高斯光束在非线性介质中的传输论文设计

1、 艾里-厄米-高斯光束在非线性介质中的传输 目 录中 文 摘 要IABSTRACTII第一章 绪论11.1光纤通信的发展历史11.2艾里光束、艾里衍生光束和孤子的发展历史21.2.1艾里光束21.2.2艾里衍生光束51.2.3孤子61.3论文结构及主要内容8第二章 艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的孤子控制102.1 理论模型102.2 艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的孤子控制112.3 本章小结16第三章 有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的光场旋转173.1 理论模型173.2 有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性183.3 本章小结28第四章 总结与展望29参考文献

2、31攻读学位期间取得的研究成果37致谢38个人简况及联系方式40承 诺 书41学位论文使用授权声明42ContentsChinse AbstractIABSTRACTIIChapter 1 Introduction11.1 The development history of optical fiber communication11.2 The development history of Airy beam, Airy-derived beam and Optical soliton21.2.1 Airy beam21.2.2 Airy-derived beam51.2.3 Optical

3、 soliton61.3 Paper structure and main content8Chapter 2 Soliton control of Airy-Hermite-Gaussian beams in a Kerr medium102.1 Basic theory102.2 Soliton control of Airy-Hermite-Gaussian beams in a Kerr medium112.3 Summary16Chapter 3 Optical field structure rotating of the finite energy Airy-Hermite-Ga

4、ussian beams in a medium with potential well173.1 Basic theory173.2 the propagation characteristics of the finite energy Airy-Hermite-Gaussian beams in a medium with potential well183.3 Summary28Chapter 4 Conclusion29References31Research achievements37Acknowledgement38Personal profiles40Letter of co

5、mmitment41Authorization statement42中 文 摘 要近年来，光纤通信凭借通信容量大、传输距离远、抗干扰能力强等优点，在现代通信领域中起着举足轻重的作用。艾里光束具有无衍射、自加速和自愈等特性，引起了中外学者的广泛关注。研究发现，当艾里光束在介质中传输时，通过调整艾里光束和介质的参数可以产生光孤子，而后者可以用于实现超长距离、超大容量的光纤通信。同时，诸如艾里-厄米-高斯光束等艾里光束衍生出的光束，不仅能够保持艾里光束原有的特性，还具备一些新的特点，有着潜在的应用。本文主要对有限能量艾里-厄米-高斯光束在非线性介质中的传输特性进行了研究，并讨论了两个艾里-厄米-高

6、斯光束在介质中的相互作用。文章的主要研究成果如下：第一，研究了有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输特性和相互作用。研究发现，艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中传输时，可以通过选取合适的克尔非线性强度和光束的初始振幅来产生孤子；两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中相互作用时，通过调整两光束的初始间隔和相位，可以控制产生的孤子的数量及其传输方向。第二，研究了有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性和相互作用。发现光束在势阱介质中传输，其光场结构会发生旋转，这与光束穿过薄透镜的特性类似，研究发现介质的势阱强度以及入射光束的厄米多项式的阶数都会改变光束的光场结构。除此之外，还

7、探究了两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的相互作用，进一步证明了在势阱介质中，光束的光场结构会发生旋转。关键词：艾里-厄米-高斯光束；克尔介质；势阱介质；光孤子ABSTRACTIn recent years, with the advantages of large communication capacity, long transmission distance and strong anti-interference ability, optical fiber communication plays an important role in the field of mode

8、rn communication. Airy beam has the characteristics of non-diffraction, self-acceleration and self-healing, which has attracted the attention of scholars at home and abroad. It is found that when the Airy beam is transmitted in the medium, the optical solitons can be generated by adjusting the param

9、eters of the Airy beam and the medium, and the optical soliton can be used to realize the super-long distance and super-large capacity optical fiber communication. At the same time, the beams derived from Airy beams, such as Airy-Hermite-Gaussian beams, can not only keep the original characteristics

10、 of Airy beams, but also have some new characteristics, which have potential applications. In this paper, the propagation characteristics of finite energy Airy-Hermite-Gaussian beams in nonlinear media are studied, and the interaction of two Airy-Hermite-Gaussian beams in media is discussed. The mai

11、n research results are as follows:Firstly, the propagation characteristics and interaction of finite energy Airy-Hermite-Gaussian beams in Kerr medium are studied. It is found that the number and direction of solitons can be controlled by choosing the appropriate Kerr nonlinear intensity and the ini

12、tial amplitude of the beam when the Airy-Hermite-Gaussian beam is propagating in the Kerr medium; when two Airy-Hermite-Gaussian beams with finite energy interact in the Kerr medium, the number and direction of solitons can be controlled by adjusting the initial interval and phase of the two beams.S

13、econdly, the propagation characteristics and interaction of finite energy Airy-Hermite-Gaussian beams in a medium with a potential well are studied. It is found that the field structure of the light beam will rotate in the medium with a potential well, which is similar to the change of the light bea

