万有引力作用下的质点运动问题

1、在万有引力作用下的质点运动问题引 言日月升落，星光闪烁，自古以来就吸引着人们探究其运行规律。这固然是航海、农业等生活、生产的需要，却也是人类了解自身环境秩序的渴求。今天，电子计算机和射电望远镜的使用不但使我们认识到星系的大小、结构，还为探求宇宙起源的大爆炸理论提供了证据。人造天体的升空实现了在太阳系内的实地考察。1990年4月由“发现者号”航天飞机送入太空的哈勃空间望远镜是探索宇宙空间的利器，它可以观测远在40005000万光年的造父星系，它还有能力发现遥远的非常暗、非常小的处于生长期的星系，寻找黑洞。1994年7月17日休梅克-列维9号彗星与木星相撞，哈勃空间望远镜已送回了清晰地图像。应该说

2、，是牛顿的万有引力定律为我们今日对宇宙的认识开辟了道路，而万有引力定律开始形成就是植根于对宇宙中地、月、日运行的探索之中。1行星运动和开普勒定律在古代，人们对天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。无论是地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美的、最和谐的匀速圆周运动。德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。只有假设行星绕太阳运动的轨迹不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。他还发现了行星运动的其他规律。开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的下列规律，后

3、人称为开普勒行星运动定律，即，开普勒三定律。1.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图1.1。图1.13.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。恒量2万有引力定律开普勒定律只能说明行星运动的规律，而不能解释出现这种现象的原因。牛顿在进一步研究的基础上，得出结论：使行星绕太阳运动的力，是源于太阳的一种吸引力，其作用线始终通过太阳。其大小正比于太阳和行星的质量，反比于行星和太阳之间距离的平方。此后，牛顿将这一规律推广到月球绕地球的运动；进而认为所有物体和物体之间都存在着一种相互

4、吸引的力，即万有引力，从而建立了万有引力定律。表诉如下：在宇宙间，任何两个物体之间都有引力相互作用，其方向沿着二物体的连线，其大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。若以表示物体的质量，表示他们之间的距离，如图2.1。图2.1则作用在上的力为称为引力常数。在SI单位之中，它的大小为：若固定在点，则力F可以写作：式中：是取决于的位置的矢量。3有心力和有心运动如果作用于运动质点的力的作用线总是通过空间某一固定点，这样的力叫做有心力，力所指向或背向的固定点叫做力心。指向力心的有心力叫做引力，背向力心的是斥力。有心力的量值，一般只是力心与质点间的距离的函数。在有心力作用下质点的运动叫

5、有心运动。有心运动是一类常见的运动，天体的运行、原子核外的电子运动都属于这类运动。火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究。3.1基本特征取力心为惯性系坐标的原点，则质点受到的有心力可按定义写为 （3.1）其中，是质点的位置矢量。由此可以立即知道有心力对于力心的力矩为零。因为有心力的方向总是通过力心，有心力对力心（坐标原点）的力矩为其次，有心力是保守力。这是因为有心力只具有径矢方向的分量，因而质点由点运动到点时有心力作的功是这个积分只与起点和终点离开力心的距离和有关，显然与质点运动的路径无关。这就证明了有心力是保守力。根据有心力的特点，立即可以推得质点有心运动的一些基本特性。3.1.

6、1质点的动量矩守恒质点受到的有心力对于力心的力矩为零，由动量矩定理立即可知，质点在运动过程中对力心（坐标原点）的动量矩守恒，即恒矢量 （3.2）3.1.2有心运动是平面运动 由于角动量与质点的位矢及速度矢量都垂直，质点的角动量却是一恒量矢量，因而质点的位矢和速度都只能在与角动量垂直的平面内。质点的有心运动只能是平面运动，有心运动的轨道曲线是平面曲线。质点的运动平面，是由质点的初始位矢和初始速度矢量所决定的。3.1.3有心运动质点的机械能守恒作用于质点的有心力是保守力，质点具有势能： （3.3）质点的总机械能守恒常量 （3.4）3.2运动方程前面讨论了有心力和质点有心运动的一些特点，对求解有心运

