考研数学高数部分模拟题.doc

1、考研数学高数部分模拟题时间 180 分钟满分150 分姓名分数一、选择题 （1 8 小题，每小题4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）x（1）设函数 f (x) 在区间 -1,1 上连续，则 x0是函数 g(x)0f (t )dt的 （）xA跳跃间断点 .B 可去间断点 .C 无穷间断点 .D 震荡间断点 .（2）曲线 y1ln(1ex ) ，渐近线的条数为（）xA 0.B1.C2.D3.（3）设函数f x在闭区间a,b 上有定义，在开区间a, b 内可导，则（）A当 fafb0 时，存在a,b，使 f0 .B对任何a,b

2、，有 limfx f0 .xC当 fafb时，存在a, b，使 f0 .D存在a,b，使 f bfafba .（4）设 f ( x, y)e x2 y4 , 则（）Af x (0,0) 存在， f y (0,0)存在 .Bfx (0,0) 存在， f y (0,0) 不存在 .Cf x (0,0) 不存在， f y (0,0) 存在 .Df x (0,0)不存在， fy (0,0)不存在 .（5） Jix2y21,2,3,其中 Dx, yx2y2R 2 ，edxdy, i1DiD2x, yx2y22R2， D3x, yxR, yR，则 J1, J2 , J3 之间的大小顺序为（）AJ1J2J3

3、.BJ2J3J1.CJ1J3J2 .D J3J2J1 .（6）设非齐次线性微分方程yP( x) y Q ( x) 有两个不同的解y1 (x) 和 y2 ( x) ， C 为任意常数，则该方程的通解是（）ACy1 ( x)y2 (x).By1( x)Cy1 (x)y2( x).CCy1 ( x)y2 ( x).Dy1( x)Cy1 (x)y2 ( x).(7)f(x)为二阶可导函数 设当 x(a, b) 时， f (x)g( x) ，而 yg ( x) 的图形如图所示，则 yf ( x) 在 (a, b) 内 ()(A) 有 3 个极值点， 2 个拐点(B) 有 3 个极值点， 3 个拐点(C)

4、有 2 个极值点， 3 个拐点(D) 有 2 个极值点， 2 个拐点（ 8 ）设y y(x) 在 0 ， ) 可导，在x (0 ， )处的增量y y(x x) y(x)满足 y(1 y)yx，其中当 x 0 时是与 x 等价的无穷小，又y(0) 1则 y(x)1x等于(A)(1 x)ln(1 x) 1(B)ln(1 x) 1111x(D)1 x.(C)x2 1二、填空题 （ 9 14 小题，每小题4 分，共 24 分 .把答案填在题中横线上.）（9） 极限 lim x sin22x.xx1（ 10 ） 设 曲 线 yenx 在 点 (0,1)处 的 切 线 与 x轴 的 交 点 为 (n，0)

5、， 则1lim f_ _ _ _ _ _ _n n（11）方程 ey6xyx210 确定隐函数yy x ，则 y0.（ 12 ） 已 知 方 程 x36x29xk0 有 且 只 有 一 个 正 根 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是_.I1y221y 1 2x, y dx _.（13）交换积分次序dyf x, y dxdyf0010xut dt duf (0)00f u(14)f ( x) 满足 f (0)0 ,2，则 limsin x 1_.x0cosx三、解答题 （ 1523 小题，共 94分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10 分）x 22 x3,

6、2x2设 f x1cosx,2x10.试求 I3x dx .f 28（16）（本题满分11 分）设 F x在,有一阶连续导数，且f00 ，并存在 f 0.若fxx0Fx,xf0 ,x0求 Fx ，并证明 Fx在,连续。（ 17）（本题满分 10 分）设 f (x) 是连续函数，（ I ）利用定义证明函数 F (x)xf ( x) ；f ( t)dt 可导，且 F (x)0（ II ）当 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数时， 证明函数 G (x)x22 f (t )dtx f (t )dt00也是以 2 为周期的周期函数（18）（本题满分11 分）求二元函数 f ( x, y)x2 2

7、y 2y ln y 的极值。（19）（本题满分10 分）计算二重积分y2xydxdy ，其中 D 是由直线 y x, y 1, x0 所围成的平面区域 .D（20）（本题满分10分）设 1ab, 求证：函数 f (x) x ln 2 x 满足不等式0f ( a)f (b) 2 f a b1 (b a) 2 .22（21）（本题满分10分）求微分方程 y5y 6 y2e x 的通解 .（22）（本题满分11分）设 f(x)在 a，b 上连续，在 (a， b)上可导，且 f( a) f(b) 1，证明：必存在 ， (a， b)使得 eff1（23）（本题满分11分）x设 D 是位于曲线 yxa 2

8、a ( a 1,0x) 下方、 x 轴上方的无界区域 。(I) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当 a 为何值时， V(a)最小 ? 并求此最小值 .一、1.B2.D3.C4.B5.A二、1【答案】 0【详解】把方程两边分别对x 求导数得 ey y6 y6xy2x0 当 x=0 时，从原方程得 y=0，所以 y00.2.a=0,b=13.04.-2/315.1 e22三、1.解： limsin xsinsin x sin xlim2sin x sin(sin x)23x 0x (1cos x)x 0x2lim cos xcos(sin x)cos x2lim1

9、cos(sin x)lim sin 2 x1x 03x2x 03x2x 0 3x232.3.4.证 令 F ( x)( x 1)2 f (x) ，则 F ( x)2( x 1) f ( x) ( x 1)2 f ( x) ，由积分中值定理知，存在c3,4 ，使得f (2)41)2 f ( x)dx(c1)2 f (c) ，即 F (2)F (c) ，( x3由罗尔定理知，存在(2, c)(2,4)， 使 得F()， 即02 (f 1 )(2(，1即) f ( )(2 f () .) f)015. 证明：由 xn1xn2xn(xn1)211知 xn 有界，又由 xn21 xn2xn2xnxn22

10、xn (1xn )0 知 xn 单调递增故 xn 收敛，即 lim xn 存在n设 limxn l ，xn 1xn 2xn两边取极限得 ll (2l ) ，解之得 l0或 l1，又 xn n单调递增，故 l0不合题意，舍去，因此lim xn1n6.7. 设函数 y( x) 在闭区间 1,1 上具有三阶连续导数，且f ( 1) 0, f (1)1, f (0)0,证明：在开区间(1,1)内至少存在一点,使f ( )3.解：方法一：在x 0处，将 f ( x) 按泰勒公式展开，得f ( x)f (0)f (0) x1f( x) x2 1f () x3,2!3!其中介于 0 与 x 之间， x1,1分别令 x1和x1,并结合已知条件，得0f ( 1)f (0)1f (0)1f( 1),(10),2611f (1)f (0)1