14、m passing through the thin lens, and the intensity of the potential well and the order of Hermite polynomials will have an important influence on the change of the optical field structure. In addition, the interaction of two finite energy Airy-Hermite-Gaussian beams in the medium with a potential we

15、ll is also investigated. It is further proved that the optical field structure of the beam will rotate in the medium with a potential well.Key Words: Airy-Hermite-Gaussian beam；Kerr medium；Potential well；Optical solitonIII第一章 绪论第一章 绪论1.1光纤通信的发展历史自古以来，如何有效的进行远距离信息交流一直是人类社会有待解决的问题。随着文明的发展，人类经历了古代的烽火、书

16、信1，再到近代的电报2、电缆3等传输信息的方式，这些通信方式的可靠性和效率在不断提升着。然而，这些方式都存在着自身的局限性。电信号4传输信息速度快，但是由于其长距离传输会产生衰减，所以需要大量的中继器；微波5通信可以利用空气作介质，对设施要求低，但是会受到载波频率的限制和恶劣天气的影响。进入到二十世纪，研究者们发现通过光来传递信息能够克服上述各种难题。然而，此时的光纤通信只是一个概念，研究者们找不到合适的光源和介质。19606年代，激光的发现很好的解决了光源问题。19667-9年，有学者证实了光纤可以作为通信的介质。直到20世纪70年代，低衰减的光纤10问世，解决了介质这一难题。1980年11

17、第一代商用光纤系统问世，这一光纤系统的光源采用砷化镓激光，传输速率达到每秒钟几十兆。紧接着使用磷砷化镓铟激光作为光源的第二代商用光纤通信系统也在20世纪80年代初期发展出来了12。1981年，单模光纤13的发明很好的解决了信号质量受到色散影响这一问题。第三代光纤通信系统改用波长更长的激光做为光源，这样信号的衰减变得很弱。之前使用的磷砷化镓铟激光的光纤通信系统常常遭遇到脉冲色散问题，色散位移光纤14使在长波段的色散几乎为零。这些技术上的创新使得第三代光纤通信系统的传输速率更大，同时中继距离更长。随着光放大器15的引入，中继器的需求变得越来越小，加上波分复用技术的使用，加快了光纤系统的发展。波分复

18、用器波长操作范围的扩展加快了第五代16光纤通信系统的发展。传统的波长范围在1530nm至1570nm之间，新一代光纤低损耗波段扩展至了1300nm至1650nm17。另一个先进的技术是光孤子18-19通信，这一通信系统利用光纤的非线性效应，使光束在传输时保持原波形。在最近的三十年中，我国的通信行业也发生了天翻地覆的变化，尤其是光纤通信领域，已经驶入了快车道。我国于1970年在广州建立国际通信站，构成了国际通信的重要节点。1973年10月，国际通信站正式建成，自此广州成为我国通信领域的领头羊。1986年9月，位于广东省的广佛光纤通信系统正式开通，值得一提的是，这是我国第一条长途电缆光纤通信工程。

19、1988年10月，我国又建成了广州连接香港的光缆线路，标志着我国的光纤通信网开始融入世界，成为世界光纤通信的重要组成部分。同年，我国开始了“八纵八横”光纤通信干线工程的建设20。1989年，我国第一条1920路单模光纤长途干线建成，横跨合肥和芜湖两地。1990年，连接南京和武汉的光纤通信干线建成，长度达到2400公里。1991年，我国停止建设电缆通信干线，转而全力支持光纤通信干线的建设，这一重要举措使我国20世纪90年代中光纤通信系统的建设保持着迅猛发展的势头。1998年，我国自主成功研发出了密集波分布系统，并于第二年建成了连接青岛和济南的国家一级密集波分布干线工程。随后，在863计划的引领下

20、，我国又成功自主研发了超长距离、超大容量的传输设备，不仅占据了国内市场，还成功开拓了海外市场，在国际上占据了重要的份额。随着WDM光网络在20世纪90年代的悄然兴起，全光网的研究与实现成为了通信领域热议的话题。我国于1996年开启了全光通信网的研究，并于1998年成功研制出了全光试验网。2002年，我国又开启了自动交换光网络的研究，并于2005年成功研制出了融合路由、自动交换光网和全光网于一体的示范网，在国内拥有大量用户。之后，国内自主生产的自动交换光网络的设备在中国铁通、网通等运营商中大规模应用21。截至2017年，我国光纤通信系统的建设所需要的光纤光缆已经达到了全世界光纤光缆产量的百分之七