7、动问题提供了有利的帮助。质点有心运动问题的求解采用平面极坐标系是最为适宜的。取运动平面为极坐标平面，角动量则与极坐标平面垂直，质点的运动微分方程可写为 （3.5） （3.6）上面的第二个方程很容易积分，注意到:因而有立即得出第一积分： （3.7）这里h是积分常数。这个积分实际上就是质点角动量守恒的极坐标表示式。由式： （）即 （3.8）因此，对于有心运动，通常是在给定的初始条件下求解下列方程组： （3.9）除这两个方程外，还可利用机械能守恒方程： （3.10） 在上述三个方程中，只需适当选取两个方程，便可解得质点的运动。3.3轨道微分方程关于有心运动，人们感兴趣的常常是质点的运动轨道。我们可以

8、通过求解运动方程（3.9），先得到以时间为参量的轨道参量方程然后消去得出轨道曲线方程.但也可以一开始就在运动方程中消去时间参量t得到轨道微分方程，然后求轨道微分方程的解得出轨道曲线方程。注意到：式中已利用关系式（3.8）。再引进变换： （3.11）则有 （3.12）代入运动方程（3.9）中的第一式，即得到轨道微分方程： （3.13）这个方程也称为比内（Binet）公式，是二阶非线性微分方程。对此求解可得，从而得到质点的轨道方程。4万有引力作用下的质点运动4.1轨道万有引力是与距离平方成反比的引力。具有如下形式： （4.1）或 （4.2） 其中，是与力的性质有关的常量。为求质点的运动轨道，将此式

9、带入轨道微分方程（3.13）式，可得方程：或 （4.3）这是简谐运动类型的微分方程，容易得出它的解为或其中，和都是积分常数，由初始条件确定；与质点的动量矩相关见（2.8）式。若令 （4.4） （4.5）则轨道方程可写成只需适当选取极坐标轴（x轴）的方向，在上式中便可以取，此时此时质点有心运动的轨道极坐标方程可写成 （4.6）这是典型的圆锥曲线极坐标方程，力心（坐标原点）位于圆锥曲线的焦点。式子中称为轨道的偏心率，是圆锥曲线正焦弦长度的一半。椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线，这取决于偏心率的数值，曲线形状分别如图4.1所示。图4.14.2行星的椭圆轨道运动4.2.1二体问题若设，为二体，的质量；

10、r为他们之间的距离；用，表示行星在坐标系的坐标。万有引力是保守力，故能量守恒定理成立。则可积出二体的能量积分。由于则故积分得其中K为积分常数，为方便起见写为下面形式：其中为新常数，此式叫做活力积分或活力公式。则和的关系：其中即为相对运动速率。根据面积速度为常数，即再用活力积分得：把自变量换为，并用表示，则上式可化为：再对微商一次得：右端为常数，则其中为两个积分常数，而，上式即为： ，4.2.2行星的椭圆轨道运动设初始条件使得，或 (常数)，则轨道为椭圆。如图4.2：图4.2设为太阳，为一个行星，他们的质量分别为和；为它们的距离。则，绕运动的轨道方程为：， （4.7）为符号简单起见，记 （4.8

11、）则 （4.9）椭圆的焦点在（极坐标原点），以为极轴。当时，为最小；此时所在地的点叫做近日点。故称近日点角距。当+时，为最大，此时所在的点叫做远日点。现在定义 则轨道方程为 （4.10）从定义知，在点时，在是。即为行星向径同近日点方向的交角，故取名为真近点角。下面给出根据时刻计算行星在椭圆轨道上位置（，）或（，）的公式。根据活力积分可得：代入上式则得：=- （4.11）即 （4.12）其中正负号为开方时所取得。当行星从近日点沿椭圆轨道运行到时，在增加，即，故上式应取正号。当行星从点运行到时，故上式应取负号。这是同时间的关系。但上式直接用作变量时积分不变，定义或 （4.13）则上式化简为：其中左

12、端因子永远为正，故若定义新变量永远所时间增加，则上面右端应取正号，即为： （4.14）其中定义 （4.15）由（4.13）式可知，当行星在近日点时，相应的。故也是从近日点起算的速度，叫做偏近点角。再用表示行星过近日点的时刻，则上式积分下限取为近日点时的量可得：即 （4.16）这也是运动方程的一个初积分，即为积分常数，为行星过近日点的时刻。从（4.13）式可看出，由增加到时，由增加到；行星位置相应从近日点沿椭圆轨道变到。由增加到时，再由减小到。由于已规定永远随时间增加，故由增加到的过程中，行星是从远日点继续运动到，而不是后退到。因此，行星绕椭圆运动一周，增加。反过来也是一样。若设为行星的运行周期

