求向量组的秩和一个极大线问题：如何求向

10、量组的秩和一个极大线性无关组？性无关组？1012s12s12s,A = (),AB = (). 设设为为 一一 列列 向向 量量 组组 ，经经 过过 一一 系系 列列 初初 等等 行行 变变换换 化化 为为理理则则定定3 312r12riiiiii),;i 线线性性无无关关当当且且仅仅当当线线性性无无关关12r12riii12siii12s),.ii 为为的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组当当且且仅仅当当为为的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组12121212).rrliiriliiriiiikkkkkk 当当 且且 仅仅 当当 11对于阶梯形矩阵，我们已经知道首元所在的对于阶梯形矩

11、阵，我们已经知道首元所在的列向量组是线性无关的，利用这一结论可求列向量组是线性无关的，利用这一结论可求出阶梯形矩阵列向量组的极大线性无关组出阶梯形矩阵列向量组的极大线性无关组.1234123123441231231234(), 1 1- -1 10 02 20 02 21 1- -8 8 设设B B= =首首0 00 0- -2 23 30 00 00 00 0元元所所在在的的列列向向量量组组线线性性无无关关，而而且且线线性性相相关关 于于是是可可由由线线性性表表示示. .这这可可推推出出为为的的一一个个极极例例3 3大大无无关关组组. .12结论：阶梯形矩阵首元所在的列向量组是结论：阶梯形矩

12、阵首元所在的列向量组是阶梯形矩阵列向量组的一个极大线性无关阶梯形矩阵列向量组的一个极大线性无关组组.下面通过具体例题来说明求向量组的秩和下面通过具体例题来说明求向量组的秩和一个极大线性无关组的方法一个极大线性无关组的方法.12341013010211131111 ，例例3 设设,. 1 12 23 34 4求求, , , ,的的秩秩和和一一个个极极大大无无关关组组 并并把把不不属属极极大大无无关关组组的的向向量量用用该该极极大大无无关关组组线线性性表表示示13123410130112 (),11031111A 让让解解 A对对施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵 A12

13、3410130102(),00140000B 初初等等行行变变换换14123. 阶阶梯梯形形矩矩阵阵B B首首元元所所在在的的列列向向量量组组为为为为B B的的列列向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组123123124123, 4 44 4故故为为的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组( (事事实实上上，也也为为的的一一个个极极大大线线性性) ). .4123,.B 要要把把用用线线性性表表示示 必必须须将将再再进进一一步步化化成成J Jo or rd da an n阶阶梯梯形形矩矩阵阵151013010200140000B 初等行变换初等行变换 1001010200140000 1234().J 1234 24 由由于于，4123 24. 得得到到161234512345 (1, 2,0,3),(2, 5, 3,6),(0,1,3,0),(2, 1,4, 7),(1, 8,1,2),. 设设求求 的的一一个个极极大大无无关关组组