21、十五，我国已经成为了名副其实的光纤通信大国。随着我国5G技术的发展和成熟，5G时代已经来临，而5G基站的大规模建设需要大量的光纤光缆，这将会是我国光纤通信行业发展的又一个重要的契机，我国通信界应当抓住这一重要机遇，迎难而上，将光纤通信产业推上又一高度22。虽然光纤通信是一个新兴产业，但是其传输容量大、保密性好等诸多优点使其成为当今最主要的有线通信方式，尤其是随着一些新兴网络应用的出现，使得互联网带宽的需求急剧增长，光纤通信的重要性达到了前所未有的高度。1.2 艾里光束、艾里衍生光束和孤子的发展历史1.2.1 艾里光束艾里光束一词来源于艾里积分，最早于19世纪30年代提出23。1979年，Ber

22、ry和Balazs在量子力学的范畴内发现了艾里函数是非线性薛定谔方程24的一个解，从而引入了艾里光束这个概念，它传输过程中能够保持波形和不断加速25。2007年，美国弗罗里达大学的研究人员A. Siviloglou和J. Broky首次在实验中产生并观察到了艾里光束。他们通过一个指数型的衰减包络截断艾里光束，便可得到有限能量艾里光束26。在一维模型中，艾里光束是自由粒子薛定谔方程的唯一的保持波形的加速的解。然而，在二维模型中有两个解：二维艾里光束和加速的抛物势光束27。除此之外，研究人员还证明了，任何二维加速光束都可以用傅立叶空间的规范形式来描述，实线(谱线)中的复杂函数与加速光束之间存在一一

23、对应的关系，任意的线谱可以用来产生具有不同横截面形状的新型加速光束28。2009年，帕维亚大学和拉奎拉大学的学者们首次观察到了非线性系统中的“类艾里”光束29。这些“类艾里”光束在2011年和2012年同样被证实30-32。之后，艾里光束能够被其他类型的方程，诸如亥姆霍兹方程和麦克斯韦方程所演示33-34。除了极坐标，加速度也可以沿着射线坐标产生，即循环艾里自聚焦波35-36。自加速现象甚至可以在非均匀周期系统中产生37-38。通过仔细设计输入波形，就能得到光在具有离散39或连续周期性40的介质中沿任意轨迹加速。2018年，特拉维夫大学的研究人员Georgi Gary Rozenman, Ad

24、y Arie 和 Lev Shemer在一个模拟表面重力水波系统中测量了艾里光束的三次相位。并且还用一个外部的流体动力学线性势阱模拟了艾里光束的加速特性41。艾里光束具有无衍射和自加速等特性42-43，所以在很多领域有着重要的应用。首先是光捕获和控制，圣安德鲁斯大学的学者使用了艾里光束控制微小粒子，使它们沿着曲线和拐角移动。这在微流体工程和生物学电池等领域有潜在的应用44；其次是显微镜成像，圣安德鲁斯大学的研究人员进一步利用艾里光束产生大视场，同时在光片显微镜中保持高轴向对比度45。这项技术已经被应用于使用多光子激发46和衰减补偿的艾里光束47来实现生物标本更深处的成像；还有精密加工领域，克里

25、特岛大学(University of Crete)的研究人员利用艾里波包具有加速和无衍射的特性产生出了二维的圆形空气波，即自聚焦光束。这些光束倾向于在目标前不远处瞬时自聚焦，同时沿传播路径保持恒定和低强度的轮廓，可用于激光微加工48或医疗激光治疗。艾里光束在光纤中的特性也被学者们广泛研究。在2011年，Amitay Rudnick 和 Dan M. Marom49采用分步傅里叶数值模拟方法，研究并分析了截断的艾里脉冲在相同中心波长（或频率）下在非线性光纤中传输的时间孤子相互作用。研究表明，截断的艾里脉冲在传播过程中保持自相似性，通过它的加速波前特性可以与附近的孤子相互作用。通过跟踪新出现的孤子

26、的基本参数，例如位置、振幅、相位和频率，发现它们基于与艾里主瓣的初级碰撞而改变。当初始时间间隔很小并且是非相干时，这些相互作用类似于相干的相互作用。在碰撞之后，孤子强度会发生振荡。在2011年，Yiska Fattal, Amitay Rudnick和 Dan M. Marom50研究了截断的时域艾里脉冲在非线性克尔介质中的传播。在强度非常大的时候，从原始艾里脉冲中能够脱落出孤子。由于色散艾里脉冲旁瓣能量辐射的存在，孤子强度产生振荡。孤子脱落的位置取决于初始功率和截断系数。其次，与线性截断的艾里脉冲传播相比，自相位调制对加速的主瓣的传输影响比较大。而艾里脉冲沿传播方向的能量分布取决于发射功率和

27、截断系数。图1.1 艾里光束的产生装置图51图1.2 Airy光束的传输521.2.2艾里衍生光束大量的研究发现艾里光束衍生出的光束，如艾里-贝塞尔光束52、艾里-高斯光束53-58以及艾里-厄米-高斯光束59-63，不仅能够保持艾里光束原有的特性，还具备一些新的特点。2011年，William H. Renninger等人53研究了三维艾里-贝塞尔光波包在时域和空间域上的传输。不仅证明了艾里光束的无衍射性和自愈性，还证明了艾里-贝塞尔光波包的传输特性不依赖于介质。由此，艾里-贝塞尔光束在实际中有潜在的应用。2016年，三维自加速艾里-高斯和艾里-螺旋-高斯光子弹在不同模数下的传输特性被研究了