13、，则时间增加时，增加。由（4.16）式知，左端增加时，右端增加nT，则有： （4.17）但根据的定义知，行星运行一周时，以及也增加。因此，上市表明，为行星的平均角速度。它同椭圆半长径有简单的关系。（4.16）式是根据时间计算偏近点角的公式，在天体力学中占有重要地位，叫做开普勒方程。经常写为 （4.18）其中叫做平近点角，因它也是由近点起算的角度，而且随着时间均匀变化（为时间的线性函数）。有时用平近点角来代替时间作自变量。由已知时刻算。知道的值以后，用（4.13）容易算出径向，但还需要算出（或）后，才能确定时行星在椭圆轨道上的位置。由轨道方程可以从已知的解出但不是唯一的解，只能解出以代入得：则即

14、或 （4.19）其中开方时应有正负号，但因由增到时，也由赠大到相应的由增大到；由增大到时，也由增大到。因此与同号，和同号，故开方后（4.19）式取正号。同理可得： （4.20）根据（4.19）和（4.20）式，可从已知的值计算出，的值，而且的象限唯一确定。有时只要同的关系。上面两式相除可得： （4.21）由此式可从已知的值求出唯一的值，因为与同一象限。反之可从已知值求出唯一的值。因此，只要从已知的值解出，就可以算出此时刻行星在椭圆轨道上的位置。另外，常数是面积速度的两倍。对椭圆运动来说，当时间变化一个周期时，向径扫过的面积正好是整个椭圆面积。由此可得：或 (4.22)但从开普勒第三定律可知：这

15、两个式子有些差别。按照（4.22）式，行星轨道半长径的立方同周期平方之比，在整个太阳系不是常数。这个比值同行星的质量有关。利用（4.22）式还可以粗略地计算行星的质量。5宇宙航行和宇宙速度5.1人造地球卫星5.1.1圆形轨道卫星选取一个坐标系（），坐标系的轴与地球的自转角速度共线，、轴均位于赤道平面内。这一参考系相对于（）是固定的，因此也是一个惯性参照系。位于处，质量为的质点将只受引力 （5.1）的作用，这是一个有心力，因而质点作平面运动。如果质点的初速度垂直于矢量,如的大小合适，则将在力作用下作圆周运动。当轨道半径一定后，可以根据动力学基本关系计算出初速度。即，于是有则 （5.2）质点将成为

16、地球的卫星。其圆周轨道将位于，（为卫星的发射点）和初速度构成的平面。该平面相对于参照系（）是固定不动的。5.1.2同步卫星如果某一卫星，在每一时刻，都位于固结在地球表面的参照坐标系中的一个固定点处，且随地球一起，以恒角速度绕地球南北极轴线转动，则将这一卫星叫做同步卫星（或定态卫星）。建立如图5.1所示的坐标系：图5.1为地球-恒星参照系（）。为运动参照坐标系（）。轴沿方向，轴与通过点的经线相切，轴与过点的纬线相切。根据速度的合成关系，得到由于是同步卫星，要求在中的速度为零，即。于是有卫星绕轴以角速度转动。由可知牵连速度为 （5.3）由此可见，垂直于，因为。所以，在参照系中，卫星的速度也必须垂直

17、于，因此同步卫星的轨道只能在赤道平面内。设卫星位于赤道平面内的点处，由于，则 （5.4a）或 （5.4b）（在赤道平面内，）（5.4b）式表明，同步卫星的回转角速度等于地球自转的角速度。由动力学基本关系：得 （5.5）又，于是有 （5.6）由（5.4b）和（5.5）式得到： （5.7）式中的回转角速度若按恒星日计算，则可求得同步卫星的轨道半径约为。5.1.3卫星的能量在地球附近的轨道上质量为的卫星的动能和势能分别为，设卫星的运行轨道是圆形的，则 （5.8）卫星的总能量为 （5.9）上式表示，绕地球作圆轨道运动的卫星，其总机械能小于零。例：已知我国年4月日发射的第一颗人造地球卫星的重量为，近地距