28、58。研究发现通过调整光子弹的椭圆度、演化距离和模数，可以获得许多有趣的现象。艾里-厄米-高斯光束是一种在X-方向上满足艾里分布、Y-方向上满足厄米-高斯分布的艾里衍生光束，在不同的介质中传输会展示出不同的特性，其在光纤中的传输特性也逐渐引起了学者们的关注。1984年，Grossman J59等人从理论和实验两方面研究了自由空间中艾里-厄米-高斯光束的传输特性。研究表明：低阶艾里-厄米-高斯光束可以转化为高斯光束，而高阶艾里-厄米-高斯光束会演化为更复杂的光束。然而，所有艾里-厄米-高斯光场的发散特性都与其在一阶时的情况类似。2012年，文伟等人60研究了艾里-厄米-高斯光束在旁轴近似ABCD

29、光学模型中的传输特性，并绘制出了光束穿过自由空间、薄透镜和分步傅立叶传输系统的归一化强度分布图，讨论了不同参数对强度分布的影响。2016年，Yu J等人62研究了有限能量艾里-厄米-高斯光束在单轴晶体中的传输特性和不同观测截面上的光强分布。研究表明：在短传输距离的晶体中，光束的初始波形几乎保持不变。但随着传输距离的增大，光束的宽度会逐渐增大，此时光束在X-方向和Y-方向上的扩散速度不同。此外，反常折射率与普通折射率的比值和艾里-厄米-高斯光束的厄米阶数也会对单轴晶体中光束的波形演化产生强烈的影响。这一研究在光捕获和涉及特殊波形的光束非线性光学中有潜在应用。2018年，偏压非中心对称光折变介质中

30、艾里-厄米-高斯光束的传输特性也收到了研究和讨论。发现初始入射光束的主瓣在适当的条件下形成相应的呼吸孤子。随着传输距离的增加，孤子在Y-方向间隔逐渐增大，在X-方向上，孤子中心位置在传播过程中几乎不变。当两艾里-厄米-高斯光束传输时，由于相互作用，会形成关于X-轴和Y-轴对称的呼吸孤子63。迄今为止，艾里-厄米-高斯光束在自由空间、ABCD光学模型和单轴晶体以及光折变介质中的传输特性已得到了研究。而该光束在克尔介质64和势阱介质中的传输特性几乎未被报道。艾里光束在克尔介质中传输时会产生孤子，而势阱介质是一种典型的强非局域介质，当艾里光束在该介质中传输时会发生周期性震荡。我们推测由艾里光束衍生出

31、的艾里-厄米-高斯光束在两种介质中传输时也会产生类似现象，并研究除了上述现象之外，是否还有新的现象。1.2.3孤子在数学和物理中，孤子或孤波65-69是一种在运动时保持其形状、并以恒定速度传播的波包。孤子解是描述物理系统的一类广泛存在的弱非线性色散偏微分方程的解。许多方程都有孤子解，包括Kortewegde Vries方程、非线性薛定谔方程、耦合非线性薛定谔方程和sine-Gordon方程。这些孤子解通常是通过逆散射变换得到的，其稳定性归功于场方程的可积性。在光学中，由于光束在介质中传输，衍射效应和非线性效应相互抵消时产生孤子。考虑一束光在光纤中传播，此时光可以被认为是由几个不同频率的光束组成

32、的。由于光束具有衍射效应，这些不同频率的光束以不同的速度传播，因此光的波形会随着时间而改变。然而，介质中也存在非线性效应，在给定频率下材料的折射率取决于光的振幅或强度。如果光的强度正好达到某一数值，此时非线性效应正好抵消了衍射效应，那么光束的波形不再随时间的变化而改变，这就形成了孤子。孤子现象最早是由斯科特拉塞尔70在1834年首次提出的，他在苏格兰的联合运河中观察到一个单独的波浪。斯科特拉塞尔花了一些时间对这些波浪进行了实践和理论研究。他在家里建了一些波浪水槽，并注意到了一些关键的特性:波是稳定的，可以传播很长的距离(正常的波要么变平，要么变陡并倾覆)。速度取决于波浪的大小，宽度取决于水的深

33、度。与普通波浪不同的是，它们永远不会合并因此一个小波浪会被一个大波浪取代，而不是两个小波浪合并。如果一个浪太大，水不够深，它就会分裂成两个，一个大的，一个小的。他们的同时代人花了一些时间试图普及这一理论，但直到19世纪70年代，研究学者发表了一份这一理论的解释方案71-73。1895年，Korteweg - de Vries方程被提出，该方程的解包括孤波和椭圆余弦波74。1965年，学者们首次利用Korteweg-de Vries方程(KdV方程)在有限差分方法的计算研究中证明了介质中有孤子特性。1967年，Gardner、Greene、Kruskal和Miura又利用反散射变换，使KdV方程

34、能够解得精确的解析解75-76。研究发现，孤子的形状和速度不会因为与其他孤子的碰撞而改变77。因此，水面上的孤波是类孤子，但也不完全是这样在两个孤波的相互作用之后，它们的振幅有所变化，波形带了一点旁瓣78。在光纤光学领域，针对孤子也进行了很多理论和实验研究。孤子的固有稳定性使长距离传输成为可能，而无需使用中继器，并有可能使传输能力增加一倍。1973年，有学者指出，由于自相位调制和反常色散之间的平衡，光纤中可能存在孤子79。同样是在1973年，罗宾布洛从数学的角度证明了光孤子的存在。他还提出了一个设想，基于孤子的传输系统，使长距离传输成为可能。1987年，首次在实验上研究了暗孤子在光纤中的传输特

35、性。1988年，利用拉曼效应对光纤中的损耗进行补偿，使孤子脉冲的传输距离超过4000公里。1991年，利用掺铒光纤放大器(将含有稀土元素铒的光纤连接在一起)，使孤子的传输速度达到了每秒2.5千兆比特，传输距离超过14000公里。1998年，学者们利用了波分复用技术，在实验室中实现了不同波长的光孤波长距离传输。然而，由于种种客观原因，长距离光纤传输孤子一直是光纤光学领域中的一个有待解决的课题。2000年，在锁模光纤激光器中，实验上首次观测到了偏振锁定的矢量孤子的存在，矢量孤子的极化状态可以是旋转的，可以是偏振的，取决于腔的参量80。2008年，在实验上观察到了一种新型的高阶矢量孤子的传输，并数值

36、模拟了各种类型高阶矢量孤子以及它的极化特性81。2016年，非线性超材料中自孤子的传输特性得到了研究。通过拟解法给出了线性增益和非线性损耗平衡下精确的具有非线性啁啾的自孤子解,详细研究了该自孤子在不同非线性电极化或/和磁极化超材料中的存在条件及其传输特性。研究表明，当非线性损耗与线性增益平衡时,超材料中可以存在两种形式的自孤子;而且在不同非线性极化的超材料中两种自孤子的振幅、波宽及空间频率啁啾随着归一化频率、增益系数的变化也不同,这意味着可以通过改变入射波的频率、选择具有不同非线性极化和不同增益的超材料来调节自孤子的传输特性82。2019年，有学者研究了光纤通信系统中光孤子传输特性影响因素。通

37、过建立光孤子传输模型,获取光纤损耗、初始啁啾以及光纤色散等光孤子传输特性因子。研究表明:光纤通信系统中存在的光纤损耗会对光孤子传输特性产生影响;不同的初始啁啾值也会干扰光孤子传输特性;光纤色散值越大,光孤子的传输特性收到的干扰程度越大83。2020年，非线性薛定谔方程中的矢量孤子解和周期解得到了研究。通过选择合适的参数，可以得到精确的解析矢量孤子和由MittagLeffler函数构造的周期解，并探讨了孤子形成的特殊条件。同时绘制出了这些解的二维和三维图形。这些解有助于理解耦合时空分数非线性薛定谔方程所描述的复杂物理和工程问题84。1.3论文结构及主要内容本文首先以非线性薛定谔方程为理论模型，在

38、此基础上对有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输特性进行了研究，数值分析了光束的初始振幅和介质的非线性强度对光束在光纤中传输时产生的影响。随后以带有抛物势的薛定谔方程为理论模型，研究了艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性，并探讨了两光束的初始间隔和相位以及强度对两光束的传输演化的作用。我们的研究为艾里光束在光纤通信领域能有更好的应用提供了一定可借鉴的方法。论文的内容按如下几个章节展开：第一章为引言部分，主要介绍了光纤通信的发展历史以及艾里光束和艾里衍生光束以及孤子的历史和研究现状。第二章以非线性薛定谔方程为理论模型，采用分步傅立叶数值模拟方法，研究了有限能量艾里-厄米-高斯光束在

39、克尔介质中的传输及相互作用，详细分析了介质的非线性强度和光束的初始振幅对光束在光纤中传输产生的影响。并研究了两光束的初始间隔和相位对所产生孤子的控制作用。第三章以带有抛物势的薛定谔方程为理论模型，采用分步傅里叶数值模拟方法，对势阱介质中的有限能量艾里-厄米-高斯光束的传输特性以及相互作用进行了研究。探讨了势阱强度对光束在光纤中的传输产生的影响，并分析了两光束的初始间隔和相位对光束光场的变化的作用。第四章对全文进行总结，并对未来进行展望。47第二章 艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的孤子控制第二章 艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的孤子控制艾里-厄米-高斯光束是艾里光束衍生出的光束，不仅能够保持