18、离为（），远地距离为，求发射此卫星是所需要的能量？解：卫星在运行时所具有的总机械能为：把代入即但卫星静止在地面时已具有机械能为所以发射时加于卫星之能量为 5.2逃逸速度和黑洞5.2.1第一宇宙速度当人们水平抛出物体时，随着速度的增大，物体被抛得越来越远，如果没有空气的阻力（这只能发生在大气层外的空间里），当被发射物体的速度达到一定数值时，它会沿一个圆形轨道围绕着地球飞行而不落地，这就是人造地球卫星。发射速度再大，轨道将变成椭圆，发射点是椭圆的近地点（平常地面上抛射体的轨迹，严格说来并不是抛物线，而是椭圆的一部分，最高点是它的远地点）。当发射速度增大到一个临界值时，轨道真正成为抛物线，这时飞行器

19、将脱离地球的引力而去，一去不复返。发射速度大于时飞行器的轨迹为双曲线，通常把叫第一宇宙速度，叫第二宇宙速度。下面我们利用牛顿第二定律和万有引力定律计算第一宇宙速度 （5.10）其中为地球的质量，是物体的质量，为物体离开地心的距离，我们用地球半径代替，于是 （5.11）用，代入上式得这就是第一宇宙速度的数值。5.2.2第二宇宙速度要使物体逃逸地球不再返回，设物体在无穷远处的势能为零，则地面上物体的势能为，在无穷远处物体的动能至少为零，根据机械能守恒，得m-故 （5.12）这就是第二宇宙速度。对于一个质量为，半径为的体系，同样可以规定它的“第一宇宙速度”为 （5.13）“第二宇宙速度”为 （5.1

20、4）和的物理意义与前面讨论的相似。当物体的速度达到时，即可绕运动而不会落到上，当物体的速度达到时，它即可逃逸，而不再被吸引回来。5.2.3黑洞假设有一个引力系的第二宇宙速度等于真空中的光速，即或 （5.15）这样，一个体系若满足下列不等式： （5.16）则它的第二宇宙速度就要大于光速。按照狭义相对论，一切物体的速度不能超过光速，当时，任何物体都逃逸不掉。按广义相对论，光子也要受到引力的作用，这就是说，这种体系发射的光不能克服引力的作用，最终一定要落回到该体系上来。简言之，这种物体根本不可能有光发射出去，因此我们不能看到它，故称之为黑洞（Black hole）。因此，我们把称为引力半径。对于地球

21、，质量，代入上式得地球的引力半径为 （5.17）这就是说，如果地球的全部质量能集中到半径为的小球内，那么，生活在这样小球上的人，将无法和外界进行光的或无线电联系，它将成为一个孤立体系。这当然是一个假想，下面我们看一个比较实际的例子。5.2.4宇宙半径我们考虑一个球体，其半径为，其中物质均匀分布，密度为，则体系的质量为 （5.18）如果这个体系的半径恰好达到自己的引力半径，则有 （5.19）亦即引力半径为 （5.20）这就是说，对于生活在密度为的环境的人，他不可能把光发射到超出的范围，我们生活的宇宙环境的密度平均约为=km/，由上式即求得引力半径为这就是说，我们不可能把光发射到以外，我们成这个尺

22、度为宇宙的大小或宇宙半径。5.3卫星轨道转换的实现5.3.1基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径确定后，与之对应的卫星线速度、周期、向心加速度也都是确定的。如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。物理学中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。5.3.2渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后

23、再判断卫星的其他相关物理量如何变化。如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做向心运动，即半径将减小。由（1）中结论可知：卫星线速度将增大，周期将减小，向心加速度将增大。5.3.3突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定目标。如图：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为，第一次在点点火加速，在短时间内将速率由增加到，使卫星进入椭圆形的转移轨道；卫星运行到远地点时的速率为，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由增加到，使卫星进入同步轨道，绕地球做匀速圆周运动。第一次加速：卫星需要的向心力增大了，但万有引力没变，因此卫星将开始做离心运动，进入椭圆形的转移轨道。点火过程中卫星的线速度增