40、艾里光束原有的特性，还具备一些新的特点，它在X-方向上满足艾里分布、Y-方向上满足厄米-高斯分布，在不同的介质中传输时会展示出不同的特性。在ABCD光学模型、单轴晶体和光折变介质中，艾里-厄米-高斯光束的传输特性已得到了研究，研究表明，艾里-厄米-高斯光束在单轴晶体中会发生光场结构的旋转，在光折变介质中会产生孤子。本章85首先引入旁轴近似下的非线性薛定谔方程，以此为基础分别研究有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输特性和相互作用。研究发现，艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中传输时，可以通过选取合适的克尔非线性强度和光束的初始振幅来产生孤子；两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中相互

41、作用时，通过调整两光束的初始间隔和相位，可以控制孤子的数量和传输方向。这些特性可以应用于光控开关，光学精密控制和光学图像处理等诸多领域。2.1 理论模型在旁轴近似的情况下，归一化1+2维非线性薛定谔方程可以描述为： (2.1)为光束的包络振幅，和分别为归一化的横向坐标，纵向坐标和传输距离。横向坐标和纵向坐标分别用光束的初始宽度进行归一化，而传输距离用瑞利长度进行归一化（波数，表示介质折射率，表示光束波长）。其中表示克尔介质的非线性强度。初始入射光束的光场描述为： (2.2)其中为初始入射光束的振幅，为艾里函数，表达式为，为光束的截断系数，是正实数，为阶厄米多项式，其中，。为了深入研究两个光束之

42、间的相互作用，我们构造了包含两个艾里-厄米-高斯光束的入射光束，其场分布如下所示： (2.3)其中和分别为两光束的初始振幅；和分别为两光束的截断系数；为两光束的初始间距；为两光束的相位差，当，两光束为同相位，当，两光束为反相位。2.2 艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的孤子控制根据方程(2.1)，通过分步傅里叶法模拟艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输及相互作用的特性。图2.1 艾里-厄米-高斯光束的强度分布图: (a1)-(a6) =0. (b1)-(b6) =2. (c1)-(c6) =4.图2.1为厄米多项式阶数，光束的初始振幅，截断系数时，非线性强度对艾里-厄米-高斯光束传输特性的影

43、响。如图2.1(a1)所示，时，光束在初始入射时有两个主光斑，并且带有旁瓣。从图2.1(a2-a6)中可以看出，在X-方向上，光束在传输时始终保持艾里分布，这是由于艾里光束具有无衍射的特性，而两个主瓣的中心位置会随着传输距离的增大向X-轴的正方向运动，这是艾里光束的自加速特性导致的；在Y-方向上，光束满足厄米-高斯分布，随着传输距离的增大，光斑逐渐变大，这是由于光束在Y-方向上会发生衍射。当非线性强度时，从图2.1(b1)中可以看出，光束在初始入射时在X-方向上仍然保持艾里分布，在Y-方向上满足厄米-高斯分布。当传输增大时，X-方向上光束旁瓣的强度越来越弱，如图2.1(b2-b3)所示。从图2

44、.1(b4-b6)可以看出，随着传输距离的进一步增加，光束发生衍射现象，但是对比图2.1(a4-a6)可以发现，光斑明显变小，这是由于非线性效应对光束的衍射有抑制作用。当非线性强度继续变大时，以为例，其他参数保持不变，如图2.1(c1-c6)所示。从图2.1(c5-c6)中可以看出，当光束传输到之后，初始入射的两个光斑演化成了两个稳定传输的孤子，这是由于此时非线性效应完全抵消了光束的衍射效应。图2.1表明，在其他参数不变的情况下，衍射现象的抑制和孤子的产生与非线性强度的大小有关。适当增大非线性强度，可以抑制光束在Y-方向上的衍射现象。当非线性强度增大到合适的值时，还能使光束演化为孤子。 图2.

45、2 厄米多项式阶数n=1时有限能量艾里-厄米-高斯光束的三维图： (a) Z=0, (b) Z=4.图2.2为初始振幅，非线性强度，截断系数时，一阶艾里-厄米-高斯光束的三维图。从图2.2(a)中可以看出，初始入射时，光束在Y-方向上有两个主瓣，在X-方向上有很多旁瓣。从图2.2(b)中可以看出，光束在时演化为两个关于X-轴对称的孤子。图2.3 艾里-厄米-高斯光束的强度分布图: (a1)-(a6) A0=1. (b1)-(b6) A0=2. (c1)-(c6) A0=4.图2.3展示了初始振幅对艾里-厄米-高斯光束传输特性的影响，取厄米多项式阶数，非线性强度，截断系数。从图2.3(a1-a6

46、)中可以看出，当光束的初始振幅较小时，随着传输距离的增加，光斑不断变大，这是由于光束在Y-方向上满足厄米-高斯分布，而厄米-高斯光束在传输距离较大时会产生衍射现象。对比图2.3(a1-a6)和图2.3(b1-b6)可以看出，当光束的传输距离相同时，随着初始振幅的增大，光斑面积会减小。这是由于初始振幅越大，光束的会聚效应越显著，而会聚效应可以抑制光束的衍射效应。从图2.3(c1-c6)中可以看出，继续增大初始振幅，如，当传输距离时，光束的两个光斑演化成了两个孤子，如图2.3(c4)所示。这是由于此时光束的会聚效应几乎完全抵消了衍射效应，而孤子的本质就是光束的会聚效应与衍射效应互相抵消的平衡态。从

47、图2.3可以得出，衍射现象的抑制和孤子的产生与光束的初始振幅有关。初始振幅越大，光束的会聚效应越强，对衍射现象的抑制越显著，所以可以通过调整光束的初始振幅来产生孤子。图2.4 厄米多项式阶数n=2时有限能量艾里-厄米-高斯光束的三维图： (a) Z=0，(b) Z=3.图2.4为非线性强度，初始振幅，截断系数时，二阶艾里-厄米-高斯光束的三维图。从图2.4(a)可以看出，入射光束在Y-方向上有三个主瓣，中间主瓣能量较大，两边主瓣能量较小，而在X-方向上有很多旁瓣。图2.4(b)为传输距离时，光束在形成孤子时的三维图，从图中可以看出，两孤子关于X-轴对称。图2.5 艾里-厄米-高斯光束的强度分布

48、图: (a1)-(a6) =0，B=1.5. (b1)-(b6) =0，B=4. (c1)-(c6) =，B=1.5.图2.5展示了两个艾里-厄米-高斯光束的相互作用，此时取初始振幅，厄米多项式阶数，非线性强度，截断系数。图2.5(a1- a6)为时同相位两光束的相互作用示意图。从图2.5(a1)中可以看出，初始入射时，两光束共有四个光斑。当传输距离时，四个光斑演化为四个孤子，分别关于X-轴和Y-轴对称，如图2.5(a2)所示。随着传输距离的增加，四个孤子在X-方向上的距离逐渐减小，这是由于初始间隔较小时，同相位的两光束会相互吸引；Y-方向上孤子的距离逐渐增大，这是由于光束在Y-方向上满足厄米

49、-高斯分布，因此会产生衍射效应，如图2.5(a3-a4)。当传输距离时，四个孤子演化成了关于X-轴对称的两个孤子，如图2.5(a6)所示。图2.5(b1- b6)为同相位的两光束在时的相互作用图。从图2.5(b1-b2)中可以看出，两光束初始入射的四个光斑在传输距离时演化成四个孤子。随着传输距离的增加，四个孤子在X-方向上的中心位置保持不变，这是由于此时两光束间距大，其相互作用较小，如图2.5(b3-b6)所示。图2.5(c1-c6)为反相位的两光束在B=1.5时的相互作用图。从图2.5(c1-c2)中可以看出，两个光束由初始入射时的四个光斑演化成了关于X-轴和Y-轴对称的四个孤子。随着传输距

50、离的增大，孤子的数量和中心位置保持不变，如图2.5(c3-c6)。对比图2.5(a1-a6)和图2.5(c1-c6)，可以发现，时同相位的两光束会相互吸引，而反相位的两光束之间的相互作用很小，说明调整两光束的相位为反相时可以抑制两光束的相互作用。由此我们可以得出，通过调整两光束的相位和间隔，能控制孤子的数量和传输方向。图2.6 B=1.5时两个同相位有限能量艾里-厄米-高斯光束的相互作用：(a) Z=0, (b) Z=1.图2.6为，非线性强度，截断系数，初始振幅时，两光束的三维图。从图6(a)中可以看出，光束初始入射时有四个光斑，分别关于X-轴和Y-轴对称。从图6(b)中可以看出，当传输距离

51、时，光束演化为关于X-轴和Y-轴对称的四个孤子。2.3 本章小结本章以非线性薛定谔方程为理论模型，采用分步傅里叶方法，数值模拟并分析了艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输及相互作用的特性。增大非线性强度和艾里-厄米-高斯光束的初始振幅对光束的衍射效应有抑制作用。通过调整非线性强度和艾里-厄米-高斯光束的初始振幅，可以控制孤子的产生。进一步研究了两艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的相互作用。研究表明，控制两光束的初始间隔以及相位，可以控制孤子的数量和传输方向。第三章 有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的光场旋转第三章 有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的光场旋转在本文第二章中研究了

52、有限能量艾里-厄米-高斯光束在克尔介质中的传输特性和相互作用。本章86在前面的基础上，将研究有限能量艾里-厄米-高斯光束在抛物势介质中的传输特性。势阱介质是一种典型的强非局域非线性介质，当艾里光束在该介质中传输时会发生周期性震荡。我们发现在势阱介质中光束的光场结构会发生旋转，这种变化与光束穿过薄透镜的变化类似，并且势阱强度以及厄米多项式的阶数会对光场结构的改变产生重要的影响。除此之外，还探究了两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的相互作用，进一步证明了在势阱介质中，光束的光场结构会发生旋转。3.1 理论模型在旁轴近似的情况下，带有抛物势的薛定谔方程可以描述为： (3.1)旁轴近似条件是

53、所有光学基本公式的设定条件,满足，从而简化一些运算。一般以小于都认为是近轴或称旁轴，本文的研究对象符合这一条件。其中为光束的包络，和分别为归一化的横向坐标和传输距离，横向坐标用光束的初始宽度进行归一化，而传输距离用瑞利长度进行归一化（波数，表示介质的折射率，表示光束波长）。抛物势，其中为势阱的深度，表示势阱介质的非线性强度，通常情况最大值为0.5。初始入射光束的光场可以描述为： (3.2)其中为初始入射光束的振幅，为艾里函数,表达式为，为光束的截断系数，为阶厄米多项式，其中，。为了研究两个光束之间的相互作用，我们构造了包含两个艾里-厄米-高斯光束的入射光束，其场分布如下所示： (3.3)其中和

54、分别为两光束的初始振幅。和分别为两光束的截断系数。为两光束的初始间距参数。为两光束的相位差，当，两光束为同相位；当，两光束为反相位。本章将方程（3.2）和方程（3.3）分别带入到方程（3.1），根据方程（3.1）对光束在势阱介质中的传输和相互作用分别进行了数值模拟。3.2 有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性根据方程（3.1），通过分步傅里叶法数值模拟了艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性及相互作用。图3.1 有限能量艾里-厄米-高斯光束在不同传输距离下的能量分布图:(a)Z=0，(b) Z=1，(c) Z=2，(d) Z=3，(e) Z=4，(f) Z=5，(g) Z=6

55、，(h) Z=7，(i) Z=8图3.1展示了厄米多项式阶数，光束的初始振幅，截断系数时，势阱的强度对艾里-厄米-高斯光束传输特性的影响。如图3.1所示，时，光束在自由空间中传输，在初始入射时光束有两个主光斑，并且带有旁瓣，如图3.1(a)所示。从图3.1(a-i)中可以看出，在X-方向上，光束在传输时满足艾里分布，但是由于衍射效应，光束的旁瓣逐渐消失。同时，两个主瓣的中心位置会随着传输距离的增大向X-轴的正方向运动，这是艾里光束的自加速特性导致的。在Y-方向上，光束满足厄米-高斯分布，随着传输距离的增大，光斑逐渐变大，这是由于光束在Y-方向上会发生衍射。图3.2 势阱强度时，在不同传输距离下

56、的能量分布图: (a)Z=0，(b) Z=1，(c) Z=2，(d) Z=3，(e) Z=4，(f) Z=5，(g) Z=6，(h) Z=7，(i) Z=8图3.2为势阱强度，其他参数保持不变时，有限能量艾里-厄米-高斯光束的传输示意图。光束在初始入射时在X-方向上仍然保持艾里分布，在Y-方向上满足厄米-高斯分布，随着传输距离的增加，光斑逐渐增大。在传输距离增加到4左右，如图3.2(e)所示，光束的旁瓣逐渐消失，传输距离继续增加到5，光斑呈饱和对称的形态。当传输距离进一步增加时，光束的旁瓣又重新出现，并且与之前旁瓣的位置方向相反，如图3.2(i)所示，也就是说光束的波形保持不变，但光场结构旋转

57、。对比图1光束在线性介质中没有发生光场结构改变的情况，可以得出是势阱介质使光束的光场结构发生旋转。这是由于强非局域非线性介质中，光束会发生震荡，而势阱介质是一种典型的强非局域非线性介质，但是艾里-厄米-高斯光束在Y-方向上会发生衍射，所以只发生了光场结构的旋转。并且，在图3.2(i)中可以发现，光束在Y-方向上发生显著的衍射现象。图3.3 势阱强度时，有限能量艾里-厄米-高斯光束在不同传输距离下的能量分布图: (a)Z=0，(b) Z=1，(c) Z=2，(d) Z=3，(e) Z=4，(f) Z=5，(g) Z=6，(h) Z=7，(i) Z=8图3.3为势阱强度，其他参数不变时，有限能量艾里-厄米-高斯光束的传输示意图。当传输距离增加到4的时候，如图3.3(e)，光斑即呈对称状态，之后光束的旁瓣重新出现，如图3.3(g)、图3.3(h)和图3.3(i)所示。图3.4 势阱强度时，有限能量艾里-厄米-高斯光束在不同传输距离下的能量分布图: (a)